微分方程是精确表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工(共16张PPT)

微分方程是精确表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一。现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程。§9.1微分方程的一般概念第1页，共16页。在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。

含有未知函数的导数（或微分）的关系式。第2页，共16页。常微分方程含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。第3页，共16页。例常微分方程偏微分方程第4页，共16页。含有未知函数的导数（或微分）的关系式。微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的常数，则称此解为n阶微分方程的通解。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。由北京大学、复旦大学、中山大学编写的但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。方程的解、通解、特解、所有解微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶一阶第5页，共16页。线性方程、非线性方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。一阶二阶一阶线性线性非线性第6页，共16页。齐方程、非齐次方程在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。自由项为零的方程，称为齐方程。自由项不为零的方程，称为非齐方程。一阶齐线性方程二阶非齐线性方程一阶非齐非线性方程第7页，共16页。微分方程的一般表示形式第8页，共16页。方程的解、通解、特解、所有解自由项为零的方程，称为齐方程。1微分方程的一般概念这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。通解的图形是一族积分曲线。在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。自由项为零的方程，称为齐方程。含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。如果n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数，则称此解为n阶微分方程的通解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。第9页，共16页。例解代入方程，得微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。此时可求数值解第10页，共16页。初始条件（定解条件）由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。常微分方程初始条件称为初值问题（柯西问题）第11页，共16页。例解微分方程初始条件通解特解第12页，共16页。例解微分方程初始条件通解特解有何想法？第13页，共16页。积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。第14页，共16页。在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、唯一性和稳定性。参考书：由北京大学、复旦大学、中山大学编写的《常微分方程》均可