黄冈中学初高中衔接教材含答案

黄冈中学初高中数学衔接教材

｛新课标人教A版｝

100页超权威超容量完整版

典型试题举一反三

理解记忆成功衔接

｛黄冈中学教材系列｝第一部分如何做好初高中衔接「3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节”4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练67T00页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接・第一讲如何学好高中数学•初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析•、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。-高中数学与初中数学特点的变化1数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。2思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等，分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。3知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，耍做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然;类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。二不良的学习状态1学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。2思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自己在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。3学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对耍点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。4不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹫远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。5进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的耍求。三科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，耍讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。1培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自磨炼学习意志。(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，耍讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”至！1“会”。(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验,通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。2循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囱冏吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就;有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作耍求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理,射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0,即fa(a>0)|tz|=\0(n=0)<0)⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小(4)两个绝对值不等式:|x|<a(a>0)=—<尤<a；|x|>a(a>0)=/<或x>〃2乘法公式：⑴平方差公式：a2-b2=(a-^h)(a-h)⑵立方差公式：a'-h3=(6F-/?)(tz2+ab+H)⑶立方和公式：a^b3=(a+h)(a2-ah+h2)⑷完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab^-h2,(a+Z?+c)〜=a〜+b〜+c?+2ab+2ac+2bc⑸完全立方公式：(。土bp=/±3a2b-^-3ab2±b'3分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。4一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为lo⑶关于方程。X=b解的讨论①当axO时，方程有唯一解x=2;a②当a=0,b¥0时，方程无解③当。=0,b=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。5二元一次方程组：(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。(3)二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。(4)解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。6不等式与不等式组(1)不等式：①用符不等号(＞、#、＜)连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。(2)不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。7一元二次方程：ax2+hx+c=0(<20)①方程有两个实数根<=> A=Z?2-4ac>0[A>0②方程有两根同号<=> \cxtx2=—>0Ia[A>0③方程有两根异号o \cxtx2=—<0Ia④韦达定理及应用：%+/=-2小%=上aa

