能量原理与变分法

关于能量原理与变分法第1页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-1弹性体的形变势能主要内容

§11-2位移变分方程§11-3位移变分法§11-4位移变分法应用于平面问题§11-5应力变分方程§11-6应力变分法§11-7应力变分法应于平面问题§11-8应力变分法应于扭转问题§11-9解答的唯一性§11-10功的互等定理第2页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-0引言1.弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移边界条件；定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b）相容方程；（c）边界条件。（a）归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b）难以求得解析解。

从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：第3页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理

直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。——位移法——力法——混合法——有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法的理论基础。求解方法：里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin）法，加权残值（余量）法等。第4页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六3.弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）——有限差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解——有限单元法、边界元法、离散元法等典型软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；——基于有限元法的分析软件；UDEC——基于离散元法的分析软件；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。第5页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-1弹性体的形变势能1.形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：PlOPl外力所做的功：

由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：杆件的体积令：——单位体积的变形能，称为比能。三向应力状态：一点的应力状态：

xyz第6页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六三向应力状态：一点的应力状态：

xyz

由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。

假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：（a）整个弹性体的形变势能：（b）（c）若用张量表示：形变比能：整体形变势能：第7页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.形变势能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（8-17）：代入式（a），整理得形变势能的表达式：（d）（e）代入式（b），有：（11-1）将式（e）分别对6个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：第8页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（11-2）表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。3.形变势能的应变分量表示用应变表示的物理方程（8-19）：（f）第9页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六或：代入式（a）：（a）并整理可得：（g）（11-3）∵0<<1/2，∴U≥0即弹性体的形变势能是非负的量。

将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：第10页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（11-4）将几何方程（8-9）代入上式，得：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。——格林公式4.形变势能的位移分量表示表明：（11-5）第11页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-2位移变分方程1.泛函与变分的概念（1）泛函的概念函数：x——自变量；y——因变量，或称自变量x

的函数。泛函：x——自变量；y——为一变函数；F——为函数y的函数，称为泛函。例1：P1——弯矩方程梁的形变势能：ABlx——泛函例2：第12页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例2：因为所以，U被称为形变势能泛函。（2）变分与变分法设：当自变量x有一增量：函数y也有一增量：dy与dx，分别称为自变量x与函数y的

微分。——微分问题P1ABlx设：函数y有一增量：泛函U也有一增量：第13页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六P1ABlx设：函数y也有一增量：泛函U也有一增量：

函数的增量y、泛函的增量U等称为变分。

研究自变函数的增量与泛函的增量间关系称为变分问题。例如：Pcr

（1）压杆稳定问题

寻求压杆形变势能

U达到最大值时的压力P值。

（2）球下落问题12

球从位置1下落至位置2，所需时间为T，当——最速下降问题——泛函的变分问题第14页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（3）变分及其性质定义：泛函增量：函数连续性：称函数z在x0点连续。当有称泛函U在y0(x)

处零阶接近。当有称泛函U在y0(x)

处一阶接近。当有称泛函U在y0(x)

处二阶接近。第15页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六泛函函数微分：当x→0时，→0，则

z可用其线性主部表示其微分。即——U增量的线性主部变分：当max|y|→0时，max→0，则

U可用其线性主部表示,即极值：若在x0处有极值，则有：若U[y(x)]

在y0(x)

处有极值，条件：——一阶变分为零。当取得极值——称为强极值当取得极值——称为弱极值极值：第16页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（4）变分的运算变分与微分运算：变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换。复合函数的变分：其中：一阶变分：第17页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六复合函数的变分：其中：一阶变分：——自变量x的变分

x≡0二阶变分：——二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。第18页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.位移变分方程建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系——位移变分方程qP应力边界

S位移边界

Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：位移场：应力场：满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。——称为真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。第19页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六任给弹性体一微小的位移变化：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。qP应力边界

