概率论与数理统计之正态分布课件

概率论与数理统计

2022/11/231概率论与数理统计2022/11/221第四章正态分布

4.1正态分布的概率密度和分布函数

4.2正态分布的数字特征

4.3正态随机变量的线性函数的分布

4.4二维正态分布

4.5中心极限定理2第四章正态分布2正态分布正态分布3正态分布，又称高斯分布正态分布，又称高斯分布4一、邂逅，正态曲线的首次发现正态分布的前世今生棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立）三、正态分布的各种推导四、正态分布开疆扩土五、正态魅影正态分布性质，4.3节一、邂逅，正态曲线的首次发现正态分布的前世今生棣莫弗—拉普拉5§4.1正态分布的概率密度与分布函数6定义：设随机变量的概率密度为则称服从正态分布，记作，其中及是参数正态分布也称为高斯分布特别地，当时，得到正态分布，称为标准正态分布，其概率密度为§4.1正态分布的概率密度与分布函数6定义：设随机变量6§4.1正态分布的概率密度与分布函数7特点（性质）：关于对称§4.1正态分布的概率密度与分布函数7特点（性质）：关于7如图以标准正态分布为例，分析的取值对图像的影响§4.1正态分布的概率密度与分布函数8是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状改变其形状（高矮胖瘦），不能改变其位置如图以标准正态分布为例，分析的取值对图像的8§4.1正态分布的概率密度与分布函数9§4.1正态分布的概率密度与分布函数99§4.1正态分布的概率密度与分布函数10分布函数分布函数的性质：第二章中分布函数所有性质§4.1正态分布的概率密度与分布函数10分布函数分布函数的10的性质：11是曲线与轴之间，从到点的面积的性质：11是曲线与轴之间，从11标准正态分布的分布函数值表见281页附录表1。我们一起学查表。【例】已知X~N(0,1)，查表解决以下问题。求概率标准正态分布的分布函数值表见281页附录表1。我们一起学查表12转换公式13转换公式13其它结论：14其它结论：1414§4.1正态分布的概率密度与分布函数15定理：设，则落在区间内的概率当然也有：§4.1正态分布的概率密度与分布函数15定理：设，则15§4.1正态分布的概率密度与分布函数16证明：例：设，证明：对于任意的，有§4.1正态分布的概率密度与分布函数16证明：例：设，证明16§4.1正态分布的概率密度与分布函数17解：例：设，求：§4.1正态分布的概率密度与分布函数17解：例：设，求：17§4.1正态分布的概率密度与分布函数18例：设，求解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数18例：设，求解：18§4.1正态分布的概率密度与分布函数19解：例：设，求：§4.1正态分布的概率密度与分布函数19解：例：设，求：19§4.1正态分布的概率密度与分布函数20解：例：设，求：§4.1正态分布的概率密度与分布函数20解：例：设，求：20§4.1正态分布的概率密度与分布函数21解：例：设，求：落在区间其中的概率，正态分布中，尽管的取值范围是，但是它落在区间内的概率几乎可认为是100%称为正态分布的“”规则§4.1正态分布的概率密度与分布函数21解：例：设，求：21§4.2正态分布的期望和方差数学期望：方差：【例】正态分布的标准化：已知X~N(m,s2)，则有X~N(m,s2)§4.2正态分布的期望和方差数学期望：方差：【例】正22§4.3正态分布的线性性质设随机变量，则有其中a,b(b≠0)为常数。【例】已知X~N(1,4)，试确定Y=1-2X的分布，并写出Y的密度函数。§4.3正态分布的线性性质设随机变量23正态分布的可加性设随机变量，并且X与Y独立，则1.两个正态分布情形2.多个正态分布情形设随机变量相互独立，且，则其中为常数。正态分布的可加性设随机变量24【例】已知X~N(-3,1)，Y~N(2,1)，并且X与Y独立，试确定Z=X-2Y+7的分布，求E(Z),D(Z)，写出Z的密度函数。【例】已知X~N(-3,1)，Y~N(2,1)25§4.4二维正态分布26定义：其中是参数.二维随机变量服从二维正态分布，记作§4.4二维正态分布26定义：其中26§4.4二维正态分布27定理1：设二维连续随机变量则与的边缘分布都是正态分布，且无论参数为何值，都有并且分别是与的数学期望与方差，且是与的相关系数.§4.4二维正态分布27定理1：设二维连续随机变量27§4.4二维正态分布28定理2：设二维连续随机变量则与相互独立的充要条件是相关系数§4.4二维正态分布28定理2：设二维连续随机变量28客，考点8.正态分布的性质及概率计算29客，考点2930303131§4.5中心极限定理32概率论中关于论证

“大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”的一系列定理统称为中心极限定理§4.5中心极限定理32概率论中关于论证32§4.5中心极限定理33定理1：【林德伯格—莱维中心极限定理】设随机变量相互独立，服从相同的分布，且则对于任何实数，有此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理”§4.5中心极限定理33定理1：【林德伯格—莱维中心极限定3334解：设随机变量表示第页的印刷错误的个数，则例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不多于88个的概率.则因为是相互独立，所以由“林德伯格—莱维”中心极限定理34解：设随机变量表示第页的印刷错误的个数，则例：3435解：例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误不多于88个的概率35解：例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊35§4.5中心极限定理36设在独立试验序列中，事件的概率，随机变量定理2：【棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理】表示事件在次试验中发生的次数，则对于任何实数，有§4.5中心极限定理36设在独立试验序列中，事件的概率3637例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8各用户用电多少是相互独立的，求：(1)同一时刻有8100户以上用电的概率；所以由“棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理”

