全国各地中考数学模拟试卷精选汇编

20/20全国各地中考数学试卷精选汇总一.选择题1．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图1，⊙的半径为1，点到直线的距离为图12，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是图1A．1B．C．2 D．答案：B；二.填空题图21．（2015•山东滕州东沙河中学•二模）如图2，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是____．图2答案：；三.解答题1.（2015·江苏高邮·一模）（本题满分12分）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：ABCDO（图1）PBC（图3）BPCIEDGFHaABCDO（图1）PBC（图3）BPCIEDGFHa（图4）ADEFEFADBCB′G（图2）（2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数．（3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI(如图4)．若BH＝BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50eq\r(15)，请求出a的最大整数值．解：（1）点O、180°……2分（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，B'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°，（或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°……4分（3）①分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，ABCIEDGFHaMQN∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHIABCIEDGFHaMQN在Rt△AHN中，AH＝AI＝4a，AH2＝HN2＋AN2，HN2＝EQ\F(15,4)a2，则DM2＝FQ2＝HN2＝EQ\F(15,4)a2，AD2＝AM2＋DM2＝6a2，AF2＝AQ2＋FQ2＝10a2，新三角形三边长为4a、eq\r(6)a、eq\r(10)a．∵AH2＝AD2＋AF2∴新三角形为直角三角形．……4分（或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）②其面积为EQ\F(1,2)eq\r(6)aeq\r(10)a＝eq\r(15)a2．∵eq\r(15)a2＜50eq\r(15)∴a2＜50∴a的最大整数值为7．……2分2．（2015·江苏江阴·3月月考）提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．图1AB图1ABCD图2ABCD背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD<BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm.请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．答案：解：（1）作线段AD（或BC）的中垂线即可.（2）小华不会成功．直线平分梯形ABCD面积，则(AE+BF)AB=(ED+CF)AB∴AE+BF=ED+CF，又∵AB＜CD，∴此时AE+BF+AB＜ED+CF+CD∴小华不可能成功（3）可求得：S梯形ABCD=18，C梯形ABCD=18，由（2）可知直线分别交AD、BC于点E、F时不可能，只要分以下几种情况：①当直线分别交AD、AB于E、F时有S△AEF≤S△ABD，又∵S△ABD=6＜9，∴不可能同理，当直线分别交AD、CD于E、F时S△AEF≤S△ACD＜9,∴不可能②当直线分别交AB、BC于E、F时设BE=x，则BF=9−x由直线平分梯形面积得：EQ\F(1,2)x(9−x)=9求得：x1=3，x2=6＞4（舍去）∴BE=3③当直线分别交CD、BC于E、F时设CE=x，可得：S△ECF=EQ\F(1,2)×EQ\F(4x,5)×(9−x)=92x2－18x+45=0此方程无解，∴不可能④当直线分别交AB、CD于、E、F时设CF=x，可得：SBFEC=EQ\F(1,2)×(3−EQ\F(x,5))(6−EQ\F(3x,5))+EQ\F(6x2,25)=9∴x1=0，与②同x2=5，BF=−2，舍去综上所述，符合条件的直线共有一条3．（2015·江苏江阴要塞片·一模）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.（1）当r=时，①在P1（0，－3），P2（4，6），P3（，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；②若点P在直线上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．答案：解（1）10×1.5+（18﹣10）×2=31，········2分（2）①当x≤10时，y=1.5x，········3分②当10＜x≤m时，y=10×1.5+（x﹣10）×2=2x﹣5，········4分③当x＞m时，y=10×1.5+（m﹣10）×2+（x﹣m）×3=3x﹣m﹣5，········5分（3）①当40≤m≤50时，此时选择第二种方案，费用=2×40﹣5=75，符合题意，········6分②当20≤m＜40时，此时选择第三种方案，费用=3x﹣m﹣5，则：70≤3x﹣m﹣5≤90，········7分∴25≤m≤45，········9分综合①、②可得m的取值范围为：25≤m≤50．········10分4（2015·福建漳州·一模）动手操作：用两种不同的方法，将下图中一个等腰三角形分割成四个等腰三角形.解：（第20题图1（第20题图1）（第20题图2）答案：解：每画一个图正确得4分5（2015•山东滕州东沙河中学•二模）如图3，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，四边形AEDF为菱形．（1）求证：ΔABE≌ΔDCE；（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时，菱形AEDF为正方形?请说明理由答案：解：（1）略（2）AD=2AB．6.（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图4-1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点。（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC=6，AB=2，如图4-2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系图4-1图4-1图4-2答案：（1）证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H∴∠MGE=∠MHF=90°．∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中∠1=∠2，MG=MH，∠MGE=∠MHF．