等比数列等比关系的确定答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{}，[]，（）A、是等差数列但不是等比数列 B、是等比数列但不是等差数列C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列也不是等比数列考点：等差关系的确定；等比关系的确定。专题：计算题。分析：可分别求得，．则等比数列性质易得三者构成等比数列．解答：解：根据题意可得，．∵×=12，+≠2∴{}，[]，为等比数列，不是等差数列故选B．点评：本题主要考查了等差关系和等比关系的判定．定义法之外，也可利用等差中项和等比中项的性质来判断．2、已知tanB=，则cotA、cotB、cotC（）A、成等差数列 B、成等比数列C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列又不是等比数列

3、已知曲线及两点A1（x1，0）和A2（x2，0），其中x2＞x1＞0．过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3（x3，0），那么（）A、成等差数列 B、成等比数列C、x1，x3，x2成等差数列 D、x1，x3，x2成等比数列考点：等差关系的确定；等比关系的确定。专题：综合题。分析：先求出B1，B2两点的坐标，进而得到直线B1B2的方程，再令y=0求出x3，即可得出结论．解答：解：由题得：），B2（）．∴直线B1B2的方程为：y﹣=（x﹣x1）⇒y﹣=﹣（x﹣x1）．令y=0⇒x=x1+x2，即x3=x1+x2，故选A．点评：本题主要考查直线方程的求法，点的坐标的求法以及等差关系的确定问题，是对基础知识的考查，属于基础题目．4、某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是（）A、公差为0的等差数列 B、公比为1的等比数列C、常数数列1，1，1 D、以上都不对考点：等差关系的确定；等比关系的确定。专题：综合题。分析：先设该数列的公比为q，公差为d，则q和d均为常数，进而通过an+1﹣an=d化简得an（1﹣q）=d，讨论当q≠1时an=可推知数列{an}为常数列，与q≠1矛盾．进而推断q=1．答案可知．

5、设2008a=3，2022b=6，2008c=12，则数列a，b，cA、是等差数列，但不是等比数列 B、是等比数列，但不是等差数列C、既是等差数列又是等比数列 D、既非等差数列又非等比数列考点：等差关系的确定；等比关系的确定。专题：计算题。分析：根据对数的定义求出a=log20223，b=log20226，c=log202212；b﹣a=c﹣b，得到a、b、c是等差数列．而≠，所以a、b、c不是等比数列．解答：解：因为2022a=3，2022b=6，2022c=12，根据对数定义得：a=log20223，b=log20226，c=log202212；而b﹣a=log20226﹣log20223==log20222；c﹣b=log122022﹣log62022=log20222，所以b﹣a=c﹣b，数列a、b、c为等差数列．而≠，数列a、b、c不为等比数列．故选A点评：考查学生会确定等差、等比数列的关系，以及会根据对数定义化简求值．6、已知数列{an}，an=a1+a2+…+an﹣1（n=2，3，…）且a1=1，Sn表示数列{an}前n项的和，则（）A、数列{Sn}是等比数列 B、数列{Sn}是等差数列C、数列{an}是等比数列 D、数列{an}是等差数列考点：等比关系的确定；数列的求和。专题：综合题。分析：先根据an与Sn的关系把an=a1+a2+…+an﹣1转化为Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1；整理后再结合a1=1即可求出结论．解答：解：因为an=a1+a2+…+an﹣1所以有：Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1．即：Sn=2Sn﹣1．又∵S1=a1=1∴=2．∴数列{Sn}是以1为首项，2为公比的等比数列．故选A．点评：本题主要考查an与Sn的关系以及等比关系的确定．解决本题的关键在于根据an与Sn的关系把an=a1+a2+…+an﹣1转化为：Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1．7、若在两个正数a，b中间插入两个数，使它们成等比数列，则公比为q1；若在a，b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q2，那么q1与q2的关系是（）A、q13=q24 B、q12=q23C、q1= D、q2=

