车灯线光源的优化设计模型

..车灯线光源的优化设计模型假设和简化反射点的切平面反射向量与z轴的夹角:线光源的功率其它符号均沿用题目所示二.模型的建立建立坐标系如下图,记线光源长度为l,功率为,B,C点的光强度分别为和,建立整个问题的数学模型。以下均以毫米为单位,由所给信息不难求出车灯反射面方程为,焦点坐标为。=1\*ROMANI、模型分析位于点的单位能量的点光源反射到点C<0,2600,25015>的能量设反射点的坐标为。记入射向量为,该点反射面外法线方向为,可以得到反射向量满足与向量共线.记,由从而得的表达式由反射向量满足与向量共线,应有其中为常数。从上述<1>、〔4式可解得或.由得反射点坐标满足以下两组方程:计算上面式子可知,存在,当时方程组〔7不存在满足的实根,即无反射点。而当时,有两个反射点.而第二组方程仅当时存在满足的一对实根,即有两个反射点记为.若反射点的坐标为,则位于点的单位能量点光源经点反射到C点的能量密度<单位面积的能量,正比于光强度>为其中=2\*ROMANII、计算能量密度长的具有单位能量的线光源位于点的长的微小线光源段反射到C点的能量密度为其中那么,长的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为……<15>同理可得的表达式.相应的反射点方程为相应的而第二组方程的有两个反射点的范围为若设线光源的功率为,则它反射到B点和C点的能量密度分别为和应满足且。三.模型求解由于很难进行代数积分,因此计算时,可以计算其数值积分。显然应具备下列性质：其中为起亮值,为最大值点,为考察的最大范围。也有同样的性质,且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解,解记为,再求出,显然有且。取,即为问题的最优值。现在作简单的说明。对于可行域中的任意一个点,当有〔用到,减少。当,有,〔用到,增加。这就说明了的确是最小值。计算数值结果为。对于本题可以建立连续和离散两种模型。前者可以将本题抽象成一个非线性规划问题,但是求解的过程比较复杂,很容易陷入局部极小值的情况,而且对于问题第二问的求解没什么帮助,但是优点是如果初值取的好可以很精确的求出本题的结果。后者的优点是对于算法而言不是很复杂,求解结果很快,同时可以很方便的解决问题第二问,但是求解得到的结果不是很精确,而且只能给出数值解,并且将光离散成光线以后就不能体现光在传播过程中的散射。在对本题研究中我们发现在各参赛队的论文中出现了许多不同的模型和不同的方法。这充分显示出建模竞赛题的开放性,更体现了竞赛对学生思维的开发和激励。有些同学考虑了两部分光线,即直射部分了反射部分,通过两部分的叠加,从而求出屏幕上B,C两点的光强这样做更符合实际情况。有些同学则是将直射部分忽略,这样做更容易求解。在求解过程中,有同学直接根据线光源上的点与反射点和屏幕上成像点的位置关系求出其函数表达式。虽然这样求解更精确但是实际操作很困难。另一部分同学则是将线光源看成是许多点光源组成,这样就变成求解各点在屏幕上的光强。当线光源分成一定数量的点光源时,屏幕上各点的光强就很接近实际的光强,但这样需要进行大量的计算,不过这是计算机软件的模拟起到非常大的作用。各个参赛队的模型不乏独到之处。有些参赛队采用光线跟踪模型,用计算反射到B,c两点各自领域中的光线条数来决定领域中接受到的反射光的功率。考虑到均匀分布的光线由于反射点距离和反射方向的不同,因而具有不同的反射功率,他们巧妙地改变光线的分布,使每条光线反射的能量基本相同,大大地减少了数值模拟的误差。有些参赛队采用逆向思维的方式,注意到反射光线光程的可逆性,他们在跟踪光线或分析反射点轨迹时,不是从光源上的点发出光线,而是从测试屏上的B,C点出发考虑问题。这一方法,在某些情况下可简化问题,减少计算量。有些参赛队将光线跟踪法和分析反射点轨迹的方法结合起来,他们将B,C两点处的反射光功率之比视作能从线光源上任何点发射的能反射到这两点的光线数总和之比,于是将问题归结为反射面上可将光源反射到B点和C点的反射点的轨迹的测度之比。此法虽有忽略反射点不同反