∴△MGE≌△MHF．∴ME=MF．－－（5分）图5-1图5-1图5-2（2）解：①当射线MN交BC于点E，射线MQ交CD于点F时．过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°．∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，∠MGE=∠MHF，∴△MGE∽△MHF．∴，∵M为矩形对角线AB、AC的交点，∴MB=MD=MC，又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC、DC的中点．∵BC=6，AB=2，∴MG＝1，MH＝3．图5-3（2分）图5-3②当射线MN交AB于点E，射线MQ交BC于点F时．过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°．∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，图5-4∠MGE=∠MHF．∴△MGE∽△MHF．∴,∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MA=MC．又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点．∵BC=6，AB=2，（4分）图5-4③当射线MN交BC于点E，射线MQ交BC于点F时．由△MEH∽△FMH， 得由△MEH∽△FEM，得△FMH∽△FEM．（6分）④当射线MN交BC边于E点，射线MQ交AD于点F时．图5-5延长FM交BC于点G．图5-5易证△MFD≌△MGB．∴MF=MG．同理由③得（7分）综上所述：ME与MF的数量关系是7.（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图6，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．图6（1）求证：∠APB=∠BPH；图6（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长．答案：（1）证明：∵PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形图7∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．图7∴∠APB=∠BPH．4分（2）证明：如图7，过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由（1）知，∠APB=∠BPH，在△ABP与△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH．8分（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x．在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，即32+（4-x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4．12分8.（2015·江西赣三中·2014—2015学年第二学期中考模拟）已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.第1题答案：解：（1）AE∥BF，QE=QF，（2）QE=QF，证明：如图2，延长EQ交BF于D，∵AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△BDQ和△AEQ中∴△BDQ≌△AEQ（ASA），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是Rt△DEF斜边上的中线，第1题∴QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，∵AE∥BF，∴∠AEQ=∠D，在△AQE和△BQD中∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，∴QE=QF．9.（2015.河北博野中考模拟）．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，则=．图图1BAOCEFCBAOEF图2图3OABCEF答案：CCBAOEF（1）①猜想：…………2分②成立.…………4分证明：连结OB.∵AB=BC,∠ABC=90°,O点为AC的中点，∴,∠BOC=90°,∠ABO=∠BCO=45°.∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC.又∵∠EBO=∠FCO，∴△OEB≌△OFC（ASA）.∴BE=CF………………8分又∵BA=BC,∴AE=BF.在RtΔEBF中，∵∠EBF=90°,.……………11分（2）.………………13分10.(2015•山东东营•一模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．第1题图解答：（1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，设∠CBD=α，∠CAD=β，∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，∴∠APE=∠ADE，AP=AD．∵AC⊥BD∴∠PAE=∠DAE=β，∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．∵∠BAD=3∠CBD，∴3β=3α，β=α．∵AC⊥BD，∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β．∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β，∴∠ACB=∠ABC，∴△ABC为等腰三角形；（2）2MH=FM+CD．证明：如图2，由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，∴△ABP∽△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵AC⊥BD，∴∠GDN=90°﹣β，∵GN=GD，∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β．∴∠AGF=∠NGD=2β．∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β．∵FN平分∠BFM，∴∠NFM=∠AFG=β，∴FM∥AE，∴∠FMN=90°．∵H为BF的中点，∴BF=2MH．在FB上截取FR=FM，连接RM，∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β．∵∠ABC=90°﹣β∴∠FRM=∠ABC，∴RM∥BC，∴∠CBD=∠RMB．∵∠CAD=∠CBD=β，∴∠RMB=∠CAD．∵∠RBM=∠ACD，∴△RMB∽△DAC，∴，∴BR=CD．∵BR=BF﹣FR，∴FB﹣FM=BR=CD，FB=FM+CD．∴2MH=FM+CD．11．(2015·江苏南京溧水区·一模)(11分)问题提出把多边形的任一边向两方延长,如果其它各边都在延长线的同一旁,则这样的多边形为凸多边形.如平行四边形、梯形等都是凸多边形．我们教材中所说的多边形如没作特别说明，一般都是指凸多边形．