布林代数之基本定理课件

第4章布林代數及第摩根定理

………………4-1

布林代數之特質4-2

布林代數之基本運算4-3

布林代數之基本定理4-4

第摩根定理4-5

邏輯閘之互換第4章布林代數及第摩根定理…………………節目錄………….…4-1

布林代數之特質基本的布林代數式可簡單的表示成：F＝f（A，B，C⋯⋯），下圖為其示意圖。F的輸出是輸入變數A、B、C……等的函數，亦即F的值是由輸入變數的值所決定。節目錄………………………………….…4-2

布林代數之基本運算布林代數雖然只有0與1兩種數值，但其基本運算有三種，分別為

OR運算，又稱邏輯的加法運算；AND運算，又稱邏輯的乘法運算；NOT運算，又稱邏輯的補數運算，現針對這三種基本運算之特性說明如下：1.OR運算(1)若A和B為兩個輸入變數，則當A和B以

OR加法組合時，其輸出F表示為F＝A＋B。節目錄………….…(2)F＝A＋B之運算結果為「只要A或B是1，其結果F就是1」。除了A＝B＝1情形外，OR運算與二進制加

法運算相同。2.AND運算(1)若A和B為兩個輸入變數，則當A和B以

AND乘法組合時，其輸出F表示為F＝A·B。(2)F＝A·B之運算結果為「只有A是1且B也是

1，其結果F才是1」。AND運算與二進制乘法運算相同。節目錄(2)F＝A＋B之運算結果為「只要A或B是13.NOT運算(1)若A為一個輸入變數，則當A做NOT補數運

算時，其輸出。(2)之運算結果為「將變數A反轉，即為其結果F，如A=1，則F=0，又如A=0，則F=1」。(3)NOT運算與二進制取1的補數運算相同。節目錄3.NOT運算節目錄節目錄………….…4-3

布林代數之基本定理一、布林代數之假設1.封閉性(1)(2)2.單位元素(1)(2)節目錄………………………3.交換律(1)(2)4.分配律(1)(2)節目錄3.交換律節目錄5.補數元素(1)(2)6.結合律(1)(2)節目錄5.補數元素節目錄對偶性任何布林代數式，必有其相對的對偶式，對偶性之互換原則為(1)將「+」運算改為「·」，「·」運算改為

「+」。(2)將常數項「0」改為「1」，「1」改為

「0」。

(3)變數符號不加以改變。節目錄對偶性節目錄二、布林代數之基本定理

有了布林代數的假設，我們可以以此假設為基礎，發展出下列之基本定理：全等性(1)X+X=X

(2)X·X=X

同一性(1)X+1=1(2)X·0=0自補性

消去性(1)X+XY=X(2)X·(X+Y)=X節目錄二、布林代數之基本定理自補性節目錄節目錄………….…4-4

第摩根定理一、第摩根第一定理「各變數OR運算後之反相，等於各變數先反相後再做AND之運算，即」。接著，我們將第摩根第一定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反或閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入及閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，節目錄………………………如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運算轉換成「AND」運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效或閘。節目錄如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運算轉換成「AND」二、第摩根第二定理第摩根第二定理也就是在表示這個功能性，定理敘述如下：

「各變數AND運算後之反相，等於各變數先反相後再做OR之運算，即」。節目錄二、第摩根第二定理節目錄

接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反及閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，如下圖所示，故第摩根第二定理可將「AND」運算轉換成「OR」運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效及閘。節目錄接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可………….…4-5

邏輯閘之互換在許多布林代數化簡中，第摩根定理常被應用到，而且常是第一定理與第二定理相互搭配使用，是化簡布林代數不可或缺的工具，在練習例題之前，我們再將第摩根第一定理與第二定理陳述一遍。第摩根第一定理

第摩根第二定理

節目錄………….…應用上述之第摩根定理，很容易將布林代數轉換成完全由通用閘（NANDGate或NORGate）所組成的邏輯電路，具有容易設計、製造成本低（因使用的IC數較少）之優點。下列為針對全部由NANDGate或NORGate的邏輯電路化簡方法。節目錄應用上述之第摩根定理，很容易將布林代數轉換成完全由通用閘1.多層NANDGate邏輯電路分析邏輯電路若是由多層的NANDGate所組成，則將標示為奇數層的NANDGate，全部轉換成具反相輸入的ORGate；而標示為偶數層的NANDGate，則保持不變。2.

