微积分上-课件6

如果当x

a

(或x

)时,两个函数limF

(

x)xa(

x

)如,

lim定义00

或

型未定式.xtan

xx0ln

sinaxlimx0

ln

sinbx)00未定

意味着关于它的极限不能确定出一般的结论,而并不是在确定的情况下关于它的极限不能确定.在第一章中看到,两个无穷小之商或两个无穷大之商,其极限都不能直接利用极限运算法则来求.((

)f

(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,那末极限这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将limF

(

x)(

x

)xaf

(

x)的计算问题转化为limF

(

x)(

x

)xaf

(

x)的计算.

其基本思想是由微积分著名先驱,

17世纪的法国数学家

(L‘Hospital),后人对他的思想作了推广,从而产生了简法则.便而重要的型未定式一、型,0

定理6.2

设函数

f

(

x)及F

(

x)满足条件0

(3)lim

f

(x)

A(或);xa

F

(

x)(1)lim

f

(

x)

0,xalim

F(

x)

0;xa(2)

f

(x),F(x)在点a

的邻域内可导,(点a

处可除外)且F(x)

0;xa

F

(

x)则lim

f

(

x)

lim

A

(或).xa

F

(

x)f

(

x)证

定义辅助函数10,

x

af

(

x)

f

(

x),

x

a,10,

x

aF

(

x)

F

(

x),

x

a,在U

0

(a,

)内任取一点x,

在以a

与x

为端(

),

11

xF)满(xf足

中值定理的条件,

则有F

(

x)

F1

(

x)

F1

(a)

f

(

x)

f1

(

x)

f1

(a)

f1(

)

f

(

)F1(

)(在x与a之间)xa

F

(

x)当x

a时,

a,

lim

f

(

x)

A,

lim

f

(

)

A,

a

F

(

)xa

F

(

x)lim

f

(

x)

lim

f

(

)

A.

a

F

(

)F

(

)注(2)x

a

0,x

a

0,

法则成立.

lim

f

(x)

0

…(多次用法则)xa

F

(

x)

0

(1)

lim

f

(

x)

0

lim

f

(

x)

0

xa

F

(

x)

0

xa

F

(

x)

0

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为法则..

(2cos

x2x

x例求lim2

2

(

x

)x12x.

(cos

x

1

x3x0例求limx3x2

sin

x

x0解

原式

lim

2 1

x

.)00001)2解

原式

lim

(cos

x)

lim

sin

x

sin

1.8定理6.3

设(1)

lim

f

(

x)

0,

lim

F(

x)

0;x

x(2)当x

N时,f

(x)和F

(x)可导,且F

(x)

0;(3)lim

f

(x)

A

(或为);x

F

(

x)z则

lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

A(或为).x

F

(

x)

x

F

(

x)证令x

1

,则x

等价于z

0,用定理6.2x

F

(

x)f

(

x)有lim

z

F

1

f

z

1

z0

21

1

lim

lim

z

z

f

z z

2z0

1

1

F

9x

F

(

x)f

(

x)

对x

(),定理6.3仍成立;注

z

z

f

1

lim

limz0

1

F

A.sin

1xxπ

arctan

x例

求

lim

2

.0(

)0

1.x2

lim

1

x2x

1

11x解

原式

lim

2π

arctan

xx定理6.4

设函数

f

(

x)及F

(

x)满足条件(3)lim

f

(x)

A(或);xa

F

(

x)(1)lim

f

(

x)

,xalim

F(

x)

;xa(2)

f

(x),F(x)在点a

的邻域内可导,(点a

处可除外)且F(x)

0;xa

F

(

x)则lim

f

(x)

lim

f

(x)

A

(或).xa

F

(

x)注x

(,),x

a

0,

x

a

0,定理6.4成立;例解.ln

sin

bxln

sin

axx0求limb

cos

bx

sin

ax原式

lim

a

cos

ax

sin

bxx0

1.)(

lim

a

sin

bx

lim

cos

bxb

sin

ax

x

0

cos

axx0例解2x

tan

3

x求lim

tan

x

.sec2

x原式

lim2

22

21 cos2

3

xx

3sec 3

x

3

x

cos

x

lim

2cos

x

sin

x

1

lim

6cos

3

x

sin

3

x

lim

sin

6

x23

x2x

sin

2

x2

lim

6cos

6

x

3.x

2cos

2

x(

)注意：

法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例解求lim

tan

x

x

.x2

tan

xx03x0tan

x

x

原式

limx6xx0

lim2sec2

x

13

xlimx0xlim3

x02sec2

x

tan

x

1 tan

x

13

..

