差分方程求解课件

第八节差分方程

一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程1ppt课件第八节差分方程一、差分二、差分方程的概念一、差分

微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t

取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.定义1

设函数y=f(x),记为yx,则差yx+1

yx称为函数yx

的一阶差分,记为yx,即

yx=

yx+1

yx.2ppt课件一、差分微分方程是自变量连续取值的问题,但在

(yx)=yx+1yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)

=yx+22yx+1+yx为二阶差分,记为2yx,即3yx=(2yx),

同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即

4yx

=(3yx).

2yx

=(yx)=

yx+22yx+1+yx3ppt课件(yx)=yx+1yx

例1求(x3),2(x3),3(x3),4(x3).解(x3)=(x+1)3

x3=3x2+3x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1(3x2+3x+1)=6x+6,

3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6(6x

+6)=6,

4(x3)=(6)

6=0.4ppt课件例1求(x3),2(x3),3二、差分方程的概念

定义2

含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程.差分方程的一般形式为F(x,yx,yx,,nyx)=0.(1)差分方程中可以不含自变量x

和未知函数yx,但必须含有差分.

式(1)中,当n=1时,称为一阶差分方程；当n=2时,称为二阶差分方程.5ppt课件二、差分方程的概念定

例2将差分方程2yx+2yx

=0表示成不含差分的形式.解

yx=yx+1yx,2yx=yx+2yx+1+yx,代入得yx+2yx=0.

由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.6ppt课件例2将差分方程

定义3

含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.

其一般形式为G(x,yx,yx+1,,

yx+n)=0.(2)

定义3中要求

x,yx,yx+1,,

yx+n不少于两个.

例如,

yx+2+

yx+1

=0为差分方程,

yx=x不是差分方程.

差分方程式(2)中,未知函数下标的最大差数为n,则称差分方程为n阶差分方程.7ppt课件定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程,

定义4

如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.

例3验证函数yx=2x+1是差分方程yx+1

yx=2的解.解yx+1=2(x+1)+1=2x+3,

yx+1

yx=2x+3(2x+1)=2,所以yx=2x+1是差分方程yx+1

yx=2的解.

定义5

差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通解.8ppt课件定义4如果一个函数代入差分后,方程两边恒三、一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为yx+1

ayx=f(x).(3)其中a

为不等于零的常数.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.

当f(x)=0时,即yx+1

ayx=0(4)9ppt课件三、一阶常系数线性差分方程一阶先求齐次差分方程

yx+1

ayx=0的解设y0

已知,代入方程可知

y1=

ay0,

y2=

a2y0,

yx=

axy0,令y0=

C,则得齐次差分方程的通解为

yx=

Cax.(5)10ppt课件先求齐次差分方程yx+1ayx=0的解设y0

例4求差分方程yx+1+2yx=0的通解.

解这里a=2,由公式(5)得,通解为

yx=C(2)x.11ppt课件例4求差分方程yx+1+2yx=

定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方程(4)的通解,再讨论非齐次差分方程

yx+1

ayx=f(x)解的结构是(3)的一个特解,则程(3)的通解.是方下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.(1)令f(x)=

b0+b1x++bmxm设特解的待定式为

或(6)(7)其中B0,B1,,Bm为待定系数.

12ppt课件定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的

例5求差分方程yx+12yx=3x2

的一个特解.

解这里a=2,设代入差分方程,得B0+B1(x+1)+B2(x+1)22(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理,得

(B0+B1+B2)+

(

B1+2B2)

xB2x2=3x2.比较系数,得

B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出

B0=

9,B1=6,B2=3,故所求特解为13ppt课件例5求差分方程yx+12yx=

例6求差分方程yx+1yx=x+1的通解.

解对应的齐次方程yx+1yx=0的通解为这里a=1,设

(x+1)[B0+B1(x+1)]

x(B0+B1x)=x+1.整理,得

2B1x+

B0+B1

=x+1.比较系数,得

2B1=1,B0+B1=1,解出故所求通解为代入差分方程,得14ppt课件例6求差分方程yx+1yx=(2)f(x)=Cbx设特解的待定式为

或(8)(9)其中k为待定系数.

