拉普拉斯变换课件-002

第六章拉普拉斯变换1ppt课件第六章拉普拉斯变换1ppt课件本章基本要求理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换掌握有理分式反演法掌握延迟定理，位移定理和卷积定理理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。2ppt课件本章基本要求理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换2ppt课件6.1拉普拉斯变换的概念3ppt课件6.1拉普拉斯变换的概念3ppt课件一Laplace变换的定义1傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件2）在（-∞，+∞）上满足绝对可积的条件

3）在整个数轴上有定义实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t<0无意义。4ppt课件一Laplace变换的定义1傅里叶变换的限制：1）函2拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件:a)t<0时，f(t)=0b)t=0时，f(t)右侧连续，2）设单位阶跃函数，则原函数f(t)，研究函数为f(t)u(t)。5ppt课件2拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件:2）设3从傅里叶变换推导拉普拉斯变换6ppt课件3从傅里叶变换推导拉普拉斯变换6ppt课件从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt的傅里叶变换。7ppt课件从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普7ppt课件4Laplace变换的定义设f(t)为定义在[0，∞）上的实变函数或复值函数，若含复变量的积分在s的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数称为函数f(t)的Laplace变换或像函数，记作F(s)=L[f(t)]，8ppt课件4Laplace变换的定义设f(t)为定义在[0，∞）而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，记作f(t)=L-[F(s)]，上式也称作黎曼-梅林反演公式。9ppt课件而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，9ppt课件二Laplace变换的存在条件Laplace变换存在的充分条件是：（1）在0t<的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的。（2）

存在常数M>0和0，使对于任何t(0t<),有

的下界称为收敛横标，以0表示。大多数函数都满足这个充分条件。10ppt课件二Laplace变换的存在条件Laplace变换存在的充0+i0-is平面o收敛横标11ppt课件0+i0-is平面o收敛横标11ppt课件2定理：若f(t)满足上述条件，则像函数F(s)在半平面Res>δ上有意义，而且是一个解析函数。12ppt课件2定理：若f(t)满足上述条件，则像函数12ppt课件三例题例1指数函数eat(a为复常数)13ppt课件三例题例1指数函数eat(a为复常数)13pp例2Heaviside阶跃函数:14ppt课件例2Heaviside阶跃函数:14ppt课件例3线性函数f(t)=t(t>0):15ppt课件例3线性函数f(t)=t(t>0):15p例4同理16ppt课件例4同理16ppt课件解：从而类推ℒ例5ℒℒ17ppt课件解：从而类推ℒ例5ℒℒ17ppt课件6.2基本函数的拉普拉斯变换18ppt课件6.2基本函数的拉普拉斯变换18ppt课件一单位阶跃函数二δ(t)函数19ppt课件一单位阶跃函数二δ(t)函数19ppt课件三函数tn（n>-1)的拉氏变换20ppt课件三函数tn（n>-1)的拉氏变换20ppt课件6.3Laplace变换的基本性质21ppt课件6.3Laplace变换的基本性质21ppt课件Laplace变换F(s)的特性：（1）F(s)在Re(s)>0的半平面代表一个解析函数。（2）当

|Args|/2-ε(ε>0)时：且满足0+i0-is平面o解析区域22ppt课件且满足0+i0-is平面o解析区域22ppt课ℒℒℒℒℒℒℒℒ一线性定理：与Fourier变换一样。例23ppt课件ℒℒℒℒℒℒℒℒ一线性定理：与Fourier变注意：一、初始条件进入Lapace变换公式中，这一点在实际应用中非常重要。二、原函数对t的求导，变成像函数与p相乘。ℒℒ二原函数导数定理:24ppt课件注意：ℒℒ二原函数导数定理:24ppt课件原函数对t的积分变成像函数与s相除ℒℒ三原函数积分定理:25ppt课件原函数对t的积分变成像函数与s相除ℒℒ三原函数积分四相似性定理五位移定理：

六延迟定理：

ℒℒℒ26ppt课件四相似性定理ℒℒℒ26ppt课件七卷积定理:ℒℒℒ27ppt课件七卷积定理:ℒℒℒ27ppt课件八像函数微分性质ℒ28ppt课件八像函数微分性质ℒ28ppt课件即：像函数求积分，相当于原函数除t的像函数。ℒ九像函数积分定理29ppt课件即：像函数求积分，相当于原函数除t的像函数。ℒ九十关于参数的运算对于含参数α的函数f(t,α)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于α的运算顺序可以交换，所以30ppt课件十关于参数的运算对于含参数α的函数f(t,α)的拉氏变换来十一初值定理31ppt课件十一初值定理31ppt课件十二终值定理32ppt课件十二终值定理32ppt课件例1（P205例10.3.4）33ppt课件例1（P205例10.3.4）33ppt课件例2（P206例10.3.5）34ppt课件例2（P206例10.3.5）34ppt课件例3（补充例题）求解初始问题35ppt课件例3（补充例题）求解初始问题35ppt课件例4（补充例题）求解初始问题36ppt课件例4（补充例题）求解初始问题36ppt课件例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）37ppt课件例5（补充题，利用原函数积分法求解37ppt课件6.3Laplace变换的反演38ppt课件6.3Laplace变换的反演38ppt课件关于t的微分方程关于p的代数方程关于p的代数方程原微分方程的解Laplace变换Laplace变换的反演