S位移边界

Su变化后的位移状态：——称为位移的变分，或虚位移。（2）考察弹性体的能量变化：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：——表示弹性变形势能的增量；——表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。则有：第20页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六外力的虚功：体力：面力：——外力代入前式：（11-6）表明：物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。——式（11-6）称为位移变分方程，也称Lagrange变分方程。第21页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六3.虚功方程由式（b）:两边求变分:将U1

视为应变分量的函数由格林公式:（11-4）第22页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六表示：实际应力在虚应变上所做的虚功——内力的虚功将上式代入位移变分方程（11-6），有（11-7）——虚功方程表明：如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程——是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。第23页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六4.最小势能原理——也是位移变分方程的一个应用由位移变分方程：

由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。

于是，有：以为零势能状态，并用V表示任意状态的外力势能，则外力在可能位移上所做的功W，即代入前式，有第24页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六其中：——形变势能与外力势能的总和，称为系统的总势能表明：

在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。等价于总势能

U+V

取驻值。——极值势能原理平衡状态：（1）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；（3）随宜平衡状态；稳定平衡不稳定平衡随宜平衡——势能取极小值——势能取极大值——不定最小势能原理：

在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。第25页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六实际存在的位移应满足：（1）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。（1）位移边界条件；（2）位移变分方程。因而，有：位移变分方程（1）平衡方程；（2）应力边界条件。（可互相导出）（最小势能原理）5.伽辽金变分方程

由虚功方程建立当位移分量满足：位移边界条件、应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的条件。

将虚应变用虚位移表示：（c）将其代入虚功方程：第26页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（11-7）第27页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六

同理，可得到其余各项的结果：

将其代入虚功方程左边，有：（11-7）第28页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六

将其代入虚功方程，并整理有：

当应力边界条件满足时，000

上式可简化为：（11-7）第29页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（10-8）——伽辽金（Galerkin）变分方程表明：当所取位移分量同时满足：位移边界条件、应力边界条件时，其位移变分需满足的方程。第30页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（11-6）（1）位移变分方程（2）虚功方程（11-7）位移变分方程小结：——也称Lagrange变分方程：（3）最小势能原理说明：（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。第31页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（4）伽辽金（Galerkin）变分方程要求：可能（虚）位移满足：（1）位移边界条件；（2）应力边界条件。（10-8）第32页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-3位移变分法1.里兹（Ritz）法基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。设取位移的表达式如下：（11-9）其中：为互不相关的3m个系数；为设定的函数，且在边界上有：为边界上为零的设定函数

显然，上述函数满足边界条件。此时，位移的变分只能由系数Am、Bm、Cm的变分来实现。与变分无关。第33页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（a）位移的变分：形变势能的变分：由式（11-5），可知：（b）将式（a）、（b）代入位移变分方程，有：（11-5）第34页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六将上式整理、移项、合并，可得：完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：第35页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（11-10）——Ritz法方程或称Rayleigh-Ritz法方程说明：（1）由U的位移表达式（11-5）可知，U是系数的二次函数，因而，方程（11-10）为各系数的线性方程

组。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等（3）在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。第36页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.伽辽金（Galerkin）法设取位移的表达式如下：（11-9）同时满足：（1）位移边界条件；（2）应力边界条件；位移的变分：将其代入伽辽金变分方程（10-8）：得到：第37页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：第38页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六将物理方程和几何方程代入，有（11-11）——伽辽金（Galerkin）法方程说明：（1）与Ritz法类似，得3m

阶的线方程组，可求出3m个系数。（2）伽辽金（Galerkin）法与Ritz法的区别：在于设位移函数时，前者要求同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。第39页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六位移变分法的应用：（1）求解弹性体的近似解；（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；第40页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-4位移变分法应用于平面问题1.形变势能表达式对于平面应变问题：且由式（11-5）（11-12）对于平面应力问题：（11-13）（11-5）第41页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.位移函数设定