8、在数列{an}中，a1=a（a∈R），an+1=3Sn（n∈N*），则数列{an}（）A、可以是等差数列 B、既可以是等差数列又可以是等比数列C、可以是等比数列 D、既不能是等差数列又不能是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定。专题：综合题。分析：这是一道典型的含有an+1，Sn的递推公式来求通项公式的题目，利用公式本题是先求出Sn，再由Sn求出an，要注意对n=1和n≥2进行讨论．解答：解：由已知，a1=a，an+1=3Sn=Sn+1﹣Sn，得4Sn=Sn+1，当a=0时，各项都为0，是等差数列；当a≠0时，有=4，即{Sn}是首项为a，公比为4的等比数列，所以Sn=a•4n﹣1，又由公式得到an=．当a≠0，因为a1=a，a2=3a，a3=12a，，所以：，不是等比数列．故选A．点评：本题属于基础题目，运算上较为容易，另外需注意求出Sn之后，只要注意讨论n=1和n≥2的情形，进一步求出{an}的通项公式，用到的思想方法是分段讨论法9、在数列{an}中an≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5（）A、是等差数列 B、是等比数列C、三个数的倒数成等差数列 D、三个数的平方成等差数列考点：等比关系的确定。专题：综合题。分析：根据a1，a2，a3成等差数列可得a2=，根据a3，a4，a5的倒数成等差数列可知a4=，根据a2，a3，a4成等比数列可知a32=a2•a4，把刚才求得的a2和a4代入此等式化简可得a32=a1•a5，根据等比数列的等比中项10、已知正数a、b、c成等比数列，则下列三数也成等比数列的是（）A、lgalgblgc B、10a10bC、5lga5lgb5lgc D、考点：等比关系的确定。专题：计算题。分析：可用特殊值法进行排除．令a=b=c=1则lga=lgb=lgc=0排除A；令a=2，b=4，c=8，则可排除B，D．解答：解：假设a=b=c=1，则lga=lgb=lgc=0，故lga、lgb、lgc不可能成等比数列．故排除A．假设a=2，b=4，c=8，则102，104，108不成等比数列，排除B；，，也不成等比数列，排除D故选C．点评：本题主要考查了等比数列关系的确定．对于选择题，我们可用特殊值法进行排除，可收到事倍功半的效果．11、如果数列{an}是一个以q为公比的等比数列，bn=﹣2an（n∈N*），那么数列{bn}是（）A、以q为公比的等比数列 B、以﹣q为公比的等比数列C、以2q为公比的等比数列 D、以﹣2q为公比的等比数列考点：等比关系的确定。专题：阅读型。分析：考查出===q，即可判断结果．解答：解：=q，∴===q，所以，数列{bn}是以q为公比的等比数列．故选A．点评：本题考查等比数列的定义，判断．是简单题目．12、已知函数f（x）=3•2x﹣1，则当x∈N时，数列{f（n+1）﹣f（n）}（）A、是等比数列 B、是等差数列C、从第2项起是等比数列 D、是常数列考点：等比关系的确定。专题：计算题；转化思想。分析：利用函数的解析式，求得f（n+1）﹣f（n），则可求，结果为常数．进而可判断出数13、设{an}是等比数列，有下列四个命题：①an2是等比数列；②anan+1是等比数列；③是等比数列；④lg|an|是等比数列．其中正确命题的个数是（）A、1 B、2C、3 D、4考点：等比关系的确定。专题：综合题。分析：由{an}是等比数列可得，根据等比数列的判断方法，分别检验①②③④是否为常数进行判断解答：解：{an}是等比数列可得①，故①正确②，故②正确③为常数，故③正确④，故④错误故选C．点评：要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．14、互不相等的三个正数x1，x2，x3成等比数列，且点P1（logax1，logby1）P2（logax2，logby2），P3（logax3，logby3）共线（a＞0且a≠0，b＞且b≠1）则y1，y2，y3成（）A、等差数列，但不等比数列 B、等比数列而非等差数列C、等比数列，也可能成等差数列 D、既不是等比数列，又不是等差数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定。专题：计算题。分析：根据三点共线斜率相等，可求得=，根据x1，x2，x3成等比数列，进而可推断出=，当三者不相等时可推断出三者成等比数列，若三者相等也可能成等差数列．

∴y1，y2，y3成等比数列，若y1，y2，y3相等，y1，y2，y3也成等差数列∴y1，y2，y3成等比数列，也可能成差数列故选B点评：本题主要考查了等比关系的确定和对数函数的性质．考查了学生综合分析问题的能力．15、数列{an}为等比数列，则下列结论中不正确的有（）A、{an2}是等比数列 B、是等比数列C、{lgan}是等差数列 D、{lg|an|}是等差数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定。专题：计算题。分析：由题意设=q，则lg=lgan+1﹣lgan=lgq（当且仅当q＞0是有意义），所以{lgan}是等差数列是错误的．解答：解：因为数列{an}为等比数列，所以设=q，则lg=lgan+1﹣lgan=lgq（当且仅当q＞0是有意义）所以{lgan}是等差数列是错误的．故选C．点评：本题主要考查了等比数列的性质以及等差数列的定义．16、已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1=1．S2=2，且Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1=0，（n∈N*，n≥2，则此数列为（）A、等差数 B、等比数列C、从第二项起为等差数列 D、从第二项起为等比数列17、已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*，点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，则数列{an}（）A、是等差数列不是等比数列 B、是等比数列不是等差数列C、是常数列 D、既不是等差数列也不是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定。专题：计算题。分析：由点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，可得Sn=3n+2，再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解．解答：解：由题意，∵点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上∴Sn=3n+2当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3当n=1时，a1=5∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列故选D点评：本题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．18、若{an}的前n项和Sn=1+pan（p≠0，p≠1），则{an}是（）A、等差数列 B、等比数列C、常数列 D、即非等差，又非等比数列考点：等比关系的确定。专题：计算题。分析：先由Sn=1+pan得Sn﹣1=1+pan﹣1则两式相减可得数列{an}的递推关系式，再利用等比数列的定义证明即可解答：解：∵Sn=1+pan∴Sn﹣1=1+pan﹣1则∴an=pan﹣pan﹣1（n≥2）∴=（p≠0，p≠1）∴{an}是等比数列故选B点评：本题考查了前n项和与第n项间递推关系式的运用，解题时要特别注意数列定义域的变化，准确把握证明数列性质的方法19、若数列{an}的前n项和Sn=3n+1﹣a，那么要使{an}为等比数列，实数a的值为（）A、3 B、0C、﹣3 D、不存在

