向量法教学讲解课件

5.1正弦量的基本概念第5章相量法5.2正弦量的相量表示5.3相量法的分析基础5.1正弦量的基本概念第5章相正弦交流电路的相量法重点内容正弦的相量形式及相量形式的KCL,KVL,元件的伏安关系的相量形式。注意：相量仅是正弦量的一种变换，并不相等。正弦交流电路的相量法重点内容复数一、复数的几种表示形式(1)代数型j+10(2)三角型(3)指数型(4)极坐标型思考：两个复数相等的条件？复数一、复数的几种表示形式(1)代数型j+10(二、复数的运算<一>加减运算（用代数形式）ABA-BA+B1jB几何意义：利用平行四边形法则二、复数的运算<一>加减运算（用代数形式）ABA-BA+B②乘法运算几何意义：ABA*Bj1模相乘角相加②乘法运算几何意义：ABA*Bj1模相乘③除法运算几何意义：ABA/Bj1模相除角相减③除法运算几何意义：ABA/Bj1模相除例1解例2解例1解例2解④旋转因子F•ejqFReImOF•ejq旋转因子复数

:

ejq

=cosq+jsinq=1q欧拉公式④旋转因子F•ejqFReImOF•ejq旋转因子复数

+j,–j,-1都可以看成旋转因子。特殊旋转因子ReImO注意逆时针90度+j,–j,-1都可以看成旋转因子。特殊旋转因子Re※虚单位j的数学意义和物理意义j=ej90°

j×j=j2=ej90°×ej90°=ej180°=–1

oxjyjj2–1–jj3j41同理及由此，可认为虚单位j是复平面上角度为90°的旋转因子。乘以j是向正方向旋转90°（逆时针）；除以j是向负方向旋转90°（顺时针）。即※虚单位j的数学意义和物理意义j=ej90°ox5-1

正弦量1.正弦量瞬时值表达式i(t)=Imcos(wt+i

)tiOT正弦量为周期函数

f(t)=f(

t+kT)波形Ru+___正半周负半周Ru+_正弦量的参考方向：一般取正半周的方向5-1正弦量1.正弦量瞬时值表达式i(t)=Imcos设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量大小

幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相位：决定正弦量起始位置iImi02.正弦量的三要素

i(t)=Imcos(wt+i)设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：（rad/s）频率f：（Hz）T*无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国

50Hz

，美国

、日本

60Hz*高频炉频率：200~300kHz*中频炉频率：500~8000HziO（1）周期、频率、角频率（变化快慢）周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：（rad/s①相位（ωt+）确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。②初相位（

）t=0时的相位；确定正弦量初始值的电角度。初相位与计时起点有关,一般取主值范围:[-,]（2）相位、初相位、相位差（变化进程）令t=0→f(0)=Fmcos→

=2n±arccos[f(0)/Fm]，可能为多值。一般规定：||即：-

，

正负号取决于最大值与计时起点的关系（初相位为正，则正弦量的最大值出现在t=0之前）①相位（ωt+）确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。②=0=/2=－/2iOt对任一正弦量，初相位可以任意指定；但同一电路中多个相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。

同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同；初相位的符号取决于最大值与t=0的关系。正弦量的最大值出现在t=0之后，初相位为负。=0=/2=－/2iOt对任一正弦量，初例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，1.写出i(t)表达式；2.求最大值发生的时间t1。tiO10050t1解由于最大值发生在计时起点之后例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，tiO1005设

u(t)=Umcos(wt+

u),i(t)=Imcos(wt+

i)相位差：j=(wt+

u)-(wt+i)=u-i等于初相位之差规定：|

|<(180°)是区分两同频正弦量随时间变化进程的重要标志.③相位差（

）设u(t)=Umcos(wt+u),i(t)=j>0，u超前ij角，或i

滞后

u

角

(u

比i先到达最大值)。

j<0，

i超前

uj

角，或u滞后

ij

角（

u比

i

后到达最大值）。tu,iu

iuijO从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看。j>0，u超前ij角，或i滞后uj=0，同相：j=(180o)

，反相：特殊相位关系：tu,iu

i0tu,iu

i0tu,iu

i0=90°正交

u超前i90°

或

i落后u90°

同样可比较两个电压或两个电流的相位差。j=0，同相：j=(180o)例计算下列两正弦量的相位差。不能比较相位差结论两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较不同频率的正弦量的相位差无任何意义；初相位与计时起点有关,但相位差与计时起点无关。例计算下列两正弦量的相位差。不能比较相位差结论两个正弦量进行