x：+x；=（演+x2）2-2x^2, |七一々I=Q（X1+x2）2-4x^2Va_"2-4ac\a\同M+W=（再+X?）（X）2一X］々+X；）=（再+/）［（再+无2）Va_"2-4ac\a\同(1)变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y=H+8(%为常数，女不等于0)的形式，则称y是x的一次函数。②当6=0时，称y是x的正比例函数。一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=Ax的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k<0,b<0,则经2、3、4象限；当上<0,8〉0时，则经1、2、4象限；当2>0,匕<0时，则经1、3、4象限；当太>0,b〉0时，则经1、2、3象限。④当%>0时，y的值随x值的增大而增大，当女<0时，y的值随x值的增大而减少。(4)二次函数:①一般式：y=ax1bx+c=a(x+—)2 —―(。w0),对称轴是x=-2,2a4a 2a顶点是(一2,也世)；2a4a②顶点式：y=a(x-^m)2+k(awO),对称轴是工=-加,顶点是(-川，女)；③交点式:y=a(x-xl)(x-x2)(«o),其中(*,0),(x2,0)是抛物线与x轴的交点(5)二次函数的性质h①函数y +bx+c(。工0)的图象关于直线工= 对称。2a_ h②。〉0时，在对称轴(丸=-2)左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴2a(x=-2)右侧；y的值随x值的增大而增大。当x=-2时，y取得最小值2a 2a4砒-/4a③a<0时，在对称轴(x=-2)左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴2ab b(x=-=)右侧；y的值随x值的增大而减少。当x=-3时，y取得最大值2a 2a4ac-b29图形的对称(1)轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。(2)中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。10平面直角坐标系(1)在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角坐标系的原点。(2)平面直角坐标系内的对称点：设用'(马,必)是直角坐标系内的两点，①若M和关于y轴对称，则有1*=一々。[yi=y2②若M和关于x轴对称，则有。I7i=-y2③若m和m关于原点对称，则有卜二一与。5=一必④若〃和关于直线y=x对称，则有「小力。⑤若M和关于直线x=a对称，则有H=2"/或小=2a-%。I%=必I11统计与概率：(1)科学记数法：•个大于10的数可以表示成AxlO,的形式，其中A大于等于1小于10,N是正整数。(2)扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。(3)各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。(5)平均数：对于N个数%,％,…,右，我们把《(%+%+…+X/)叫做这个N个数的算术平均数，记为嚏。(6)加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。(7)中位数与众数：①/个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。(8)调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。(9)频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。(10)数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。(11)事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。(12)概率：①人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0,记作尸(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么0<P(4)<l第四部分分章节突破数与式的运算绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2.2二次函数2.2.1二次函数尸a*+6x+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式3.1二元二次方程组解法3.2一元二次不等式解法1相似形1.1.平行线分线段成比例定理1.2相似形3.2三角形三角形的“四心”儿种特殊的三角形3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2点的轨迹1.1数与式的运算1.1.1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即Q,〃>0,|a|=<0,a—0,[-a,a<0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的儿何意义：I。-4表示在数轴上，数。和数b之间的距离.例1解不等式：卜一1|+卜-3|>4.解法-,:由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；①若x<l,不等式可变为-(x-l)-(x-3)>4,即-2x+4>4,解得xVO,又“V1,...xVO；②若lWx<2,不等式可变为即1>4,...不存在满足条件的X；③若X23,不等式可变为（％—1）+。一3）>4,即2%-4>4,解得x>4.又x23, x>4.综上所述，原不等式的解为x<0,或x>4.解法二：如图1.1—1,k-1|表示X轴上坐标为X的点夕到坐标为1的点A之间的距离IHI，即|川=|又一1|；即一3||x-3| A TOC\o"1-5"\h\z表示x轴上点a到坐标为2的点8之间的距 ，71ni V /I o L/I I I I I :离|阳即|如|=*一3|. 0 \ 3 4 x以一1|所以，不等式|x-1|+卜-3|>4的几何意 图1.1一1义即为\PA\+\PB\>4.由|3|=2,可知点P在点。（坐标为0）的左侧、或点尸在点〃（坐标为4）的右侧.xVO,或x>4.练习1.填空:(1)若国=5,则产；若|x|=|-4|,则产.(2)如果同+网=5,且a=-1,则b=；若|1-c|=2,则c=.2.选择题：下 歹U 叙()(A)若同=例，则a=b(C)若a<b,则<|b|述正确的是(B)若同〉网,则a〉b(D)若同=M|，则“=±63.化简：|x—51—12x—13](x>5).1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式 (a+b)(a-6)=/一/；(2)完全平方公式 (。士bf=a?±.我们还可以通过证明得到下列•些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(a+Z?)(a~-ab+/?")=a+h；(a—b)(a~+uh+h~)=s-；(a+Z7+c)~=a~+b~+c~+2(g/j+he+ac)；(4)两数和立方公式(a+bp=ay+3a2b+3/+；(5)两数差立方公式 (a-/?)'=/一3。力+3。价一方.对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算：(X+l)(x-l)(x(4加+ )~=166+4m+( )；-(4加+ )~=166+4m+( )；解法一：原式=(/_1)[(炉+1)2一巧=，-1)(/+/+1)=X6-1.解法二：原式=(尤+1)(/一X+l)(x-l)(x2+X+1)=(x(a+2b-c)2(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ).2.选择题：—x6—1.例2已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求T+b?+c?的值.2c+2c+2b十2aa1-3

+b1-2

z(\=21一4一2lj9\)z(1)若(1)若X2+—mx+k是一个

2完全平方式，则々等于(A)m2(B)-m24(A)m2(B)-m24(C)-m

3(D)162)不论a,方为何实)(A)总是正数(C)可以是零数> a~+b~—2a—4Z?+8的值(B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数二次根式・般地，形如右(a20)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a+^a2+b+2b,J">。等是无理式,而瓜z+冬x+l,x2+y[2xy+y2,"等是有理式..分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如正与血，3右与，6+网与6-娓,2月-3及与26+3及，等等.一般地，ayfx与ay/x+byfyay/x-by/^,“4+6与互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式右筋=疝(。20乃20)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式..二次根式"的意义病=同=卜o-0>[-a,a<0.例1将下列式子化为最简二次根式：y/\2b； (2)4a^b(a>0)； (3)，4尤6y(x<0).解：(1)>/}2b=2yf3b；a2b= =ay/b(a>0)；\]4x6y=2|x31y/y=-2x3y[y(x<0).例2计算：6+(3-6).解法一'：G+(3—百)=-3-V373-(3+73)