由于，两种平面问题中，都不必考虑z方向的位移w，所以位移分量可设为：（11-14）式中：各系数的含义和以前相同。3.变分法方程Ritz法方程：（在z方向取单位长度）（11-15）Galerkin法方程：第42页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六Galerkin法方程：（11-16）——适用于平面应变问题式中：对于平面应力问题：（11-17）第43页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：图示薄板，宽为a，高度为b，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力q1和q2作用，不计体力。试求薄板的位移。解：（1）假设位移函数（a）满足边界条件：试在式（a）中只取两个系数：A1、B1

，即（b）（2）计算形变势能U将式（b）代入（11-13），有（平面应力情形下形变势能公式）积分得：（c）第44页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（c）（3）代入Ritz法方程求解∵体力∴有在右边界：在上边界：于是有：将式（c）代入，得（11-15）第45页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六联立求解，得：（f）代入位移表达式（b），得：（g）讨论：（1）如果在位移式（a）中再多取一此系数如：A2、B2等，但是经计算，这些系数全为零。（2）位移解（g）满足几何方程、平衡方程和边界条件。表明：位移解（g）为问题的精确解。第46页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：图示矩形薄板，宽为2a，高度为2b，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：（h）不计体力。试求薄板的位移和应力。解：（1）假设位移函数取m=1,将位移分量设为：（i）显然，可满足位移边界条件：第47页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（2）代入Galerkin法方程求解∵该问题中，无应力边界条件，式（i）满足全部条件。∴可用伽辽金（Galerkin）法求解。∵X=Y=0，m=1，∴伽辽金法方程变为：（11-17）（j）第48页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六

将其代入伽辽金方程（j）,可求得：代回位移式（h）,有：第49页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六代回位移表达式（h）,得位移解答：当b=a，取=0.2时，上述解答成为：第50页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（3）求应力分量应用几何方程及物理方程，可求得应力为：第51页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六在处，相应的面力：第52页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。

PABlxy解：（1）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：式中：a为待定常数。（2）计算：（a）（b）显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（3）代入Ritz法方程，求解（c）（d）第53页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六PABlxy讨论：（1）中点的挠度：（e）而材料力学的结果：两者比较：式（a）的结果偏小2%。如果取如下位移函数：式中项数m

取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：第54页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六PABlxy例：如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。

解：（1）假设位移试探函数式中：A1、A2

为待定常数。显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（2）计算：梁的形变势能:（3）代入Ritz法方程:第55页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六PABlxy例：如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。

解：位移函数（a）（3）代入Ritz法方程:所求挠曲线方程:第56页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六PABlxy所求挠曲线方程:中点挠度:而材料力学的结果：说明：（1）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；（2）亦可用最小势能原理求解上述问题。第57页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。

PABlxy解：（1）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为：式中：a为待定常数。（2）求系统的总势能（a）（b）（c）将式（a）代入，计算得显然，式（a）满足端点的位移边界条件:（3）由最小势能原理确定常数（d）第58页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六PABlxy说明：（1）（e）与Ritz法结果相同；（2）所取的位移函数必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：第59页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：如图所示，一端固定，另一端有弹性支承的梁，跨度为

l

，抗弯刚度为EI，弹簧的刚度为k，梁上作用有分布载荷q(x)，试用最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界条件。

解：（1）求系统的总势能系统的总势能=梁的弯曲变形能+

弹簧的变形能+

外力势能(a)式中：w为梁的挠度。由最小势能原理：(b)分部积分：（2）对总势能求变分第60页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六将其代入式（b），有第61页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六∵梁的左端固定，∴有代入上式，有：的任意性与相互独立性，∴有（3）利用位移边界条件和变分的任意性确定所需的结果。第62页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六——弯曲微分方程——力的边界条件表明：最小势能原理等价于平衡微分方程和力的边界条件；第63页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六Ritz法解题步骤：（1）假设位移函数，使其满足边界条件；（2）计算形变势能U