，于是解：(1)设随机变量表示10000户中在同一时刻用电的户数，则(2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电37例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的3738例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8各用户用电多少是相互独立的，求：(1)同一时刻有8100户以上用电的概率；(2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电解：(2)若每户用电功率为100W，则户用电功率为100W设电站供电功率为W，则反查表38例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的383939概率论与数理统计

2022/11/2340概率论与数理统计2022/11/221第四章正态分布

4.1正态分布的概率密度和分布函数

4.2正态分布的数字特征

4.3正态随机变量的线性函数的分布

4.4二维正态分布

4.5中心极限定理41第四章正态分布2正态分布正态分布42正态分布，又称高斯分布正态分布，又称高斯分布43一、邂逅，正态曲线的首次发现正态分布的前世今生棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立）三、正态分布的各种推导四、正态分布开疆扩土五、正态魅影正态分布性质，4.3节一、邂逅，正态曲线的首次发现正态分布的前世今生棣莫弗—拉普拉44§4.1正态分布的概率密度与分布函数45定义：设随机变量的概率密度为则称服从正态分布，记作，其中及是参数正态分布也称为高斯分布特别地，当时，得到正态分布，称为标准正态分布，其概率密度为§4.1正态分布的概率密度与分布函数6定义：设随机变量45§4.1正态分布的概率密度与分布函数46特点（性质）：关于对称§4.1正态分布的概率密度与分布函数7特点（性质）：关于46如图以标准正态分布为例，分析的取值对图像的影响§4.1正态分布的概率密度与分布函数47是对称轴，只是左右平移，改变其左右位置，不改变其形状改变其形状（高矮胖瘦），不能改变其位置如图以标准正态分布为例，分析的取值对图像的47§4.1正态分布的概率密度与分布函数48§4.1正态分布的概率密度与分布函数948§4.1正态分布的概率密度与分布函数49分布函数分布函数的性质：第二章中分布函数所有性质§4.1正态分布的概率密度与分布函数10分布函数分布函数的49的性质：50是曲线与轴之间，从到点的面积的性质：11是曲线与轴之间，从50标准正态分布的分布函数值表见281页附录表1。我们一起学查表。【例】已知X~N(0,1)，查表解决以下问题。求概率标准正态分布的分布函数值表见281页附录表1。我们一起学查表51转换公式52转换公式13其它结论：53其它结论：1453§4.1正态分布的概率密度与分布函数54定理：设，则落在区间内的概率当然也有：§4.1正态分布的概率密度与分布函数15定理：设，则54§4.1正态分布的概率密度与分布函数55证明：例：设，证明：对于任意的，有§4.1正态分布的概率密度与分布函数16证明：例：设，证明55§4.1正态分布的概率密度与分布函数56解：例：设，求：§4.1正态分布的概率密度与分布函数17解：例：设，求：56§4.1正态分布的概率密度与分布函数57例：设，求解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数18例：设，求解：57§4.1正态分布的概率密度与分布函数58解：例：设，求：§4.1正态分布的概率密度与分布函数19解：例：设，求：58§4.1正态分布的概率密度与分布函数59解：例：设，求：§4.1正态分布的概率密度与分布函数20解：例：设，求：59§4.1正态分布的概率密度与分布函数60解：例：设，求：落在区间其中的概率，正态分布中，尽管的取值范围是，但是它落在区间内的概率几乎可认为是100%称为正态分布的“”规则§4.1正态分布的概率密度与分布函数21解：例：设，求：60§4.2正态分布的期望和方差数学期望：方差：【例】正态分布的标准化：已知X~N(m,s2)，则有X~N(m,s2)§4.2正态分布的期望和方差数学期望：方差：【例】正61§4.3正态分布的线性性质设随机变量，则有其中a,b(b≠0)为常数。【例】已知X~N(1,4)，试确定Y=1-2X的分布，并写出Y的密度函数。§4.3正态分布的线性性质设随机变量62正态分布的可加性设随机变量，并且X与Y独立，则1.两个正态分布情形2.多个正态分布情形设随机变量相互独立，且，则其中为常数。正态分布的可加性设随机变量63【例】已知X~N(-3,1)，Y~N(2,1)，并且X与Y独立，试确定Z=X-2Y+7的分布，求E(Z),D(Z)，写出Z的密度函数。【例】已知X~N(-3,1)，Y~N(2,1)64§4.4二维正态分布65定义：其中是参数.二维随机变量服从二维正态分布，记作§4.4二维正态分布26定义：其中65§4.4二维正态分布66定理1：设二维连续随机变量则与的边缘分布都是正态分布，且无论参数为何值，都有并且分别是与的数学期望与方差，且是与的相关系数.§4.4二维正态分布27定理1：设二维连续随机变量66§4.4二维正态分布67定理2：设二维连续随机变量则与相互独立的充要条件是相关系数§4.4二维正态分布28定理2：设二维连续随机变量67客，考点8.正态分布的性质及概率计算68客，考点2969307031§4.5中心极限定理71概率论中关于论证

“大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布”的一系列定理统称为中心极限定理§4.5中心极限定理32概率论中关于论证71§4.5中心极限定理72定理1：【林德伯格—莱维中心极限定理】设随机变量相互独立，服从相同的分布，且则对于任何实数，有此定理通常称为“独立同分布的中心极限定理”§4.5中心极限定理33定理1：【林德伯格—莱维中心极限定7273解：设随机变量表示第页的印刷错误的个数，则例：一册400页的书中，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布各页有多少个印刷错误是相互独立的，求这册书的印刷错误的个数不多于88个的概率.则因为是