(3-扬(3+拘373+39-33(V5+i)6_V3+12'解法二： G+(3-G)=3-V3G(G-i)_i

V3-1G+i

(>/3-l)(V3+l)_V3+1例3试比较下列各组数的大小:(1)(1)VH-Vh^nVn-Vio；(2)2V6+4解:⑴55丁解:⑴55丁2V6+4<2V2-V6.TOC\o"1-5"\h\z(位-而)(如+布)_ 1Vii+Vn-无+拒旧-M（而一而）（而+而）_ 11 -TTT+Vio —而+而又疝+而〉而7>质,Vil-Vn<Vn-Vio....2五—瓜=2近一瓜=(20-1)(20+卡)= 21 - 2y[2+46 -2V2+V6又4>2^2,，m+4>m+2卷例4化简：（百+V2）2004.（6-及严$.W：(V3+V2)2004-(V3-V2)2005=(6+V2)2004.(6-VI产,.(百-&)=[(V3+扬.(百—扬广4-(V3-V2)=12oo4.(>/3-V2)=V3-V2.例5化简：（1）也-46；(2)x-4——2(0<x<1).解：(1)原式=。5+4指+4=J（肉、2x2x后+2==7（2-V5）2=|2-V5|=75-2.1X1X—X(2)原式=已知已知x>/3—>/2V34-y[i v- 5/34-5/2 y/3~~>/2求3』-5xy+3y?的值,解:*+繇=向后+回物』。,_也_6百+&_X>->/3+V2V3-V2-'3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-1Ixy=3x102-11=289.L填空:(1)1—>/3l+>/3(2)若J(5—x)(x—3)2=(x—3)V^，则x的取值范围是4V24-6V54+3V96-2Vi50=(4)Jx+(4)Jx+1-s/x—1•Jx+l+>/x—12.选择题:等式/卫=7工成立的条件是VX—2y/x—2)(A)xh2 (B)x>0 (C)x>2 (D)0<x<2.若4五HTE已，求…的值.。+1.比较大小：2—小#-木（填“>”，或"V”）.1.4.分式.分式的意义4 A形如△的式子，若3中含有字母，且8#0,则称△为分式.当/斤0时，分B BA式自具有下列性质：BA_AxM~B~BxM：A_A+MBB+M上述性质被称为分式的基本性质..繁分式a像竺炉K这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d21nn-\-p例1若且巴=&+_£_,求常数A,8的值.x(x+2)xx+2bji・・ABA{x4-2)+Bx+ +2A 5x4-4W：•-I = = = ，xx+2x(x+2) x(x+2) x(x+2).JA+B=5,,,i2A=4,解得A=2,B=3.

(1)试证：——-(其中(1)试证：——-(其中A是正整数);(2)计算:11 1 1x22x31+…+ 9x10(3)证明：对任意大于1的正整数〃，有」一+」一+―+―-—<-.2x33x4 〃(〃+1)2(1)证明：v-一一L=♦+!)-1=—?—,

n〃+1n(n4-1)n(n+l)(其中〃是正整数)成立.n(n+1)nn+1(2)解：由(1)可知(3) 1 1x22x31+证明：；1

3^41

(3) 1 1x22x31+证明：；1

3^41

9x10“1、，11、]

n(n+1)1= ，〃+1又〃22,且〃是正整数，一定为正数，.1 1 1八2x33x4n(n+1)2例3设e=£,且e>l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.a解：在21-5ac+2，=0两边同除以a?,得2^~5e+2=0,(2e—1)(e—2)=0,<1,舍去；或e=2.・二e=2.练习1.填空题:对任意的正整数〃，—^―=一(--——);〃(〃+2)nn+22.选择题：lx—y2

x+y3(A)1(B)-(C)(D)3.正数满足x2-y2=2xy,求^_的值.x+y4.计算贵+11

1

2x33x4199x100.解不等式:|x-l|>3； (2)|x+3|+|x-2|<7；|x-l|+|x+l|>6..已知x+y=l,求d+V+s孙的值..填空：(2+后“2-厨9=；(2)若7(1-«)2+J(l+a>=2,则a的取值范围是:11111.填空:贝ij_3aJ"_

3a2+5ah-2h2⑵若i+H，则xF叫厂_x+y.已知：x=-,y=-,求义一段的值.2 3vx—\]yJx+JyC组1.选择题：1.选择题：( 1 )若\l-a—b-2\[ab=\/-b-y/-a(A)a<h2)(A)(A)a<h2)(A)yf-a(B) (C)-\[-a(D)h<a<0(D)->[a2.解方程2(/4--y)-3(x+-^-)-l=0.

X X3.计算: d3.计算: d + +1x32x43x51

9x114.4.试证：对任意的正整数 1 F,••4 1x2x32x3x4 〃(〃+1)(〃+2)1.1.1.绝对值1.(1)±5；±4 (2)±4；-1或3 2.D3.3a-181.2.乘法公式(1)-a--b (2) (3)4ab-2ac-4bc3 2 24(1)D(2)A1.1.3.二次根式1. (1)百-2 (2)3<x<5 (3)-8>/6 (4)亚.2.C3.14.>1.1.4.分式2.B3.V2-14.2.B3.V2-14.国100习题1.i.i.4.(1)(2)-4VxV3(1)2-V3(2)i.i.4.(1)(2)-4VxV3(1)2-V3(2)42.(3)%<-3,或x>3C组(1)C(2)C2.x=-,x,=2 3.—122 55提示： ! =-[—1 1 ]〃(〃+1)(〃+2)2 + (〃+1)(〃+2)