；（3）代入Ritz法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。用最小势能原理解题步骤：（1）假设位移函数，使其满足边界条件；（2）计算系统的总势能；（3）由最小势能原理：=0

，确定待定系数；（4）回代求解位移、应力等。第64页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六图示简支梁，两端受轴向压力P

作用，在距左端距离c处受集中力偶M作用，梁的跨度为l。试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程。

例：设梁的挠曲线方程可设为：解：设定梁的挠曲线函数求系统的总势：第65页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六代入总势能计算公式：由最小势能原理求出待定系数：由于，Am不能等于零，可求得：第66页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六梁的挠曲线方程为：梁的最小失稳载荷为：第67页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-5应力变分方程1.形变余能Pxl0lO（1）单向应力状态设：——一般的应力应变关系形变势能（比能）：dd00——单位体积的形变势能（比能）形变余能（比能）：——单位体积的形变余能（比余能）对线弹性体，显然有：——形变势能（比能）等于形变余能（比余能）表明：形变比余能在数值上等于图中矩形面积减去U1后余下的面积。第68页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（2）三向应力状态对线弹性体，有：物体形变余能：对线弹性体：物体形变余能常用应力表示：第69页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（3）形变余能的变分对照形变余比能的表达式，有：由应力表示的卡氏（Castigliano）定理代入形变余比能的变分表达式，有：第70页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：代入形变余比能的变分表达式，有：第71页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：——实际的应力和位移建立：物体形变余能的变化与应力变分之间的关系。（1）应力的变分假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：——常称为虚应力满足：（1）平衡微分方程；（2）应力边界条件（即：在应力边界上变分应为零）。变化后应力状态：（2）应力变分方程都满足平衡方程并作用于同样的体力，将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：第72页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（a）张量表示在位移给定的边界上，由于应力的变分必然引起该边界上面力的变分：由边界上应力与边界面间关系，在位移给定边界上，应有：（b）张量表示第73页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六由形变余能的变分：利用奥-高公式，将上式每一项作变换，如：将其代入应变余能的变分，并整理有：第74页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六000得到：（11-18）上式表明：由于应力的变分，形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。——应力变分方程，也称Castigliano变分方程。第75页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六说明：（1）要求应力的变分满足：平衡微分方程；应力边界条件；（2）由位移变分方程：可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零；而在应力边界和固定位移边界均为零。（3）实际存在的应力应满足：（1）平衡方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件；（4）位移边界条件。（1）平衡方程；（2）应力边界条件；（3）应力变分方程可见：应力变分方程（1）相容方程；（2）位移边界条件。特别当位移边界为固定边界时，应力变分方程等价于相容方程，且有：第76页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六3.最小余能原理将应力变分方程：改写为：（c）∵在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，∴上式可写为（d）式中：U*为形变余能；——外力余能；——总余能；于是式（d）可写成：（d）′第77页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（d）（d）′或：上式表明：在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。——最小余能原理最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程与位移边界条件。说明：应力变分方程或最小余能原理，仅限于单连体问题。对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题。第78页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-6应力变分法1.应力分量的设定——以应力为未知量的近似解法满足平衡微分方程；应力分量设定的要求：满足应力边界条件。帕普考维奇应力分量设定：（11-19）其中：（1）Am

为互不相关的m个系数；平衡方程与应力边界条件的设定函数；为满足（2）（3）为满足“没有面力与体力作用时的平衡方程与应力边界条件”的设定函数；

此时应力的变分仅由系数Am的变分实现。第79页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.应力变分法方程（1）弹性体的位移边界为固定边界此时，应力变分方程为：将设定应力分量代入形变余能表达式：将其代入应力变分方程，有：由于Am为互相独立，且任意，有：（11-20）由此得到m