多層NORGate邏輯電路分析簡化的方法與多層的NANDGate邏輯電路分析類似，所不同的，只是將標為奇數層的NORGate，全部換成具反相輸入的ANDGate。節目錄1.多層NANDGate邏輯電路分析節目錄節目錄節目錄節目錄節目錄布林代數的基本定理節目錄布林代數的基本定理節目錄邏輯閘的互換節目錄邏輯閘的互換節目錄邏輯閘的互換節目錄邏輯閘的互換節目錄第4章布林代數及第摩根定理

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布林代數之特質4-2

布林代數之基本運算4-3

布林代數之基本定理4-4

第摩根定理4-5

邏輯閘之互換第4章布林代數及第摩根定理…………………節目錄………….…4-1

布林代數之特質基本的布林代數式可簡單的表示成：F＝f（A，B，C⋯⋯），下圖為其示意圖。F的輸出是輸入變數A、B、C……等的函數，亦即F的值是由輸入變數的值所決定。節目錄………………………………….…4-2

布林代數之基本運算布林代數雖然只有0與1兩種數值，但其基本運算有三種，分別為

OR運算，又稱邏輯的加法運算；AND運算，又稱邏輯的乘法運算；NOT運算，又稱邏輯的補數運算，現針對這三種基本運算之特性說明如下：1.OR運算(1)若A和B為兩個輸入變數，則當A和B以

OR加法組合時，其輸出F表示為F＝A＋B。節目錄………….…(2)F＝A＋B之運算結果為「只要A或B是1，其結果F就是1」。除了A＝B＝1情形外，OR運算與二進制加

法運算相同。2.AND運算(1)若A和B為兩個輸入變數，則當A和B以

AND乘法組合時，其輸出F表示為F＝A·B。(2)F＝A·B之運算結果為「只有A是1且B也是

1，其結果F才是1」。AND運算與二進制乘法運算相同。節目錄(2)F＝A＋B之運算結果為「只要A或B是13.NOT運算(1)若A為一個輸入變數，則當A做NOT補數運

算時，其輸出。(2)之運算結果為「將變數A反轉，即為其結果F，如A=1，則F=0，又如A=0，則F=1」。(3)NOT運算與二進制取1的補數運算相同。節目錄3.NOT運算節目錄節目錄………….…4-3

布林代數之基本定理一、布林代數之假設1.封閉性(1)(2)2.單位元素(1)(2)節目錄………………………3.交換律(1)(2)4.分配律(1)(2)節目錄3.交換律節目錄5.補數元素(1)(2)6.結合律(1)(2)節目錄5.補數元素節目錄對偶性任何布林代數式，必有其相對的對偶式，對偶性之互換原則為(1)將「+」運算改為「·」，「·」運算改為

「+」。(2)將常數項「0」改為「1」，「1」改為

「0」。

(3)變數符號不加以改變。節目錄對偶性節目錄二、布林代數之基本定理

有了布林代數的假設，我們可以以此假設為基礎，發展出下列之基本定理：全等性(1)X+X=X

(2)X·X=X

同一性(1)X+1=1(2)X·0=0自補性

消去性(1)X+XY=X(2)X·(X+Y)=X節目錄二、布林代數之基本定理自補性節目錄節目錄………….…4-4

第摩根定理一、第摩根第一定理「各變數OR運算後之反相，等於各變數先反相後再做AND之運算，即」。接著，我們將第摩根第一定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反或閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入及閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，節目錄………………………如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運算轉換成「AND」運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效或閘。節目錄如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運算轉換成「AND」二、第摩根第二定理第摩根第二定理也就是在表示這個功能性，定理敘述如下：

「各變數AND運算後之反相，等於各變數先反相後再做OR之運算，即」。節目錄二、第摩根第二定理節目錄

接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反及閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，如下圖所示，故第摩根第二定理可將「AND」運算轉換成「OR」運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效及閘。節目錄接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可………….…4-5

邏輯閘之互換在許多布林代數化簡中，第摩根定理常