例1分解因式：(1)y-3%+2； (2)^+4/—12；x2-(a+b)xy+aby2； (4)xy-l+x-y.解：(1)如图1.2—1,将二次项/分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是产一3x+2中的一次项，所以，有V—3x+2=(x—1)(x—2).说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.2-1说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.2-1中的两个x用1来表示(如图1.2—2所示).(2)由图1.2-3,得A3+4x—12=(x—2)(x+6).(3)由图1.2-4,得广一(q+h)xy+aby"=(x一分)(x—by)xy-\+x-y=xy+(x—y)—1=(X—1)(尸4)(如图1.2—5所示)..提取公因式法与分组分解法例2分解因式：/+9+3x?+3x； (2)2x?+xy——4x+5y—6.: (1)/+9+3x~+3x=(丁+3W)+(3x+9)=x~(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).或x'+9+3x~+3x=(丁+3x2+3x+1)+8=(x+l)'+8:=(x+1)3+23=[(x+1)+2][(x+1)2-(x+1)x2+22]=(x+3)(r+3).2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).或2x~+xy—y~_4x+5y—6=(2x~+xy—y~)—(4x—5y)—6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3)..关于x的二次三项式aV+b户c(a2O)的因式分解.若关于刀的方程。/+法+。=0(。工0)的两个实数根是玉、x2,则二次三项式ax2+/?x+c(qw0)就可分解为a(x-x})(x-x2).例3把下列关于x的二次多项式分解因式：(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令/+2%一1=0,则解得玉=-1+&,X2=-\-yfl,：.xx2-2y[2x-3x2-2y[2x-3；(4)(/—2婿一7(Y-2x)+12.3.AA8c三边a,b, +b2+c2=ab+bc+ca,试判定AABC的形状.4.分解因式：^+x-(a2—a).=(x+l-V2)(x+l+V2).(2)令V+4盯一4y2=0,贝IJ解得m=(-2+2夜)y,内=(一2-2&)>,x2+4xy-4/=[x+2(l-V2)y][x+2(l+V2)y].练习1.选择题:多项式2———一15产的一个因式为(A)2x-5y(A)2x-5y (B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y2.2.分解因式：(1)/+6x+8；(3) 2x—1；.分解因式：/+1；b~+c~+2ab+lac+2bc.在实数范围内因式分解：x?-5x+3；(3)3犬+4刈一了2；(2)8a一尻(4)4(x-y+l)+y(y-2x).习题1.2(2)4x4-13/+9；(4)3/+5xy-2y之+x+9y-4L2分解因式B(1)(x+2)(x+4) (2)(2a-b)(4a2+2ab+b2)(3)(x-l-扬(x-1+伪 (4)(2-y)(2x-y+2).习题1.21.(1)(a+l)(a2-a+1) (2)(2x+3)(2x-3)(x+l)(x-l)(b+c)(b+c+2a) (4)(3y-y+4)(x+2y-1)3x+ yx+ y； (4)(x-3)(x+l)(x-l-V5)(x-l+5/5)..等边三角形.(x—a+l)(x+a)2.1一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于,一元二次方程af+6x+c=0（a六0）,用配方法可以将其变形b、2b2—4ac(x+—)2= -2a4a2因为aWO,所以，4a2>0.于是(1)当Z/-4ac>0时，方程①的右端是•个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根汨，汨，2=(2)当62-4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根b用=莅=——；2a(3)当6-4acV0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+2)2一2a定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程a^+bx+c=O(aWO)的根的情况可以由F—4ac来判定，我们把加一4ac叫做一元二次方程a*2+8x+c=0(aWO)的根的判别式，通常用符号“△”来表示.综上所述，对于一元二次方程a^+bx+c=O(aWO),有(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根-b±yjh2-4acXi.2= ；2a(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根(3)当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于X的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1) 3x+3=0； (2)/—ax—1=0；ax-\-(a—1)=0； (4)系-2x+a=0.解：(1)•.•△=32-4XlX3=-3V0,.,.方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式A=a2-4XlX(-l)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根TOC\o"1-5"\h\za+s]a~+4 a— +4Xt= ， = ・2 - 2(3)由于该方程的根的判别式为△=a2—4X1X(a—1)=a2—4a+4=(a—2)，所以，①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根为=及=1;②当aW2时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根为=1,Xz=a-1.(3)由于该方程的根的判别式为A=22~4X1Xa=4—4a=4(1—a),所以①当A〉。，即4(1—a)>0,即aVl时，方程有两个不相等的实数根F=1+>]\—a, x2=1——a；②当△=(),即a=l时，方程有两个相等的实数根X}=X2=1;③当AVO,即a>l时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需耍对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程a*+6x+c=0(aWO)有两个实数根-b+\b2-4ac -b-\b~-4acXt- ，Xj=TOC\o"1-5"\h\z2a ~2a则有-b^\lb2-4ac-b-yjb2-4ac-2b b p = =—