把多边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凹多边形．凹多边形会有哪些性质呢？初步认识ABCDE（图1）如图(1)，四边形ABCD中，延长BC到M，则边AB、CD分别在直线BM的两旁，所以四边形ABCD就是一个凹四边形ABCDE（图1）AABCMD（图1）ABCD（图2）性质探究请你完成凹四边形一个性质的证明：如图(2)，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD=∠A＋∠B＋∠D．类比学习我们以前曾研究过凸四边形的中点四边形问题，如图(3)，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形．当四边形ABCD满足一定条件时，四边形EFGH还可能是矩形、菱形或正方形．AABCDEFGH（图3）（图4）EABCDFGH如图(4)，在凹四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．拓展延伸ABCD（图5）如图(5)，在凹四边形ABCD的边上求作一点P，使得∠BPD=∠A＋∠ABCD（图5）(不写作法、证明，保留作图痕迹)答案:答：初步认识:如图(图形正确即可…1分性质探究：延长BC交AD于点E∵∠BCD是△CDE的外角ABCED（图2）∴∠BCD=∠CED＋ABCED（图2）同理，∠CED是△ABE的外角∴∠CED=∠A＋∠B………3分∴∠BCD=∠A＋∠B＋∠D…………………4分(说明：连接AC，利用外角来说明也可)[来源^:*&@中~教网]类比学习：证明：四边形EFGH是矩形………………5分连接AC，BD，交EH于点M∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点（图3）EABCDFGHM∴EF=HG（图3）EABCDFGHM∴四边形EFGH是平行四边形，…………6分∵AB=AD，BC=DC，∴A、C在BD的垂直平分线上，∴AM⊥EH，………………7分已证EF∥AC，同理可证FG∥BD，∴∠EFG=90°D（图4）ABCP1PD（图4）ABCP1P2O证明二：∵AB=AD，CB=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB∴∠ABC=∠ADC，∴△ABC≌△ADC。∴∠BAC=∠DAC……………7分∵AB=AD，且E、H的AB、AD中点，∴AE=AH。∴AM⊥EH即∠AME=90°，∠FEM=∠AME=90°∴□EFGH是矩形…………8分拓展延伸：作图正确……………………10分两种情况都有………………11分AUTONUM2．(2015·江苏南菁中学·期中)(本题满分10分).如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE。填空：①∠AEC的度数为___▲____；②线段AE、BD之间的数量关系为_____▲_____.(2)拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE.试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由.(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=2,点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，①∠DPC=__▲___°；②请直接写出点D到PC的距离为_____▲____.如图1如图2如图3答案:(本题满分10分)(1)①120°…………1分②AE=BD…………2分(2)BM=CM＋AE…………3分证明△AEC≌△BDC…………4分得∠AEC=∠BDC=135°，BD=AE…………5分，得∠AEB=135°－45°=90°…………6分证得：CM=MD…………7分从而得BM=MD＋BD=CM＋AE(3)①∠DPC=45°…………8分；②…………10分CPDAFEB图1BCPDAFEB图1BFHGPAEDCC＇图2DCBAMEN图3【问题情境】如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.【结论运用】如图2,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;【迁移拓展】图3是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且AD·CE=DE·BC,AB=8，AD=3，BD=7；M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．27（本题满分10分）解：【问题情境】连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且，∴．∵AB=AC，∴CF=PD+PE．【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=8，CF=3，∴．由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．∴DF=5．∵∠C=90°，∴．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是矩形．∴EQ=DC=4．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．由问题情境中的结论可得：．∴．∴PG+PH的值为4．【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．∵，∴．∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE=∠BCE=90°．∴△ADE∽△BCE．∴∠A=∠CBE．∴FA=FB．由问题情境中的结论可得：．设DH=x，则AH=AD+DH=x+3．∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°．∴．∵AB=8，AD=3，BD=7，∴72－x2=82－(3+x)2．解得：．∴BH2=BD2－DH2=49－1=48．∴BH=4eq\r(3)．∴ED+EC=4eq\r(3)．∵，且M、N分别为AE、BE的中点，∴，．∴△DEM与△CEN的周长之和=8+4eq\r(3)14.洑东中学动手实验：利用矩形纸片（图1）剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图（2）无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形）；（1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？（2）在（1）的前提下，当矩形的长为2时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率？（矩形纸片的利用率=无盖正六棱柱的表面积/矩形纸片的面积）图2图1备用图图2图1备用图答案：（1）2︰……（3分）（2）设高为x，S=，……（4分）当x=时，S=……（5分）此时，底面积=，……（6分）+=……（7分）利用率=……（8分）15.（本题满分10分）（1）问题情境：如图（1），已知，锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转，旋转过程中△MON的面积存