数竞-不等式传统pqr方法_第1页
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以看做是关于r的一次函数,6,7,8时可以看做是关于r的二次函数,这样最值一定在r的最值时取到,只要r的最值即可1r的一次函数的时候,r0或者两数相等的时候取到(此证明见<theuvwmethod>) 2、当三元不等式转化成关于r的二次函数的时候,只需考虑此二次函数的开口和对称r在何处取到最值66pqr(a5bab5)(5,1)(a4b2a2b4)(4,a3b3(3,3)q3a4bc(4,1,1)(a3b2ca3bc2)a2b2c2(2,2,2)r1abc0求证

a2b2abbc

2(ab)(bc)(ca)p2

pabc1,qabbcca,rabc 2pq3 pq

pr11qrf(r11qp2rp3q3pq2此为一次函数f(r)()rq3q2此为关于r的一次函数,由pqr结论可知最值在一数为0或两数相等时取到情况1一数为0a0,f(0)bc3(bc)2g(bc注意到bcbc)21g(bc)是开口向下的二次 最小值在边界取到g(0)0g1)

0均大于等于 情况2:两数相abt,c12t;f(r)[11(t22t4t2)1]t2(12t)t22t4t23(t22t4t266x5104x460x316x22xh(x)(0x1)2x(33x452x330x28x1)2l(x)132x3156x260x84(33x339x215x2)4[(6x33x2)(27x336x215x12x2(2x1)4(3x1)2(3x2)12x2(11)4(3x1)2(1)2sol(x)l1)0.06250f(r)h(x)2xl(x)0均大于等于0综上,原不等式得2:a,b,c0,abc3,max{(a2abb2)(b2bcc2)(c2caa2)}做代换pabc3qabbccar第一题:5r227q81)r9q2对于每一个能取到的q值,都可以把上式记做关于r的二次函注意到3qp29q3so对称轴27q81由于r0so此开口向下的二次函数的最大值在0处取到不妨设c0带入原式:得到:(a2abb2)(b2bcc2)(c2caa2)(a2abb2 22

2

a22abb2 4(ab再由均值:(aabb)ab=(aabb)(ab)(ab) ) 9第二题:3r27)r9q2对于每一个能取到的q值都可以把上式看做关于的二次函数,的二次函数3p3说明函数的定义域为0r3对于取定

,由均值q33r2r最大值只能在r0或r

q处取33当r

时,根据均值的取等条件,只能是q3abc1此时原式的值为

当r0时不妨设c0,带入原式得到(a2abb2)(b2bcc2)(c2caa2)(a2abb2 2

ab

3

a22abb2

39

(aabb)ab (ab )(2ab) ) 4 44 注意到218727,so最大值2187,当且仅当ab3c0取 r=√(q³/27)时，q=3，a=b

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