2a 2a 2a a一b+J-4ac-b7b~-4ac/?~-(b~-4ac)44cc中2= t = -； = =-2a 2a 46ra所以，•元二次方程的根与系数之间存在下列关系：h如果ax+bx+c=Q(aWO)的两根分别是汨，x29那么xY+x2=--,不•x2a=-.这一关系也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程f+.+q=O,若*,及是其两根，由韦达定理可知为十及=一。，X,x2=q,即 〃=—（*1+是），q=X、•Xz，所以，方程*+px+q=O可化为V—（*1+花）x+*i，*2=0，由于x”也是一元二次方程x+px+q=Q的两根，所以，乂，莅也是一元二次方程V—（％+而）*+苟•X2=0.因此有以两个数无，也为根的一元二次方程（二次项系数为1）是/一（氏+用）*+%•x2=0.例2已知方程5/+心:-6=0的一个根是2,求它的另一个根及左的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，乂可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出4的值.解法一：..U是方程的一个根，.,.5X22+AX2-6=0,k=l.所以，方程就为5V—7x—6=0,解得用=2,x2=—~.所以，方程的另一个根为一士，女的值为-7.解法二：设方程的另一个根为川贝IJ2%,=--,由 （-3）+2=--,得k=-l.__ „ ... 3 ，.一所以，方程的另一-个根为一g,4的值为-7.例3 已知关于x的方程系+2(加一2)x+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求加的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于力的方程，从而解得加的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设为，质是方程的两根，由韦达定理，得乂+至=-2(/Z7-2)>X\,Xi=m+4.荀•是=21,(jfi+x2)_—3Xi•及=21,即[-2(加一2)了-3(/+4)=21,化简，得iA—16/z/-17=0,解得m=—\,或加=17.当卬=—1时，方程为产+6*+5=0,A>0,满足题意；当加=17时，方程为f+30x+293=0,A=302-4X1X293<0,不合题意，舍去.综上，m=17.说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的力的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出力的值,取满足条件的力的值即可.(1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式A是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为无力利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是月贝I」x+y=4, ①xy=-12. ②由①，得夕=4—x,代入②，得x(4—x)=-12,即 4x—12=0,X\=2,%=6.1%=6, ［丫2=—2.因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程X2—4x—12=0的两个根.解这个方程，得由=-2,禺=6.所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)耍比解法一简捷.例5若m和房分别是•元二次方程2V+5x—3=0的两根.(1)求I%一的1的值；(2)求4+占的值；

X|x2(3)/+/.解：•.•及和版分别是一元二次方程2六+5X-3=0的两根，TOC\o"1-5"\h\z. __5 __3.•* 2--5,V2—2-(1)I为一2为1=(为+也)2—4xtx2=(--|)2-4x(--1)_25, 49 .। _,7 I6 9 ••X\-莅| .4 4 - 2] ]=七2+%2_(7+王)2_2%/2_(_5)_2x(_g);+3=37x22x,2.x22az? (_3y 2 9'2 4/+用3=(x+而)(x;一X生+/)=(为+及)[(汨+思)3小莅]s s a 915=(-2)X[(--)2-3X .2 2 2 8说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设为和％分别是一元二次方程a^+bx-\-c=0(aWO),则-b+\Jb2-4ac-b-y/b2-4ac2a2a2a.,I-b+db，-44c-b-\lb~-4ac2\jb2-4ac..由―%I= = 2a 2a 2a>jb~-4ac_Va

