七年级数学思维探究(16)平面直角坐标系(含答案)

七年级数学思维探究（16）平面直角坐标系（含答案）七年级数学思维探究（16）平面直角坐标系（含答案）16．平面直角坐标系解读课标在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，从而坐标平面上的点与有序数对x,y之间建立了一一对应关系，利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意：理解点的坐标意义；熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称点的坐标特征；善于促成坐标与线段的转化．如果说数轴撞开了数形结合的“一线天”，那么直角坐标系则撞开了一片广阔的天地．问题解决例1 （1）已知点Px,3x6，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标．（2）如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为7,4，白棋④的坐标为,8，那么，黑棋的坐标应该分别．22134试一试 对于（1），由横纵坐标的联系建立方程．例2 如图，一个粒子在第一象限内及x、y轴上运动，在第一分钟内它从原点运动到0，而后它接着按图所示在x轴、y轴平行的方向上来回运动且每分钟移动1个长度单位，那么在1989分后这个粒子所处的位置是（ ）．A．,44 B．,45 C．,45 D．,35yy65432101 2 3 4 5 6 7x试一试从寻找第一象限特殊点的坐标与运动时间关系入手．例3 如果将点P绕定点M旋转180后与点Q重合那么称点P与点Q关于点M对称定点M叫做对称中心，此时，点MPQA、B、O的坐标分别为0、1、,0P

P，…中相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1 2 3 1P2

AP2

P3

BP3

P4

关于点OP4

P5

关于点A对P5

P6

关于点B对称，点P6

P7

关于点OABOAB，1,1O，…且这些对称中心依次循环，已知P的坐标是1

PP2 7

、P100

的坐标．yyB1OP11Ax试一试 在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律．例4 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A0,0，B,0，C,5，D2,7．求此四边形的面积．在坐标轴上，你能否找到一点PS△PBC

50?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．yyDCABx试一试 对于通过作辅助线把S四边形ABCD

表示为常规图形面积的和差；对于（2），因P点位置不确定，故需分类讨论．例5 如图已知OABC是一个长方形其中顶点AB的坐标分别为,a和,a点E在ABAE1ABF在OC上，且OF1OC．点G在OA上，且使的面积为203 3的面积为16，试求a的值．yAyAEBGOFCxyA(0,a)E(3,a)B(9,a)G(0,b)O(0,0)F(3,0)C(9,0)x图① 图②解设G点坐标为,bb0，∵S长方形OABC

S△GEC

S△OGC

S△

S ，△BEC∴9a2019b13ab16a，即b3a20．①2 2 2 2 3同理，由S

长方形OABC

S△GFB

S△

S△OGF

S ，△BFC得9a1619ab13b16a，即3a326b．②2 2 2解由①②联立的方程组得a6．棋盘上的数学例6 下象棋是很多人喜爱的事，你知道象棋里充满着数学问题吗？如图①，象棋盘上有一只马，跳七步能回到原来的位置上吗？若能，请给出一种跳法；若不能，请说明理由．马马图①yPyPOx分析与解不论怎么跳，马都不能回到原来的位置，理由如下：如图②，我们可在棋盘上建立直角坐标系，并设这只马所在的位置P的坐标为x

,y．那么，马跳 0 0一步后的位置的坐标应为

xx,yy

，这里的x

只可能是1，1，2，2这四个数中的一个（想一想，为什么）．

0 1 0 1 1 1同样，跳第二步后，马所在的位置的坐标应为x0

xx1

,yy0

y，这里的xy2 2

也只可能是1，12．依此类推，跳七步后，马所在的位置的坐标为xxx

xx

xxx

,yyy

yy

yy

y．如果这时马又回到原来的位置0 12 3 4 5 6 7

0 1 2

3 4 5 6 7x,y0

，那么有x0

xx1

xx3

xxx5 6

x，y0

yy1

yy3

yyy5 6

y．0x

xx

xxx

0，yy

yy

yyy01 2 3

5

7

4

7 将两式相加，有

xy 1 1

xy2 2

xy3 3

xy4 4

xy5 5

xy6 6

xy7 7

0．由于上式中14个数都只能取112，而且每一次跳的两个坐标之和不能为042和x1

y，x1

y，x2

y，x3

y，x4

y，x5

y，x6

y这七个数只能取1，1，3，3．7但是不论怎样取法，由于奇数个奇数相加的和为奇数，所以这样取出的七个数的和不可能等于0．故马跳七步不可能回到原来的位置．数学冲浪知识技能广场1△AOB绕点O逆时针旋转90，得到△A'OB'，若点A的坐标为,b，则点A'的坐标为 ．yyA'B'AOBx2．已知点Pa1,5和P2,b关于x轴对称，则ab200的值 ．1 2如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如0，2,0,2，2,2……根据这个规律第2012个点的横坐标．321O1234xy在平面直角坐标系xOy中我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A0,4点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m，当m3时，点B的横坐标的所有可能值；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m （用含n的代数式表示yyy4321O123 45678 9 10 11 12 13xPa1,2a3x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）．A．a1 B．1a3 C．3a1 D．a32 2 2如果点P,12m在第四象限，那么m的取值范围是（ ）．A．0m1 B．1m0 C．m0 D．m12 2 2MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段MNy轴对称，则点M的对应点（ ）．A．,2 B．,2 C．,2 D．,2