(

sin

x

12(arcsin

x)x0例求lime

x)00解arcsin

x

~

x

(x

0)x2x0

sin

x

1原式

limex

cos

x2x

sin

xex

limx00(

)0)(2

limx0e

x0012.例

求

lim

x

cos

x

(

)解xx1x原式

lim

1

sin

x

lim(1

sin

x).x极限不存在法则失效.xx原式

lim(1

1

cos

x)

1.法则的使用条件.注用法则求极限有两方面的局限性当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,这时不能使用其一,法则.得不到结果!如xlim1

x2x

分子，分母有单项无理式时,不能简化.2

x12 1

x

2x( )

lim1

x

2

limxx1

x

21

limxx(

)x1

x2

limx

其实:

lim

1.1

x2x

x的一个著名例子.其二可能用法则求极限有两方面的局限性x

xn例

lim

ln

x

(n

:

正整数)

(

)11x

nxn解

原式

lim

x

limx

nx

n1n换成

0,极

0注例limxx

exn(n

:

正整数,

0)

(

)解

lim

0x

n!n

x

en次x

,

ex

(

)

,

xn

,

ln

x

(

).ex

xn有:

ln

x.18用

法则应注意的事项(1)只有0或的未定式,才可能用法则,0

0

或

,则可一直用下去;0

在用法则之前,式子是否能先化简;每用完一次法则,要将式子整理化简;为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限只要是的其它性质结合使用.(5)当x

时,极限式中含有sin

x,cos

x,不能用x

x法则;当x

0时,极限式中含有sin

1

,cos

1

,不能用法则.19例

求

lim

x

3sin

x

.解原式xx

3

2

cos

xx1

3

sin

xlim(

)分子分母同除以x3

1

.x

3

x

2cos

xln(ex

ea

)xa

lim

cos

x

ln(

x

a)

.

(

)解原式

lim

cos

x

lim

ln(x

a)ln(ex

ea

)xa

xa(

)

cos

ae

xx

a

eaxa

xe

xe

eax

axa

cos

a

lim1x

lim

ex

a

lim

1ea

cosa

ea

cos

a.先把此定式因式分离出来用ex在x

a处的导数定义212x

x3x3

x2

1(sinx

cos

x)

0

limx解考研数学(三,四)填空4分

0limx

x3x3

x2

12x|

sin

x

cos

x

|

2定理2.15

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.x

,

ex

,

xn

,

ln

x

.有: ex

xn

ln

x.例

求1x

2lim

cos

x

.

e

t

2

dtx0解1

d

dx2cosxte

dt12cosx

d

dxte

dt,

2

2

ecos

x

(cos

x)

sin

x

ecos

x

,x

2cos

xlimx01

2e

t

dt2

xcos2

x

lim

sin

x

ex02e

1

.0分析：这是

型不定式，应用0法则.23考研数学(二),解答题,9分sin4

x求极限lim

(1

cos

x)[x

ln(1

tan

x)]x04

1

.sin4

x解lim

(1

cos

x)[x

ln(1

tan

x)]x0x4x2[

x

ln(1

tan

x)]

lim

2

lim

x

ln(1

tan

x)x0

x02

x24

xsec2

x1

洛limx04

x(1

tan

x)21

tan

x

lim

1

tan

x

sec

xx04

x

limx01

tan

x

sec2

x

洛4sec2

x

2sec2

x

tan

xlimx024考研数学(一、二、三),选择题,4分是等价无穷小,则当x

0时,f

(x)

x

sin

ax与g(x)

x2

ln(1

bx)6(A)a

1,

b

1

.6(B)a

1,

b

1

.6(C)a

1,

b

1

.6(D)a

1,

b

1

.解lim

f

(

x)

limx0

g(

x)

1x

sin

axx2

(bx)

lim

x

sin

axx0

x2

ln(1

bx)

x02

3bx

limx0

6bxa2

sin

ax

limx01

a

cos

ax

洛limx0a3

6bx

6ba2

ax

洛a

125sin

πxx

x3考研数学二、三(选择4分)函数f

(x)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)无穷多个.x0

sinπxπ1x

0x1

0,

lim

f

(

x)

lim的可去间断点的个数为解当x取任何整数时,f

(x)均无意义.故f(x)的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x

x3

0

的解x1,2,3

0,

1.

limx0

πcosπxx

x3

洛

1

3x2x

1x2

1,

lim

f

(

x)

limx

x3

洛x1

sinπx1

3x2

limx1

πcosπx2x

1x3

1,

lim

f

(

x)

limx1

sinπx1

3

x2

limx1

πcosπxx

x3

洛π2π二、0

,

,00

,1

,0型未定式解法例解x求

lim

x2ex

.(

0

)x

2

xex原式

lime

xx

2

x

2

lim

lime

x

.关键:将其它类型未定式化为

法则可解决的类型

(

0

),

(

)

.0

1.

0

型步骤:

0

1

,0或0

0

1

.2x

例

求

lim

x(

arctan

x).

(

0

)x11x

arctan

x解

原式

lim

2

)00(x2

11

x2

limx

2x2

limx

1

x

1例解sin

x

x

1

).1x0求lim((

)步骤:

1

1

0

0

.0

0 0

0x

sin

x原式

limx

sin

xx02x

lim

1

cos

x

0.x02.

