概率论与数理统计：第二章 随机变量及其分布2

2随机变量及其分布学习要点：随机变量的概念离散型随机变量的分布律随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布2.3随机变量的分布函数2.3.1分布函数的定义和意义1、定义（随机变量的分布函数）设X为一个随机变量（离散或非离散），称为X的分布函数，x为参变量。

如图，如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的概率；而X落在区间内的概率为

xxX0xx2X0x1所以，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。通过分布函数这个普通的函数，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量。

2、意义【例1】设随机变量X的分布律为X012pk试求X的分布函数及。【解】由分布函数的定义可知：（1）当x<0时，另外xF(x)20111/31/2（2）当0≤x<1时，（3）当1≤x<2时，（4）当x>2时，3、计算一般地，设离散型随机变量X的分布律为则其分布函数为即F(x)是X的所有取值中不大于x的诸xk的概率之和。

2.3.2分布函数的性质利用分布函数的定义、概率的非负性等，可证分布函数的以下性质：

（1）F(x)是一不减函数（单调性）：若x1<x2,则F(x1)F(x2)；特别地，P(a<Xb)=F(b)–F(a)

。（2）（3）F(x)右连续，即对任意实数x0，有

反之，如果一个函数具有性质(1)~(3)，则一定是某个随机变量X的分布函数；也就是说，性质(1)~(3)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。

（4）P(X=x0)=F(x0)–F(x0–0)；若F(x)在X=x0处连续，则

P(X=x0)=0。【例2】在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在[0，a]中任意一个小区间内的概率与该小区间的长度成正比，试求X的分布函数。

【解】设F(x)为X的分布函数

0a当x<0时，

当x>a时，当0≤x<a时，其中k为比例系数，另外2随机变量及其分布学习要点：随机变量的概念离散型随机变量的分布律随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布2.4连续型随机变量的概率密度函数2.4.1定义和性质1、定义（连续型随机变量，概率密度函数）对随机变量X为的分布函数F(x)

，如果存在非负函数f(x)

（−∞<x<∞），使对任意x有，2、概率密度函数的性质（1）非负性：f(x)

≥0；（2）归一性：则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

显然，连续型随机变量的分布函数是连续函数。

f(x)xo面积为1

上述性质是一函数能否成为某随机变量的概率密度函数的充要条件。（3）概率密度函数的几何意义对任意实数x1和x2（x2≥x1

）有f(x)x1x2x所以，利用概率密度函数可以确定随机点落入某范围的概率。（4）概率密度函数与分布函数的关系在f(x)的连续点x处，有。事实上，若x是f(x)的连续点，则

由于在该点有

，这与物理学中线密度类似，故称f(x)为概率密度——单位区间上的概率。当∆x很小的时候，X落在小区间（x，x+∆x]的概率为f(x)∆x在连续型随机变量中所起的作用与P(X=k)=pk在离散型随机变量中所起的作用类似。注意：密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率。但是，这个高度越大，则X在a附近取值的概率就越大；也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率在该点的密集程度。

概率用一个小区间上的面积值表示。

f(x)xo【例3】设随机变量X的概率密度函数为求X的分布函数F(x)。

f(x)

0

2

1【解】X的分布函数为练习：1、设连续型随机变量X的分布函数为求：（1）常数C值；（2）X取值于（0.3，0.7）内的概率；（3）X的密度函数的表达式。

2、靶子是半径为1米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。2.4.2连续型随机变量的常见分布（1）均匀分布如果随机变量X的概率密度为2）均匀的分布函数为：则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X～U[a,b]特点：1）服从均匀分布的随机变量，在区间（a,b）中任意等长的子区间内出现的可能性相同，与子区间位置无关。事实上，对起点c任意但长度为l的子区间（c,c+l），若a≤c<c+l≤b，则【例4】某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上候车的乘客全部运走。设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

【解】：设乘客到达汽车站的时刻为X，他到站后的第一辆公共汽车到站时刻为t0

，则前一辆车离去的时刻为t0−5。据题意，X服从[t0−5,t0]上的均匀分布，其密度函数为

乘客候车时间不超过3分钟的概率，即为X落在区间内的概率

说明：均匀分布在实际中经常用到。比如：一个半径为r的汽车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的部分与地面摩擦会有一定的磨损。轮胎的圆周长为2r，则刹车时与地面接触的点的位置X应服从[0,2r]上的均匀分布，即X～Ｕ[0,2r]

，即在[0,2r]

上任一等长的小区间上发生磨损的可能性是相同的。

报废轮胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白均匀分布的含义。（2）指数分布如果随机变量X的概率密度为2）指数分布的分布函数为：其中θ

>0为常数，则称X在服从参数为θ的指数分布。记为X～E(θ)。特点：1）无记忆性——对任意的s，t>0，有（p.46）【例5】设某电子原件的寿命X（单位：年）服从参数为1/3的指数分布：（1）求该电子原件寿命超过2年的概率：（2）若该电子原件已使用了1.5年以上，问还能使用两年以上的概率为多少？

【解】（1）（2）（3）正态分布如果随机变量X的概率密度为2）单调性与最大值——由于其中μ和σ为常数，且σ

>0。则称X在服从参数为μ和σ的正态分布（或高斯分布）。记为X～N(μ,σ2)。特点：

1）对称性——正态分布的概率密度函数f(x)关于x=μ对称，所以对任意h，有

所以f(x)在(−∞，μ

]上单调增加，在[μ，∞）上单调减小，在x=μ处取得最大值3）拐点

由于

所以f(x)在x=μ±σ处为拐点，以Ox轴为渐进线（x=→±∞时，f(x)→0）。4）位置与形状正态分布曲线f(x)的位置由μ决定，形状由σ决定，所以两个参数分别称为位置参数和形状参数。5）标准正态分布标准正态分布X～N(0,1)

：μ=0、σ=1时的正态分布μ1μ2f(x)xf(x)xσ=2σ=0.5σ=1

标准正态分布：X~N(0,1)即当=0，=1时的正态分布。密度函数分布函数I.II.III.IV.可查标准正态分布表计算概率（P.382)例：设X～N(0,1),计算P{X≤2.35}；P{−1.64≤X＜0.82}；P{|X|≤1.54}；P{|X|≥1.54}

P{X≤2.35}=Φ(2.35)=0.9906

P{−1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)−Φ(−1.64)=Φ(0.82)−[1−Φ(1.64)]=0.7434

P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)−Φ(−1.54)=2Φ(1.54)−1=0.8764

P{|X|≥1.54}=1−P{|X|≤1.54}=1−0.8764=0.1236V.上α分位点

对给定的α（0<α<1），满足条件

的点zα，称为标准正态分布的上α分位点。显然VI.3σ准则满足正态分布的随机变量，其几乎全部取值集中在区间，超出该范围的可能性仅占0.26%。

事实上，设X~N(,2)，则

P{|X−

|﹤}=P{

―＜X＜

+}类似可得

9546.01)2(2}2|{|=-=<-smXP9974.01)3(2}3|{|=-=<-smXPf(x)Zαx0面积为αf(x)μ+3σx0面积为0.0013μ【例6】公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设男子身高X～N(170,62)，问车门高度应如何确定?【解】设车门高度为h厘米，按设计要求