15ppt课件(2)f(x)=Cbx

例7求差分方程

的通解.

解对应的齐次方程的通解为因为故可设特解为则16ppt课件例7求差分方程解出则所求通解为17ppt课件解出则所求通解为17ppt课件四、二阶常系数线性差分方程

形如yx+2+

ayx+1+byx=f(x).(10)(其中a,b0,且均为常数)的方程,称为二阶常系数线性差分方程.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+2+

ayx+1+byx=0(11)

类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程(11)的通解.18ppt课件四、二阶常系数线性差分方程形如

当

为常数时,yx

=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设yx

=x为方程(11)的解.代如方程(11)得

x+2+ax+1+bx=0,方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.特征方程的解两个不相等的实根1,2一对共轭复根1,2=i两个相等实根1=2

x+2+ax+1+bx=0的通解

2+a+b=0,(12)

由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：19ppt课件当为常数时,yx=x和它的各阶差

例8求差分方程yx+27yx+1+6yx

=0的通解.

解特征方程为方程的根为1=1,

2=6.

27+6=0.原方程的通解为

yx

=C1+C26x.20ppt课件例8求差分方程yx+27yx+1

例9求差分方程yx+24yx+1+16yx

=0满足条件y0=0,y1=1的特解.

解特征方程为方程的根为

24+16=0.原方程的通解为21ppt课件例9求差分方程yx+24yx+1代入初始条件y0=0,y1=1得解出故所求特解为22ppt课件代入初始条件y0=0,y1=1得解出故所求特解为22pp(1)f(x)=

b0+b1x++bmxm

根据非齐次差分方程

yx+2+

ayx+1+byx=f(x)的函数f(x)的形式,用待定系数法可求出一个特解.设特解的待定式为

其中B0,B1,,Bm为待定系数.

23ppt课件(1)f(x)=b0+b1x++

例10求差分方程yx+2+yx+12yx

=12x的通解.

解对应的齐次方程的特征方程为方程的根为1=2,2=1,

2+2=0.齐次方程的通解为

因为a=1,b=2,1+a+b=0,但a+2=30,所以,设非齐次方程的一个特解为24ppt课件例10求差分方程yx+2+yx+1代入原方程,

得整理,得

[B0+B1(x+2)](x+2)+[B0+B1(x+1)](x+1)(B0+B1x)x=12x.比较系数,得

6B1=12,3B0+5B1=0,解出故所求通解为6B1x+3B0+5B1=12x.25ppt课件代入原方程,得整理,得[B0+B1(x+2)](x(2)f(x)=Cqx设特解的待定式为

其中B为待定系数.

(q不是特征根);

(q是特征方程单根);

(q是二重特征根).

26ppt课件(2)f(x)=Cqx设特解

例11求差分方程yx+23yx+1+2yx

=2x的一个特解.

解对应的齐次方程的特征方程为方程的根为1=1,2=2,

23+2=0.因为q=2=2,设特解为代入原方程,得B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x=2x,所求特解为27ppt课件例11求差分方程yx+23yx+第八节差分方程

一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程28ppt课件第八节差分方程一、差分二、差分方程的概念一、差分

微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t

取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.定义1

设函数y=f(x),记为yx,则差yx+1

yx称为函数yx

的一阶差分,记为yx,即

yx=

yx+1

yx.29ppt课件一、差分微分方程是自变量连续取值的问题,但在

(yx)=yx+1yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)

=yx+22yx+1+yx为二阶差分,记为2yx,即3yx=(2yx),

同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即

4yx

=(3yx).

2yx

=(yx)=

yx+22yx+1+yx30ppt课件(yx)=yx+1yx

例1求(x3),2(x3),3(x3),4(x3).解(x3)=(x+1)3

x3=3x2+3x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1(3x2+3x+1)=6x+6,

3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6(6x

+6)=6,

4(x3)=(6)

6=0.31ppt课件例1求(x3),2(x3),3二、差分方程的概念

定义2

含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程.差分方程的一般形式为F(x,yx,yx,,nyx)=0.(1)差分方程中可以不含自变量x

和未知函数yx,但必须含有差分.