39ppt课件关于t的微分方程关于p的代数方程一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式和Laplace变换的性质求原函数。

一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系数法进行部分分式展开4）利用拉氏变换表求解注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。40ppt课件一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式例1求的原函数（p208例10.4.1）41ppt课件例1求的原函数41ppt例2求的原函数（p208例10.4.2）42ppt课件例2求的原函数42ppt例3求的原函数解因此原函数为43ppt课件例3求的原函数解因此原函通分后比较p的同次幂系数得：44ppt课件通分后比较p的同次幂系数得：44ppt课件二查表法反演例4：求 的原函数。由表查得解又由延迟定理ℒℒ45ppt课件二查表法反演例4：求 的原函数。由表例5求 的原函数。解：由表查得

由位移定理：因此原函数为ℒℒℒℒℒ46ppt课件例5求例6求的原函数（p210例10.4.5）47ppt课件例6求的原函数47p*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式

在L右边，像函数解析，无奇点。故作围道(L+CR)

在L的左边。设在L的左边只有有限个孤立奇点pk，由留数定理因在L的右边无奇点，所以可以说：pk是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)48ppt课件*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式48ppt课件Fourier变换与Laplace变换的比较1Fourier变换与逆变换比较对称，但Fourier变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;2尽管Laplace逆变换是复变积分，因像函数是一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式;无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布不一样。49ppt课件Fourier变换与Laplace变换的比较1Fourie6.4拉普拉斯变换应用举例50ppt课件6.4拉普拉斯变换应用举例50ppt课件一利用拉氏变换求积分（1）如求的积分，先求的积分，然后令t=1。例1（p215例10.5.2）51ppt课件一利用拉氏变换求积分（1）如求的积分（2）若，则例2（p216例10.5.3）52ppt课件（2）若，则例2（p216例10.（3）若，则利用基本公式11和初值定理，得到例2（p216例10.5.4）53ppt课件（3）若，则利用基本公式11例2（二利用拉氏变换求解微分方程，积分方程例1（p217例10.5.6）解方程54ppt课件二利用拉氏变换求解微分方程，积分方程例1（p217例10例2L-R串联电路有交流源E=E0sinωt,求电路中的电流。LRE(t)K解：电流方程：两边作Laplace变换：解得：55ppt课件例2L-R串联电路有交流源E=E0sinωt,求电路应用卷积定理第一项：稳定振荡，第二项：衰减ℒℒ见下页ℒℒ56ppt课件应用卷积定理第一项：稳定振荡，第二项：衰减ℒℒ见下页ℒℒ5657ppt课件57ppt课件其中第一项改写：58ppt课件其中第一项改写：58ppt课件例3（简明教程p61）求解积分方程解方程两边进行拉普拉斯变换则59ppt课件例3（简明教程p61）求解积分方程解方程两边进行拉普拉斯例4（简明教程p60）求解方程组解方程两边进行拉普拉斯变换60ppt课件例4（简明教程p60）求解方程组解方程两边进行拉普拉斯变第六章拉普拉斯变换61ppt课件第六章拉普拉斯变换1ppt课件本章基本要求理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换掌握有理分式反演法掌握延迟定理，位移定理和卷积定理理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。62ppt课件本章基本要求理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换2ppt课件6.1拉普拉斯变换的概念63ppt课件6.1拉普拉斯变换的概念3ppt课件一Laplace变换的定义1傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件2）在（-∞，+∞）上满足绝对可积的条件

3）在整个数轴上有定义实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t<0无意义。64ppt课件一Laplace变换的定义1傅里叶变换的限制：1）函2拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件:a)t<0时，f(t)=0b)t=0时，f(t)右侧连续，2）设单位阶跃函数，则原函数f(t)，研究函数为f(t)u(t)。65ppt课件2拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件:2）设3从傅里叶变换推导拉普拉斯变换66ppt课件3从傅里叶变换推导拉普拉斯变换6ppt课件从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt的傅里叶变换。67ppt课件从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普7ppt课件4Laplace变换的定义设f(t)为定义在[0，∞）上的实变函数或复值函数，若含复变量的积分在s的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数称为函数f(t)的Laplace变换或像函数，记作F(s)=L[f(t)]，68ppt课件4Laplace变换的定义设f(t)为定义在[0，∞）而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，记作f(t)=L-[F(s)]，上式也称作黎曼-梅林反演公式。69ppt课件而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，9ppt课件二Laplace变换的存在条件Laplace变换存在的充分条件是：（1）在0t<的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的。（2）