\a\ |a|'于是有下面的结论：若禹和天分别是一元二次方程aV+力x+c=O(aWO),贝力xx—x2\=-^-(其⑷中A=9—4ac).今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程*—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.解：设为，也是方程的两根，则TOC\o"1-5"\h\zx/2=a—4V0, ①且△=(-1)2—4g一4)>0. ②由①得 aV4,17由②得 a<~....a的取值范围是aV4..选择题:1 )方程x?-2百kx+3k2=0的根的情况是(A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根(2)若关于x的方程以V+(2"+Dx+加=0有两个不相等的实数根，则实数加的 取值 范 围 是()(A)以V—(B)ni>——44(C)m<—,且加W0(D)m>——,且g=044.填空：(1)若方程产-3入一1=0的两根分别是汨和而，则，+:=.(2)方程2加=0(符0)的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是..已知，力+84+16+|6—1|=0,当A取何值时，方程4*+ax+6=0有两个不相等的实数根？.已知方程4—3x—1=0的两根为汨和及，求(汨一3)(%—3)的值.习题2.1A组.选择题：(1)已知关于x的方程，+而一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()TOC\o"1-5"\h\z(A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2(2)下列四个说法：①方程V+2X—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；②方程x-2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；、 7③方程3产一7=0的两根之和为0,两根之积为-一；3④方程3f+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是 ()(A)l个 (B)2个 (C)3个(D)4个(3)关于*的一元二次方程a*—5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1.填空：(1)方程加+4才-1=0的两根之和为一2,贝Ij4=.(2)方程2V—x—4=0的两根为a,B,则a^+B'.(3)已知关于*的方程f-ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2V+2x—1=0的两根为M和X”贝力x}-x2\=.试判定当加取何值时，关于x的一元二次方程0米2—(2m+1)x+l=O有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程/一7才一1=0各根的相反数.B组.选择题：若关于x的方程x+4+1=0的两根互为相反数，则k的值为)(A)1,或一1 (B)1 (C)-1 (D)0.填空：(1)若m,n是方程y+2005*—1=0的两个实数根，则n^n+miT—nin的值等于.(2)如果a,力是方程产+*—1=0的两个实数根，那么代数式d+aZ+a/^+万的值是,.已知关于x的方程Ax—2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根;(2)设方程的两根为汨和而，如果2(xi+x?)＞矛|司，求实数4的取值范围..一元二次方程ay+6x+c=0(aWO)的两根为及和近求：I 而I和~+1；2/+/..关于x的方程/+4x+/=0的两根为由，生满足I历一屋|=2,求实数%的值.C组.选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2V—8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)G (B)3 (C)6 (D)9(2)若为，及是方程2/—4入+1=0的两个根，则%+区的值为()3(A)6 (B)4 (C)3 (D)-2(3)如果关于*的方程V—2(1—勿)x+/=0有两实数根a,B,则a+B的取值范围(A)a+B”(B)a+p"(C)a+B2l(D)a(A)(A)a+B”(B)a+p"(C)a+B2l(D)a(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根2 2+B<1(4)已知a,b,c是的三边长，那么方程cx2+(a+6)x+£=0的根的4情况是

(C)有两个相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根.填空：若方程f—8犬+/=0的两根为由，及，且3及+2至=18,贝IJ/=..已知X”法是关于x的一元二次方程44X2—4〃x+4+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数A,使(2用一及)(*一2%)=一3成立？若存在，求出〃的2值：若不存在，说明理由；(2)求使±+±-2的值为整数的实数4的整数值；*2 %(3)若左=-2,九=五,试求;I的值.x2.已知关于x的方程X?-(〃?-2)%-生-=0.4(1)求证：无论勿取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根由，及满足|%|=1*1+2,求加的值及相应的X，x2..若关于x的方程V+x+a=0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值范围.2.1一元二次方程练习(1)C(2)D(1)-3 (2)有两个不相等的实数根 (3)产+2*-3=04V4,且20—1提示：(乂-3)(%―3)=由及―3(及+及)+9习题2.1A组. (1)C(2)B提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式△<0,所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为一4.3C提示：当a=0时，方程不是一元二次方程，不合题意.. (1)2 (2)— (3)6 (3)G4.当加〉一!，旦得0时，方程有两个不相等的实数根；当加=一1•时，方程有4两个相等的实数根；当Z-L时，方程没有实数根.44.设已知方程的两根分别是小和也，则所求的方程的两根分别是一局和一及，,/Xi+莅=7,Xi*=1，xj+(一及)=-7,(一X)义(一及)=乂及=—1,所求的方程为"+7y-l=0.B组C提示：由于公1时，方程为父+2=0,没有实数根，所以4=一1.(1)2006提示：,.”+〃=—2005,mn=—1,/.iffn+mif—mn=mn(/n+n~1)-IX(-2005-1)=2006.(2)—3提小；Va~\~b=——1,ab=——1,aab~\~at)4-Ij=a(a+Z?)+1)(a+6)=(a+6)(d'+O')=(a+6)[(a+6)—2a6]=(-1)X[(—1)'—2X(—1)]=-3.(1)•••△=(一4)2—4、1*(-2)=^+8>0,・・・方程一定有两个不相等的实数根.9：x]+x2=k,乂莅=一2,：・2k>-2,即4>一1.(1)IX-Xi\=^-^L,Al^=_±;(2)|a| 22a /*.*X\—x-i|=a/16_4m=2J4-m=2, m=3.把m=3代入方程，△>0,满足题意，二加=3.C组(1)B(2)AC提示：由A20,得危工,a+B=2(1—4》1.2B提示：'：a,b,c是A/6C的三边长，.•.a+8>c,A=(a+Z?)2-c2>0.(1)12提示：•.•氏+毛=8,，3乂+2而=2(汨+而)+为=2义8+为=18,/.Xj=2,.•.入2=6,/./n=x[x2=12.、 3(1)假设存在实数k使(2汨一在)(为一2%)=一一成立.2,•,一元二次方程\kx-\kx-\-A+1=0有两个实数根，，K0,且△=162一16-4+1)=-16420, k<0.