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果,工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义R交流iR直流I物理意义（3）瞬时值、最大值、有效值（变化大小）e、i、uEm、Im、UmE、I、U瞬时值幅值必须大写,下标加m。最大值有效值周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为与之相等的直流量的大小。周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效均方根值同理，电压有效值定义为：

正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：电流有效值定义为：均方根值同理，电压有效值定义为：正弦电流、电压的有效值与幅因为所以设

i(t)=Imcos(t+)证明因为所以设i(t)=Imcos(t+注意：交流电压表、电流表测出的为有效值交流电器的额定电压、额定电流为有效值交流电路的分析计算用有效值交流电器的耐压要用最大值思考：

某电容器的耐压为200V，能否接入电源为200V的交流电路中?否注意：交流电压表、电流表测出的为有效值交流电器的额定电压、额正弦交流电路

激励和响应均为同一频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦交流电路。正弦交流电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。为什么要研究正弦交流电路正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数。正弦信号容易产生、传送和使用。优点正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。正弦交流电路激励和响应均为同一频率的正弦量的线性电路5-2

正弦量的相量表示1.问题的提出三角函数的代数和微积分运算，繁琐，容易出错。RLC+-uCiLu+-电路方程是微分方程频率不会发生改变，三要素中关心初相位和有效值。正弦量复数变换的思想5-2正弦量的相量表示1.问题的提出三角函数的代数和微积用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。在复数平面建立直角坐标系——Re为实轴、Im为虚轴设在复平面上一复数A(a,b).用极坐标系则表示为.A=r/ϕj(Im)+1(Re)0AabϕrA=r(cosϕ

+jsinϕ

)考虑欧拉公式，可改写为：A=re

jϕ

（指数式）2.代表正弦量的复数定义为相量用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。在复数平面建立直令线段OA以角速度ω逆时针旋转，得动点A(复数)坐标点为A=r[cos(t+ϕ)+jsin(t+ϕ)]

=rej(t+ϕ)jyx0Aϕ

txA在横轴投影为x=rcos(

t+ϕ)

=r

/t+ϕ

与正弦时域表达式比较i=Imcos(t+ϕ)可改写为A=rejϕejt复数常数rejϕ

相当于初始值任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以角速度绕原点旋转的向量与其对应。可以用复数常数来表示正弦量频率、幅值、初相位幅值、初相位A=A0ejt令线段OA以角速度ω逆时针旋转，得动点A(复数)坐标点为A=旋转矢量表示法旋转矢量表示法同频率正弦量的旋转矢量同频率正弦量的旋转矢量相量定义：用复平面上的静止量(复数常数)表示正弦量，记为(幅值电压相量)(有效值电压相量)或为了区别一般的复数，表示正弦量的复数称为相量，并在表示相量的大写字母上方加“”符号。正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值或幅值相量的幅角表示正弦量的初相位若相量幅度用最大值表示，则用符号：mUmI在实际应用中幅度更多采用有效值，用符号：UI相量定义：(幅值电压相量)(有效值电压相量)或※相量与正弦量只是对应关系，非相等关系旋转相量：A=rcos(t+ϕ)+jrsin(t+ϕ)

=rej(t+ϕ)(复常数)相量：A0=r(cosϕ

+jsinϕ)=rejϕ正弦量：i=Imcos(t+ϕ)相量A0(rejϕ

)乘上一个旋转因子(ejt)，得到复数圆的轨迹(A=A0e

jt

），对其取实部的结果就是正弦量的瞬时值。对应关系※相量与正弦量只是对应关系，非相等关系旋转相量：A=rco旋转矢量旋转矢量旋转矢量旋转矢量第五章向量法课件在复平面上用矢量表示相量的图。相量图q+1+jO只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。在复平面上用矢量表示相量的图。相量图q+1+jO只有同频设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量两种相量来表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形可不画坐标轴相量式:有效值向量幅值向量important设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量两种相量来表示:相量1.相量只是表示正弦量（对应关系），而不等于正弦量。注意:？=2.只有正弦量才能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。3.同一正弦量，对应两种相量（有效值和幅值向量），每一种有两种表示形式（向量式和向量图）。1.相量只是表示正弦量（对应关系），注意:？=2.只有正正误判断？1.已知：？有效值？3.已知：相量瞬时值j45•？最大值？？负号2.已知：4.已知：思考正误判断？1.已知：？有效值？3.已知：相量瞬时值j45•已知例1试用相量表示i,u。解例2