个线性方程，可确定m个系数Am。（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件第80页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件此时，应力变分方程为：（a）式中：u、v、w为已知函数；而非零位移边界条件上的面力变分：可由边界上应力应满足的条件确定：（b）将设定的应力分量式（11-19）代入上式，并积分式（a）的右边，得：（c）式中：Bm为积分所得的常数。而式（a）左边为：（d）第81页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六由式（c）、（d）、（a）可得：由于Am为互相独立，且任意，所以有：（e）式（c）仍为一m阶的线性方程组，可求解出m

个系数Am，将系数Am代回应力分量设定式（11-19），即得所求的应力。说明：（1）如果无位移被给定，且不等于零的边界，则所有的Bm都为零，此时式（e）简化为：（2）要求设定的应力分量既满足平衡微分方程、又满足应力边界条件，往往比较困难。但若某些问题存在应力函数，由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程，所以，假设的应力分量只需满足应力边界条件即可。第82页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-7应力变分法应于平面问题1.应力函数的设定对于平面问题，如果体力为常量，则存在应力函数，使得应力表示为：（a）

根据问题的应力边界条件、及应力分量与应力函数

的关系，可将应力函数

设为：（11-21）其中：Am

为互不相关的m个系数；0给出应力分量实际满足的应力边界条件；m给出应力分量满足的无面力的应力边界条件；第83页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.形变余能的计算（1）平面应力问题对于平面应力问题，有：且不随坐标z变化。——限于考虑线弹性问题在z方向取单位厚度，则有：（11-22）（2）平面应变问题（11-23）（3）平面单连体问题∵无论是平面应力问题还是平面应变问题，两者的应力分量x、

y、xy均与材料常数无关

，∴不妨取

=0，此时平面问题的形变余能可用统一的形式：第84页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六将上式中的应力分量用应力函数表示，有（11-24）3.应力变分方程对于应力边界条件问题，面力的变分恒为零，所以有：将式（11-24）代入，得第85页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（11-25）——单连体、应力边界条件问题应力变分方程由上述方程可决定全部的待定系数Am。第86页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：图示矩形板或长柱，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉应力，其最大集度为q，其边界条件为：求弹性体中的应力。解：设定应力函数先设：则：

显然，0

可以满足全部的应力边界条件。

为使m

满足无面力的应力边界条件，可取m具有因子：或：第87页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六

为使m

满足无面力的应力边界条件，可取m具有因子：或：显然有：由此可知，应力函数可取：

若在式只取一个系数，则为：（b）（c）第88页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（c）由应力变分方程或最小余能原理，确定待定常数将式（c）代入，积分得：对正方形的薄板或长柱，取b/a=1，可求得：将其代入式（c），并取b/a=1，可求得应力分量：（11-25）第89页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六薄板或长柱中心（x=y=0）处的应力：较精确的解约为:

若要求得较精确的解，需在式（b）中取较多系数项。解题步骤小结：（1）确定应力函数

的形式由应力边界条件、应力函数与应力分量间的关系来设定。（2）确定应力函数中的待定系数由应力变分方程或最小势能原理确定。（3）计算应力分量第90页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：设平面应力问题，全部边界上为给定应力边界条件，不计体力。试用最小余能原理证明Airy应力函数（x，y）满足双调和方程：证：计算系统的总余能：

因为，全部边界为应力边界条件，不计体力，所以其外力余能为零。系统的总余能就等于物体的形变余能：（a）第91页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（a）计算总余能变分，并使其等于零第92页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六在应力边界上，有：即：第93页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六利用奥—高公式，有：第94页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六对上式中每一项进行分部积分，有：因为在边界上，有：在域内，所以，有，第95页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-8应力变分法应于扭转问题1.扭转应力变分方程等截面直杆的扭转问题中，存在应力函数，横截面剪应力可表示为：形变余能及其变分式中：函数为Prandtl应力函数。将其代入形变余能计算式：∵应力函数仅为x、y的函数，可将上述积分变为：其中：L为杆的长度；G为剪切弹性模量。第96页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（a）外力的功及其变分