:才:才1+%=1，火+1乂%= 4k（2X]—也）（冬—2也）=2X\—5]及+2及“=2（乂+而/一9%即=2一岂幺*22=-3,4k2即空=（解得Y，与Y0相矛盾，所以，不存在实数.，使3一及）（由-2而）=-3成立.2TOC\o"1-5"\h\z/g\••玉। *2_o_“I +工2 0（*1+'2）“—2x^2 0（X]+々） a\<g/ • ।乙 Z= Z = 4x2X, xtx2 x1x2 XxX24k「4k-4（k+l）_ 4=晨1= "1 =F，.••要使工+五一2的值为整数，只须4+1能整除4.而A为整数，9芯.•.A+1只能取±1,±2,±4.又•.•AVO,，〃+lVL...A+1只能取-1,-2,-4,Ak=—2,-3,-5.能使±+%-2的值为整数的实数A的整数值为-2,-3和-5.%%]（3）当A=-2时，*1+a=1，① X|A2=-,②8①•②，得%+受+2=8,即4+工=6, 22-6/1+1=0,x2X1 2，尤=3±2近.（1）△=2（6一+2>0；(2)XiX2=——^0,...AiWO,”2»0，或XiNO,及<0.4①若*W0,及20,则用=一用+2,.'.Xi+*2=2,：.历一2=2,.*./77=4.此时，方程为V—2x—4=0, x(=1+y/5>x2=1--^5.②若*20,XzWO,则一用=占+2,.,.%+及=-2,.\m—2=-2,...加=0.此时，方程为y+2=0,，*i=0,Xi=-2.5.设方程的两根为X”x2,则*+及=—1，x,x2=a,由一根大于1、另一根小于1,得(乂一1)(x2—1)<0,即X苞一(X[+莅)+1V0,a-(-l)+l<0,/.a<-2.此时，A=12二次函数2.2.2二次函数2.2.1二次函数尸成+bx+c的图像和性质问题1函数尸a*与尸〃的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出尸2系，y=ly,y=-2f的图象，通过2这些函数图象与函数尸*的图象之间的关系，推导出函数尸ax?与尸f的图象之间所存在的关系.实数a的取值范围是aV—2.

先画出函数y=y=2*的图象.先列表：X…-3-2-10123・・・…9410149•••2/…188202818从表中不难看出，要得到2V的值，只要把相应的*的值扩大两倍就可以了.图2.2-1再描点、连线，就分别得到了函数尸V,y=2f的图象(如图2一1所示)，从图2—1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数尸2*的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.图2.2-1同学们也可以用类似于上面的方法画出函数7=-/,尸一2产的2图象，并研究这两个函数图象与函数尸f的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数尸加(&W0)的图象可以由尸，的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数尸aV(aWO)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一^f•坐标系中的开口的大小.问题2函数7=〃(4+方)2+在与了=&父的图象之间存在怎样的0图2.2-2关系？0图2.2-2同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+l)2+l与y=2/

的图象(如图2—2所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数7=2*的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数尸25+1尸+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数尸一3V,尸一3(*—1尸+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数尸a(x+力2+A(aW0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；力决定了二次函数图象的左右平移，而且“方正左移，力负右移”；女决定了二次函数图象的上下平移，而且“才正上移，攵负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+"+c(aW0)的图象的方法：b2-4ac