存在常数M>0和0，使对于任何t(0t<),有

的下界称为收敛横标，以0表示。大多数函数都满足这个充分条件。70ppt课件二Laplace变换的存在条件Laplace变换存在的充0+i0-is平面o收敛横标71ppt课件0+i0-is平面o收敛横标11ppt课件2定理：若f(t)满足上述条件，则像函数F(s)在半平面Res>δ上有意义，而且是一个解析函数。72ppt课件2定理：若f(t)满足上述条件，则像函数12ppt课件三例题例1指数函数eat(a为复常数)73ppt课件三例题例1指数函数eat(a为复常数)13pp例2Heaviside阶跃函数:74ppt课件例2Heaviside阶跃函数:14ppt课件例3线性函数f(t)=t(t>0):75ppt课件例3线性函数f(t)=t(t>0):15p例4同理76ppt课件例4同理16ppt课件解：从而类推ℒ例5ℒℒ77ppt课件解：从而类推ℒ例5ℒℒ17ppt课件6.2基本函数的拉普拉斯变换78ppt课件6.2基本函数的拉普拉斯变换18ppt课件一单位阶跃函数二δ(t)函数79ppt课件一单位阶跃函数二δ(t)函数19ppt课件三函数tn（n>-1)的拉氏变换80ppt课件三函数tn（n>-1)的拉氏变换20ppt课件6.3Laplace变换的基本性质81ppt课件6.3Laplace变换的基本性质21ppt课件Laplace变换F(s)的特性：（1）F(s)在Re(s)>0的半平面代表一个解析函数。（2）当

|Args|/2-ε(ε>0)时：且满足0+i0-is平面o解析区域82ppt课件且满足0+i0-is平面o解析区域22ppt课ℒℒℒℒℒℒℒℒ一线性定理：与Fourier变换一样。例83ppt课件ℒℒℒℒℒℒℒℒ一线性定理：与Fourier变注意：一、初始条件进入Lapace变换公式中，这一点在实际应用中非常重要。二、原函数对t的求导，变成像函数与p相乘。ℒℒ二原函数导数定理:84ppt课件注意：ℒℒ二原函数导数定理:24ppt课件原函数对t的积分变成像函数与s相除ℒℒ三原函数积分定理:85ppt课件原函数对t的积分变成像函数与s相除ℒℒ三原函数积分四相似性定理五位移定理：

六延迟定理：

ℒℒℒ86ppt课件四相似性定理ℒℒℒ26ppt课件七卷积定理:ℒℒℒ87ppt课件七卷积定理:ℒℒℒ27ppt课件八像函数微分性质ℒ88ppt课件八像函数微分性质ℒ28ppt课件即：像函数求积分，相当于原函数除t的像函数。ℒ九像函数积分定理89ppt课件即：像函数求积分，相当于原函数除t的像函数。ℒ九十关于参数的运算对于含参数α的函数f(t,α)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于α的运算顺序可以交换，所以90ppt课件十关于参数的运算对于含参数α的函数f(t,α)的拉氏变换来十一初值定理91ppt课件十一初值定理31ppt课件十二终值定理92ppt课件十二终值定理32ppt课件例1（P205例10.3.4）93ppt课件例1（P205例10.3.4）33ppt课件例2（P206例10.3.5）94ppt课件例2（P206例10.3.5）34ppt课件例3（补充例题）求解初始问题95ppt课件例3（补充例题）求解初始问题35ppt课件例4（补充例题）求解初始问题96ppt课件例4（补充例题）求解初始问题36ppt课件例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）97ppt课件例5（补充题，利用原函数积分法求解37ppt课件6.3Laplace变换的反演98ppt课件6.3Laplace变换的反演38ppt课件关于t的微分方程关于p的代数方程关于p的代数方程原微分方程的解Laplace变换Laplace变换的反演

99ppt课件关于t的微分方程关于p的代数方程一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式和Laplace变换的性质求原函数。

一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系数法进行部分分式展开4）利用拉氏变换表求解注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。100ppt课件一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式例1求的原函数（p208例10.4.1）101ppt课件例1求的原函数41ppt例2求的原函数（p208例10.4.2）102ppt课件例2求的原函数42ppt例3求的原函数解因此原函数为103ppt课件例3求的原函数解因此原函通分后比较p的同次幂系数得：104ppt课件通分后比较p的同次幂系数得：44ppt课件二查表法反演例4：求 的原函数。由表查得解又由延迟定理ℒℒ105ppt课件二查表法反演例4：求 的原函数。由表例5求 的原函数。解：由表查得

由位移定理：因此原函数为ℒℒℒℒℒ106ppt课件例5求例6求的原函数（p210例10.4.5）107ppt课件例6求的原函数47p*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式

在L右边，像函数解析，无奇点。故作围道(L+CR)

在L的左边。设在L的左边只有有限个孤立奇点pk，由留数定理因在L的右边无奇点，所以可以说：pk是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)108ppt课件