扭转杆件侧面上无外力，因而不存在面力的功。在两端作用有方向相反的两扭矩M，两端的相对转角为：KL

，则面力在位移上的功为：W=MKL

由上一章的结果：得外力的功为：外力的功的变分为：（b）扭转变分方程将式（a）（b）代入变分方程，有：第97页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六扭转变分方程将式（a）（b）代入变分方程，有：或：（c）以上两式即为扭转问题的变分方程或最小余能原理。（1）式（c）中：——扭转问题的总余能说明：（2）式（c）中的应力函数已满足了两端的边界条件。第98页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.扭转问题的变分方法由于扭转应力函数要求在边界上的值等于零，其形式可设为：其中：Am为互不相关的m个系数。

为使应力函数在边界上的值等于零，必须要求函数m都在横截面的边界上的值为零。将代入扭转变分方程，注意到其变分是由系数Am的变分来实现的，所以有：（11-26）得到一m阶的线性方程组，恰好可用来m个系数Am。第99页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六例：图示矩形扭转杆，材料的剪切弹模为G。试求其单位长度扭转角，剪应力等。yxOAa/2a/2解：设定扭转应力函数矩形四根边界线的方程：为满足在边界上的值为零，可取：（d）

由截面的对称性，或薄膜比拟，应力函数应为x、y的偶数，所以，式中m、n都只需取为偶数。

对正方形截面杆（b=a），若在（d）中只取一项（m=n=0）,则有第100页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六

对正方形截面杆（b=a），若在（d）中只取一项（m=n=0）,则有yxOAa/2a/2代入式（11-26）有：（11-26）代入扭转变分方程确定待定系数第101页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六经积分运算，得：从而，有：（e）由公式（10-5）：有：由此求得：对照式（10-21）：有：的精确值：0.141，相差：0.14%。两者仅将求得的K代入式（e），有：第102页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六（10-2）对照式（10-22）：由公式（10-2），可求得应力分量：精确值为：0.208,相差：6.8%。两者

如果要得更精确的解，需在式（d）中较多的系数项。如：第103页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六

进行与上相同的运算，得到：

由此算出的单位扭转角

K比精确值只小0.14%；最大剪应力max比精确值只大出4%。第104页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-9解答的唯一性1.问题的提出弹性力学问题的求解方法与途径：（1）解析解：就所取未知量，有：按应力求解；按位移求解；就所用坐标系，有：直角坐标求解；极坐标求解；就解的函数形式，有：多项解；级数解；其它函数解；复变函数解；（2）数值解：有限差分解（FDM）；有限单元法（FEM）；边界单元法（BEM）；离散单元法（UDEC）；不同方法、不同途径得到的不同形式的解，其数值是否唯一？第105页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六2.解答的唯一性及其证明相应于一定的体力和边界条件，某一弹性力学问题的解是唯一的。——也称解的唯一性定理。解的唯一性定理证明：（反证法）假设：在一定的体力、面力、边界条件下，某个弹性力学问题存在两组解：（1）（2）考察这两组解是否相同？∵它们都为同一问题的解，∴应满足相的平衡方程和边界条件。对于第一组解，有：第106页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六对于第一组解，类似有：将上述两组不同的解方程两边分相减，有：第107页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六可见：两组不同的解的差，对应的状态为：——这就证明了弹性力学解的唯一性。等价于：该弹性体无外力作功，总形变势能为零，即：因为，物体的形变势能恒为非负，所以，两组解的差对应的是零解。表明：上述两组解答必须相同。该弹性体不受体力、面力、边界位移均为零的状态。第108页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六§11-10功的互等定理1.功的互等定理设某一弹性体（位移边界条件相同），具有两种受力状态。第一种状态：外力：应力：应变：位移：第二种状态：外力：应力：应变：位移：计算第一种状态的外力，在第二种状态位移上所做的功：（a）利用应力边界条件，有第109页，共123页，2022年，5月20日，6点25分，星期六利用奥—高公式，有：将其