型x

x

lim

x

sin

xx029考研数学(三,四)8分解原式

limx02

3

.)((

))(用法则用法则000000)(x

0ex

1

~

x

1

.x

求lim

1

x

xx0

1

ex

x2

1

e

x

xx(1

e

)2x

x2

1

e

x

limx0x1

2x

e

x

limx02x2

e

x2

limx03. 00

,1

,0

型0

ln

ln10

ln

010

步骤:

00

取对数

0

.例解x0求lim

xx

.(

00

)x

ln

xx0原式

lim

elim

x

ln

x

ex

0x21lim

x

x

0

1

e

e0

1.1xlim

ln

xx

0

e例解1x1求lim

x1

x

.(

1

)ln

x1x1原式

lim

e1

xlim

ln

x

ex11

x1lim

x1

.

e

e

x

11(

0

)1x0例

求

lim

(cot

x)ln

x

.,11

ln(cot

x

)解

取对数得(cot

x)ln

x

eln

x

ln(cot

x)

limx0

ln

x1

limxx01

1cot

x

sin2

x1

x

limx0

cos

x

sin

x

1,1原式

e

.例解(

1

)x

x

cos2x求lim

sin1

xx

1x

ln

sin

cos2xx原式

lim

e

e

xx x

lim

x

ln

sin

2

cos

1

(0

)

令t

1tlim

ln(sin2t

cost)

0(

)0x

e

t

0

e

t

0lim

2cos2t

sintsin2t

cost

e

2还有别的方法吗?x

ex

1

lim1

x解由于n例求lim

ne2n转化为函数的未定式的极限!数列的极限不能用x

e2

xlim

xe2

x

(0

)

limx

(

)

01x

2e2

x

limn又n

是x

中的一种特殊情况,所以有lim

ne2n

0法则x

n

axx0求

lim

1

2

n

其中a1

,a2

,an

均为正数.(

1

)解

ax

ax

x1原式e

n

xax

ax

axln

1

2

n

x0lim0(

)0lim

e

x0

n

1ln

a1

ln

a2

ln

an

ena

a

a1

2n法一1nnax

ax

ax212

2

n1

1ax

ln

a

ax

ln

a

ax

ln

a解naxx0

原式

lim

1

1

2

n

ax

ax

n

xn

xaxx0

ax

ax

n

1lim

1

2

n

)00(nx0nax

ln

a

ax

ln

a

ln

a

a

a

lim

1

1

n n

1

2

n

ln

n

a

a

a1

2

n原式

n

a

a

a1

2

n法二

n

ax

ax

ax

x0

1其中a1

,a2

,an

均为正数.1求

lim

1

2

n

x

(

1

)

e1xx0lim1

x36考研数学(二)10分解法一原式

limx03xe3

1x

ln(

2cos

x

)x3

x

ln

2

cos

x

3

3x2

ln

2

cos

x

x0

x0x02

x

lim

ln(2

cos

x)

ln

3

lim

2

cos

x

(sin

x)x0

1

lim2

x0

2

cos

xx21

sin

x

1

.x

6

lim

lim

(用法则

1x

0ex

1

~

x0(

)0)003求极限lim

1.3

1

2

cos

x

xx0

x

37解法二原式

limx0x3e

1x

ln(

2cos

x

)33x3

limx0

x

ln

2

cos

x

limx03x2

ln

2

cos

x

3x2ln(1

cos

x

1)

limx02x0

lim

cos

x

1

1

.3x

6x

0ex

1

~

xx

0ln(1

x)

~

x2x2x

01

cos

x

~0(

)0考研数学(二)10分3求极限lim

1.3

1

2

cos

x

xx0

x

38考研数学(一),12分设数列{xn}满足0

x1

π,xn1

sin

xn

(n

1,2,).n(Ⅰ)

证明lim

xn

存在,并求该极限;1n

.(Ⅱ)

计算lim

xn1

x2n

xn解(Ⅰ)用归纳法证明{xn}单调下降且有下界.0

x2

sin

x1

x1

π;设0

xn

π,则0

xn1

sin

xn

xn

π;所以{xn}单调下降且有下界,故lim

xn存在.nn记a

lim

xn

,由xn1

sin

xn

,得a

sin

a,n所以a

0,即lim

xn

0.391n

.(Ⅱ)

计算lim

xn1

x2n

xn因为1limx0

sin

x

x2xx1 sin

xx02

ln

lim

e

xlim

x

cos

xsin

x

ex02

x3x1 sin

xlim

2

ln

ex0

x2x

ex01

(

cos

x

1

)2

x

sin

x

xlim

ex0

0

lim

ln

sin

xln

x

0

lim

x

sin

x

ex06

x2

e16

.又由(Ⅰ)lim

xn

0,所以n1lim2nxn1n

xn

lim12nxnnxn

x

sin

x1

limx0

sin

x

x2x

e16

.0

x1

π,

xn1

sin

xn

(n

1,2,)三、小结法则00

,1

,0

型

型0

型0

型

0

型f1

gf

g

1

g

1

ff

g

1

g

1

f令y

f

g取对数注意

各类未定式极限问题,

法则是最常用的工具,

但求某些未定式极限不要单一使用法则,应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法