的坐标为1yy-4O4 xMN-4的55（说A点在2]A黑,7 白,3 B黑,7 白,2 黑,7 白,3 黑,7 白,6 A9A876543210 1 2 3 4 5 6 7 8 9形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点AB处．如果“帅”位于点,0，“相”位于点,2，则“马”所在的点的坐标，点C的坐标为 ，点D的坐标．C点，为了到达D走路线，并用坐标表示．楚河楚河汉界CB相AD马帅在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O每次移动1个单位．其行走路线如图所示．yAyA1A2A5A6A9A10O A3 A4 A7 A8 A11 A12 x填写下列各点的坐标：A（ （

（ A4n

1 3 12的坐标（n是正整数）．A100

到点A101

的移动方向．思维方法天地在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中的正方形ABCD，111 1ABCD2 2 2

，ABCD33 3

ABCD101010 10

四条边上的整点共个．yyA3A2321D3D2A1D1-2O1C12 3xB1B2 C2B3 C3ABCD在坐标系中的位置如图，将正方形绕D点顺时针旋转90B点的坐标为 ．yyB(2,4)A(0,3)C(3,2)D(1,1)Ox如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．1的对应点是点,0，3的对应点是1，16的对应点是2，那么2004的对应点的坐标．yy37 36 353433 323117 16151413 30181954613212112928O2089x21722272324102526x3myxy的方程组3mx2y3的解为坐标的点xx3my范围是（ ）．A．m1 B．m2 C．2m1 D．1m99 9 2在平面直角坐标系中，对于平面内任一点,b，若规定以下三种变换：①fa,ba,b．如f1,31,3；g,b,ag3,1；ha,ba,b．如33．按照以上变换有：fg2,3f3,23,2，那么，fh5,3等于（ ）．A．,3 B．,3 C．,3 D．,3设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位的顶点坐标为P,3，Q4,0，Rk,5，其中0k4，若该三角形的面积为8cm2，则k的值是（ ）．A．1 B．8 C．2 D．13 E．13 4 2BCDExy轴，物体甲和物体乙由点A2,0方形BCDE1针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，求两个物体开始运动后的第2012次相遇地点的坐标．yyC1-2D-1O 1BA2Ex-1在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CDACBD．直接写出图中相等的线段、平行的线段；A30B,，点CyDS△ACD

5，求点C、D的坐标；ME,2a1、F,3，请你探索是否存在以两个动点EF为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM以点OMEF为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由．yCyCDAOxByOMx图① 图②应用探究乐园AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中OA、CD的坐标分别为,8,0,8P在梯形内，且S△PAD

S△

，S△

S△

，求P点的坐标．yyADPOCx操作与研究1 1（）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以31个单位，得到点PP'．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A'B'，其中点A，B的对应点分别为A'，B'．如图①，若点A表示的数是3，则点A'表示的数；若点B'表示的数是2，则点B表示的数已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'与点E重合则点E示的数．（2）xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位0,n0AB'CDABA'B'．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，求点F的坐标．yDCyDCD' C'A'(-1,2)B'(2,2)A(-3,0)OB(3,0) x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4图①图②16．平面直角坐标系问题解决例1 （1）,3、,6；（2）6,6、4,7例2 D 弄清粒子的运动规律，先观察横坐标与纵坐标的相同的点,0，粒子运动了0分钟；，粒子运动了2122粒子运动了6233，粒子运动了12344粒子运动了2045分钟，将向下运动，…，于是将4444点处粒子运动了444519801989分钟后，粒子所在位置是44,35，故选D．例3 点

P6

1,1，P1,1．7 1 2 7∵1006164，∴点P 与点P坐标相同，为3．100 4例4 （1）S

44．四边形ABCD（2）①PxPx,0PBx7S△PBC

1x7550，2x27或13，P27,0

13,0．P

1y轴上，延长CB

2E点，过C作CFyF

0,y，EyyFCOBxE∴S△CFE

1y2

9，S△BOE

17y，2 ES梯形CFOB

1952又∵S S S

y

35，∴E0,35．△CFE

△

梯形CFOB

22E 22设P0,y，当P点在E点上方时，PEy35，2∴S△

S△

S△

，解得y65；2当P点在E点下方时，PE35y，2∴S△

S△

S△

，解得y135，2P27,0

13,0，P0

65，P0,1351 2满足题意．数学冲浪

3 2 4 21．b,a 2．1345 以最外边的正方形边上的点为准，点的总个数等于该正方形右下角（即x轴上）标的平方．4．3或4；6n3 5．B 6．D 7．D 8．C9．（1）303,1；（2）略10．（1）A,1，

0，A

,0；（2）A

2n,0；（3）向上1 3 12 4n80 提示：每个正方形四条边的整点个数为S8n12．,022 所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上且数12对应点的坐标为n,n，于是数2025452对应点的坐标为22,22，而4，故2004对应点的坐标为22．14．B 15．B 16．B17．因为长方形的边长为4和2，所以长方形的周长为12．因为物体乙的速度是物体甲的2倍，故相同时间内，物体甲与物体乙行的路程比为1:2．因为第112112，故物体甲行的路程为1214，3物体乙行的路程为1228BC边相遇，此时相遇地点的坐标为1,1；3因为第2122242418，3物体乙行的路程为24216DE边相遇．此时相遇地点的坐标为1,1；3因为第31233636112，3物体乙行的路程为36224，所以它们在