试写出电流的瞬时值表达式。解两种表达式的相互转化应熟练掌握已知例1试用相量表示i,u。解例2计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例3：计算相量的相位角时，要注意所在43jU--=43jU+-=43、正弦量的运算可以用对应的相量进行A.同频正弦量的代数和仍为一同频正弦量已知:则:3、正弦量的运算可以用对应的相量进行A.同频正弦量的代数和A.同频正弦量的代数和仍为一同频正弦量该式对于任何时刻都成立，所以：A.同频正弦量的代数和仍为一同频正弦量该式对于任何时刻都成B.正弦量的微分若:则:（a）正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦量；（b）导数的相量等于原相量乘以j

，即一个正弦量的导数所表示的相量的模是原相量的倍，初相角超前原相量90度。B.正弦量的微分若:则:（a）正弦量的一阶导数仍为一个同频C.正弦量的积分若:则:（a）正弦量的积分仍为一个同频率的正弦量；（b）正弦量的积分对应的相量等于原正弦量相量除以j

。即 一个正弦量的积分所表示的相量的模是原相量的分之 一，初相角落后原相量90度。C.正弦量的积分若:则:（a）正弦量的积分仍为一个同频率的D.正弦量乘以实常数例已知:求:i.解:D.正弦量乘以实常数例已知:求:i.解:设问解析法和图象法能否解决这个问题呢？（1）用解析法求和i=i1+i2=4sin100πt

+3Sin(100πt+π/2)=?两个同频率的正弦量相加，得到的仍是同一频率的正弦量(可利用三角函数和差化积去求解）。~RCii1i2【例】正弦交流电路如图所示，已知，通过电阻R的电流i1=4sin100πtA，通过电容C的电流i2=3sin(100πt+π/2)A求：总电流i。根据节点电流定律可知（2）用图像法求和设问解析法和图象法（1）用解析法求和i=i1+i2=4下一页图象法下一页图象法试求总电流i。解ii1i2例：解析法：用和差化积求解试求总电流i。解ii1i2例：解析法：用和差化积求两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为ii1i2则因此，总电流i

的幅值为总电流i

的初相位为两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为ii1由此，代入数据Im1=100A,Im2=60A,1=45,2=–30则故得结论：复杂ii1i2由此，代入数据Im1=100A,Im2=60A,2.用正弦波求解100cos(t+45)60cos(t–30)129cos(t+18.3)0it结论：不精确2.用正弦波求解100cos(t+45)60cos3.用相量求解30°45°18.2°相量法的优点？代数运算3.用相量求解30°45°18.2°相量法的优点？代数运把时域问题变为复数问题。把微积分方程的运算变为复数方程运算。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。相量法怎么做？1、用复数相量表示正弦量2、通过复数代数运算，得相量结果3、将结果相量写回成正弦量可见，用相量计算可将复杂的三角正弦函数的加、减、微分、积分运算转为简单的基于复数的代数运算，优点为：把时域问题变为复数问题。把微积分方程的运算变为复数方程运算。①正弦量相量时域

频域相量法只适用于激励为同频正弦量的时不变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图相量图注意不适用线性线性w1w2非线性w①正弦量相量时域频域相量法只适用于激励为同频正弦量的时不波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法

TijjÐÞ=+=UeUjbaUjUI波形图瞬时值相量图复数小结：正弦波的四种表示法TijjÐÞ5-3

相量法的分析基础1.电阻元件VCR的相量形式时域形式相量形式相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-URu相量关系UR=RIu=i5-3相量法的分析基础1.电阻元件VCR的相量形式时域瞬时功率波形图及相量图

itOuRpRu=iURI

瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率。同相位瞬时功率波形图及相量图itOuRpRu=iURI时域形式相量形式相量模型相量关系2.电感元件VCR的相量形式有效值关系

UL=wLI相位关系

u=i+90°

jL+-i(t)uL(t)L+-时域形式相量形式相量模型相量关系2.电感元件VCR的相量形感抗的性质表示限制电流的能力。感抗和频率成正比。相量表达式XL=L=2fL，称为感抗BL=1/L=1/2fL，称为感纳感抗和感纳wXLO电感L具有通直阻交的作用

-表示电流滞后电压感抗的性质表示限制电流的能力。感抗和频率成正比。相量表达式X功率t

iOuLpL2

瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。i波形图及相量图电压超前电流90°功率tiOuLpL2瞬时功率以2交变，有正时域形式相量形式相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量关系3.电容元件VCR的相量形式有效值关系

IC=wCU相位关系

i=u+90°

时域形式相量形式相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量关系XC=1/wC，

称为容抗BC=wC，

称为容纳容抗和频率成反比。

w0，|XC|

直流开路