4a由于y=a/+bx+c=a(^+—x)+c=a(^+—x+-^-r-)+c—-a a 4b2-4ac

4a/b、2=〃(x+—)+2a所以，尸a*+Z?x+c(a#O)的图象可以看作是将函数尸ay的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数尸af+6x+c(a#0)具有下列性质：(1)当a>0时，函数y=ax+bx+c图象开口向上；顶点坐标为(-2,如心1),对称轴为直线户一2；当xv-2时，y随着刀的增大而减小;2a4a 2a 2a当时,y随着X的增大而增大；当k-2时，函数取最小值尸=%二Q2a 2a 4a(2)当a<0时，函数y=a/+bx+c图象开口向下；顶点坐标为（-2,处二少），对称轴为直线T=-—；当XV-2时，y随着X的增大而增大;2a4a 2a 2a当X>一2时,y随着X的增大而减小；当户—2时，函数取最大值y=处世.2a 2a 4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题口寸，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3f-6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.解：Vy=-3Z—6x+l=-3（^+1）J+4,...函数图象的开口向下；对称轴是直线*=一1；顶点坐标为（一1,4）；当x=-1时，函数y取最大值尸4；当xV—1时，y随着x的增大而增大；当x>—l时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点4（一1,4））,与x轴交于点6（2宇,0）和0-2&+3,0）,与y轴的交点为〃（0,1）,过这五点画出图象（如图2—5所示）.说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：X/元130150165力件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量yX（销售价x-120）,日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设_/=履+（B）将x=130,y=70；x=150,尸50代入方程，有70=130k+仇50=150k+4解得k=—\,力=200.y——x+200.设每天的利润为z(元)，则z=(-A+200)(x-120)=-y+320x-24000=-(x-160)2+1600,.•.当x=160时，z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3把二次函数+6x+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位,得到函数y=/的图像，求6,c的值.解法-：y=^+bx+c= 把它的图像向上平移2个单位，再向2 4左平移4个单位，得至lJy=(x+g+4)2+c-?+2的图像，也就是函数了=/的图像，所以，---4=0,<2,解得6=—8,c=14.b2c-幺+2=0,L4解法二：把二次函数y=x+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数尸产的图像，等价于把二次函数尸片的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数尸V+6x+c的图像.由于把二次函数尸/的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数尸(x—4尸+2的图像，即为尸三-8x+14的图像，，函数尸产—8x+14与函数尸表示同一个函数，Ab=—8,c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=x,-2〈后a,其中a2一2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论.解：(1)当a=-2时，函数尸下的图象仅仅对应着一个点(—2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,此时*=一2；(2)当一2VaV0时，由图2.2—6①可知，当*=-2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取最小值尸才；(3)当0WaV2时，由图2.2—6②可知，当*=-2时，函数取最大值了=4；当x=0时，函数取最小值尸0；(4)当a22时，由图2.2—6③可知，当x=a时，函数取最大值尸堤当x=0时，函数取最小值y=0.说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.练习.选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （）（A）y=2/ （B）7=2"—4x+2（C）y=2*—1 （D）y=2f—4x（2）函数y=2（x—1尸+2是将函数y=2*2 （）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的.填空题(1)二次函数y=2e-mx+n图象的顶点坐标为(1,—2),贝ijm=,n(2)已知二次函数y=V+(加一2)x—2卬，当勿=时，函数图象的顶点在y轴上；当/=时，函数图象的顶点在x轴上；当面=时，函数图象经过原点.(3)函数尸一3(x+2)?+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为；当x=时，函数取最 值y=;当a;时，y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况，并画出其图象.(1)y=y—2x—3； (2)y=1+6x—.4.已知函数尸一f—2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)“〈一2；(2)后2；(3)-2在后1；(4)0〈后3.2.2.2二次函数的三种表示方式通过上•小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式:.一般式：y=af+，x+c(aWO)；.顶点式：y=a{x+H)2jt-k(aWO),其中顶点坐标是(一力，4).除了上述两种表示方法外，它还可以用另••种形式来表示.为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数尸af+6x+c(a#O)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=aV+8x+c(aW0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有aV+Zur+c=O.①并且方程①的解就是抛物线尸a*+H+c(aW0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于是，不难发现，抛物线尸a*+6x+c(aW0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数乂与方程①的根的判别式A=Z/-4ac有关，由此可知，抛物线尸ay+6x+c(aW0)与x轴交点个数与根的判别式△=万—4ac存在下列关系：(1)当△>()时，抛物线y=a^+6x+c(aX0)与x轴有两个交点；反过来,若抛物线y=a/+加'+c(a#O)与x轴有两个交点，则△>0也成立.(2)当△=()时，抛物线y=a^+6x+c(a#0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线尸af+bx+c(aWO)与x轴有一个交点，贝！］△=0也成立.(3)当AV0时，抛物线y=aV+加与X轴没有交点；反过来，若抛物线与x轴没有交点，则AV0也成立.于是，若抛物线尸af+6x+c(aW0)与x轴有两个交点/(为，0),6(如0),则汨，而是方程af+8x+c=0的两根，所以b c乂+质=—,为莅=一，a a即 2=-(X|+而)，—=XiX2.所以，y=a^+bx+c=a(.x2+—x+—)aa-a[*—(苟+x2)x+mm]=a(x-xj(x-%).由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线产=苏+辰+M320)与x轴交于4(xi,0),