式(1)中,当n=1时,称为一阶差分方程；当n=2时,称为二阶差分方程.32ppt课件二、差分方程的概念定

例2将差分方程2yx+2yx

=0表示成不含差分的形式.解

yx=yx+1yx,2yx=yx+2yx+1+yx,代入得yx+2yx=0.

由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.33ppt课件例2将差分方程

定义3

含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.

其一般形式为G(x,yx,yx+1,,

yx+n)=0.(2)

定义3中要求

x,yx,yx+1,,

yx+n不少于两个.

例如,

yx+2+

yx+1

=0为差分方程,

yx=x不是差分方程.

差分方程式(2)中,未知函数下标的最大差数为n,则称差分方程为n阶差分方程.34ppt课件定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程,

定义4

如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.

例3验证函数yx=2x+1是差分方程yx+1

yx=2的解.解yx+1=2(x+1)+1=2x+3,

yx+1

yx=2x+3(2x+1)=2,所以yx=2x+1是差分方程yx+1

yx=2的解.

定义5

差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通解.35ppt课件定义4如果一个函数代入差分后,方程两边恒三、一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为yx+1

ayx=f(x).(3)其中a

为不等于零的常数.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.

当f(x)=0时,即yx+1

ayx=0(4)36ppt课件三、一阶常系数线性差分方程一阶先求齐次差分方程

yx+1

ayx=0的解设y0

已知,代入方程可知

y1=

ay0,

y2=

a2y0,

yx=

axy0,令y0=

C,则得齐次差分方程的通解为

yx=

Cax.(5)37ppt课件先求齐次差分方程yx+1ayx=0的解设y0

例4求差分方程yx+1+2yx=0的通解.

解这里a=2,由公式(5)得,通解为

yx=C(2)x.38ppt课件例4求差分方程yx+1+2yx=

定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方程(4)的通解,再讨论非齐次差分方程

yx+1

ayx=f(x)解的结构是(3)的一个特解,则程(3)的通解.是方下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.(1)令f(x)=

b0+b1x++bmxm设特解的待定式为

或(6)(7)其中B0,B1,,Bm为待定系数.

39ppt课件定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的

例5求差分方程yx+12yx=3x2

的一个特解.

解这里a=2,设代入差分方程,得B0+B1(x+1)+B2(x+1)22(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理,得

(B0+B1+B2)+

(

B1+2B2)

xB2x2=3x2.比较系数,得

B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出

B0=

9,B1=6,B2=3,故所求特解为40ppt课件例5求差分方程yx+12yx=

例6求差分方程yx+1yx=x+1的通解.

解对应的齐次方程yx+1yx=0的通解为这里a=1,设

(x+1)[B0+B1(x+1)]

x(B0+B1x)=x+1.整理,得

2B1x+

B0+B1

=x+1.比较系数,得

2B1=1,B0+B1=1,解出故所求通解为代入差分方程,得41ppt课件例6求差分方程yx+1yx=(2)f(x)=Cbx设特解的待定式为

或(8)(9)其中k为待定系数.

42ppt课件(2)f(x)=Cbx

例7求差分方程

的通解.

解对应的齐次方程的通解为因为故可设特解为则43ppt课件例7求差分方程解出则所求通解为44ppt课件解出则所求通解为17ppt课件四、二阶常系数线性差分方程

形如yx+2+

ayx+1+byx=f(x).(10)(其中a,b0,且均为常数)的方程,称为二阶常系数线性差分方程.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+2+

ayx+1+byx=0(11)

类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程(11)的通解.45ppt课件四、二阶常系数线性差分方程形如

当

为常数时,yx

=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设yx

=x为方程(11)的解.代如方程(11)得

x+2+ax+1+bx=0,方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.特征方程的解两个不相等的实根1,2一对共轭复根1,2=i两个相等实根1=2

x+2+ax+1+bx=0的通解

2+a+b=0,(12)

由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：46ppt课件当为常数时,yx=x和它的各阶差

例8求差分方程yx+27yx+1+6yx

=0的通解.

解特征方程为方程的根为1=1,

2=6.

27+6=0.原方程的通解为

yx

=C1+C26x.47ppt课件例8求差分方程yx+27yx+1

例9求差分方程yx+24yx+1+16y