点评：本题主要考查等比数列的关系的确定，属基础题．20、下列叙述正确的是（）A、函数y=ax（a＞0，且a≠0）的值域为实数集R B、函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是πC、数列{an}满足an+1=2an，则{an}一定为等比数列 D、向量，则其模长为2考点：等比关系的确定。专题：阅读型。分析：本题考查的知识点是，判断命题真假，用函数、三角函数、数列、向量的知识对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．解答：解：函数y=ax（a＞0，且a≠0）的值域为（0，+∞），不是实数集RA错y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，最小正周期是πB对当an=0时，满足an+1=2an，，但{an}不为等比数列C错向量，则其模长为，不为2．D错．故选B．点评：本题考查命题真假的判断．用到了函数、三角函数、数列、向量的基础知识．是好题．二、填空题（共5小题）21、奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值，又f（1）=3．（1）求f（x）的表达式；（2）设g（x）=xf（x），正数数列{an}中，a1=1，an+12=g（an），求数列{an}的通项公式；（3）设，数列{bn}中b1=m（m＞0），bn+1=h（bn）（n∈N*）．是否存在常数m使bn•bn+1＞0对任意n∈N*恒成立．若存在，求m的取值范围，若不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；等比关系的确定。专题：计算题。分析：（1）根据f（1）=3，以及f（x）为奇函数可求出b的值，然后根据当x＞0时，f（x）有最小值，可求出c的值，从而求出函数的解析式；（2）根据an+12=g（an）可证得{an2+1}为等比数列，其首项为a12+1=2，公比为2，从而求出数列{an}的通项公式；（3）假设存在正实数m，对任意n∈N*，使bn•bn+1＞0恒成立，然后根据放缩法可得，取n＞1+b12，即n＞m2+1时，有bn＜0与bn＞0矛盾，从而得到结论．解答：解（1）；∵是奇函数；∴即又可知和不能同时为0故b=0a+b+1=3c+3d，∴∴当x＞0时，f（x）有最大值∴得∴（2）∵g（x）=2x2+1∴an+12=2an2+1⇒an+12+1=2（an2+1）∴{an2+1}为等比数列，其首项为a12+1=2，公比为2∴an2+1=（a12+1）•2n﹣1=2n∴（3）由题∴假设存在正实数m，对任意n∈N*，使bn•bn+1＞0恒成立．∵b1=m＞0∴bn＞0恒成立．∴∴又∴取n＞1+b12，即n＞m2+1时，有bn＜0与bn＞0矛盾．因此，不存在正实数m，使bn•bn+1＞0对n∈N*恒成立．点评：本题主要考查了函数的解析式，以及函数的奇偶性和恒成立问题，同时考查了数列的综合运用，属于中档题．22、设函数，f（x）的最小值为an，最大值为bn，记cn=（1﹣an）（1﹣bn）则数列{cn}是常数数列．（填等比、等差、常数或其他没有规律）考点：数列的函数特性；函数的值域；等差关系的确定；等比关系的确定。专题：计算题。分析：先利用判别式法求出函数的值域，从而求出an与bn，代入cn=（1﹣an）（1﹣bn），然后判定数列{cn}的规律．解答：解：令y=，则y（x2+x+1）=x2﹣x+n整理得：（y﹣1）x2+（y+1）x+y﹣n=0△=（y+1）2﹣4（y﹣1）（y﹣n）≥0解得：≤y≤∴f（x）的最小值为an=，最大值为bn=cn=（1﹣an）（1﹣bn）=﹣∴数列{cn}是常数数列故答案为：常数点评：本题主要考查了分式函数的值域，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．23、若在所给条件下，数列{an}的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列各组条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上①②③⑤．（注：Sn是{an}的前n项和，n∈N*）①{an}是等差数列，S1=2，S2=3；②{an}是等差数列，S1=1，S5=25；③{an}是等比数列，S1=1，S4=31；④{an}是等比数列，S1=2，a3=2；⑤{an}满足Sn=2an．考点：等差关系的确定；等比关系的确定。专题：存在型。分析：通过题目提供的信息，由等差数列，等比数列的项和前n项和以及它们的关系求得其通项，即可确定该数列中的项，从而得到答案．解答：解：∵①{an}是等差数列，设其公差为d，又∵S1=2，S2=3∴a2=3﹣2=1∴d=1﹣2=﹣1∴an=2﹣（n﹣1）=3﹣n每一项都是确定的，∴①对∵②{an}是等差数列，S1=1，S5=25∴S5===25∴a5=9∴4d=9﹣1=8∴d=2∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴②对∵③{an}是等比数列，S1=1，S4=31设其公比为q（q≠1），∴S4===31∴q3+q2+q=30令y=q3+q2+q，则y′=3q2+2q+1，∵其△=4﹣12=﹣8＜0∴y′＞0恒成立∴函数y=q3+q2+q为单调增函数，∴方程q3+q2+q=30有唯一的解，即{an}的每一项都是确定的．∴③对．④{an}是等比数列，S1=2，a3=a1•q2=2∴q2=1∴q=±1∴{an}的各项是不确定的∴④不对．⑤{an}满足Sn=2an∴a1=2a1∴a1=0当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1∴an=2an﹣1，∴an=0．∴⑤对故答案为：①②③⑤点评：本题是一道信息给予题，正确把握新概念是解决问题的根本，主要考查了等差，等比关系的确定，是个基础题．24、下列命题正确的有②④（把所有正确命题的序号填在横线上）：①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．考点：等差关系的确定；等比关系的确定；等差数列的性质。专题：阅读型。分析：①取数列{an}为常数列，即可推出该命题是假命题；②根据等差数列的性质，推出2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…为等差数列；③根据等比数列的性质，得到（S2n﹣Sn）2与Sn•（S3n﹣S2n）相等，得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…是等比数列；④根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，与已知的Sn=3n+b对比后，即可得到b的值．

点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质化简求值，是一道综合题．属中档题．25、在1，2之间插入n个正数a1，a2，…，an，使这n+2个数成等比数列，则a1a2a3…an=．考点：等比关系的确定。专题：计算题。分析：根据题意可得：1，a1，a2，a3，…，an，2成等比数列，结合等比数列的性质当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，则有aman=apaq可得a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k=1×2，再利用倒序相乘可得答案．解答：解：由题意可得：1，a1，a2，a3，，an，2成等比数列，根据等比数列的性质：{an}为等比数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，则有aman=apaq可得：a1an=a2an﹣1=a3an﹣2=akan﹣k=1×2=2，所以（a1•a2…an）2=（a1an）（a2an﹣1）（a3an﹣2）（an﹣1a2）（ana1）=（1×2）n=2n，所以a1a2a3…an=．故答案为：．点评：本题主要考查了等比数列的性质，即：在等比数列{an}中，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，则有aman=apaq．三、解答题（共5小题）26、已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则x0称是函数y=f（x）的一个不动点，设．（1）求函数y=f（x）的不动点；（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使恒成立的常数k的值；（3）对由a1=1，an=f（an﹣1）定义的数列{an}，求其通项公式an．考点：函数恒成立问题；等比关系的确定。专题：计算题；新定义。分析：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x0，然后根据不动点的定义建立方程，解之即可；（2）由（1）可知，代入可求出常数k的值；（3）由（2）可知数列为首项，8为公比的等比数列，然后求出通项，即可求出数列{an}的通项公式．

即以为首项，8为公比的等比数列．则∴．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及等比数列求通项，同时考查了前后问题之间的联系，属于中档题．27、已知函数的反函数为f﹣1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f﹣1（an）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．考点：反函数；等比关系的确定；数列的求和；数列递推式。专题：计算题。分析：（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列的通项，最后求出数列{an}的通项．（2）据成等比数列求得数列{bn}的通项，再利用错位相乘法求其前n项和即可．解答：解：（Ⅰ）∵=（x≥4），∴f﹣1（x）=（x≥0），∴an+1=f﹣1（an）=，即（n∈N*）．∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．∴，即an=（2n﹣1）2（n∈N*）．（Ⅱ）∵成等比数列，∴从而（n∈N*）．∴Sn=b1+b2++bn=则两式相减得=∴．点评：本题考查反函数的求法，以及等差数列等比数列的通项公式和性质，还有错位相头减法求数列的前n项和．属于中档题．28、1987年7月11日世界人口达到50亿，联合国将7月11日定为“世界人口日”；1993年的“世界人口日”全球人口达到亿．（1）在这几年里，每年人口平均增长率是多少？（2）按这个增长率，预测2022年“世界人口日”的世界人口数．（精确到1亿）参考数据：