概率论与数理统计：第一章 概率论的基本概念4

已知某人的体重是200斤，感觉这个人身高超过180的概率与完全不知道这个人的体重的概率是否相同？掷骸子时，点数是4的概率在下面两种情况下是否相同：对掷出的骸子的点数完全没有任何信息已知掷出的骸子的点数是偶数1.5条件概率1.5.0引言：有、无条件时，事件发生的可能性一般不同

投骰子试验E。样本空间：S＝{1，2，3，4，5，6}；事件A：“出现的点数不超过3”，即A＝{1，2，3}

；事件B：“出现的点数为偶数”，即B＝{2，4，6}。条件概率与无条件概率一般不同！事件A发生的条件下，事件B发生的概率容易验证事件B发生的条件下，事件

A发生的概率条件概率与无条件概率之间存在确定的关系！！1、定义（条件概率）：若A和B

是同一试验的两个事件，且P(A)>0，称

为在事件A发生的条件下，事件B

发生的概率。可以验证，条件概率满足概率公理化定义中的三个基本条件（非负型、规范性、可列可加性）。

2、性质

条件概率具有与普通概率相对应的性质。如：若B∩C＝Ф，则对任意事件A和B，有等等。1.5.1条件概率与乘法原理

3、乘法原理

定理1（多个事件的乘法原理）：若P(A1A2…An-1)>0，则

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)

P(A3|A1A2)

…P(An

｜A1A2…An-1)【证明】反复应用两个事件的乘法公式，得『解』：设A={贵阳是雨天}，B={花溪是雨天}，则4、例题例1：假设在冬季，贵阳和花溪的下雨天所占比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例占12％。求：

a.贵阳为雨天时，花溪也为雨天的概率；

b.花溪为雨天时，贵阳也为雨天的概率。a.b.例2：设某型号的灯泡寿命达2万小时的概率为80％，达2.5万小时的概率为50％。现有一只该型号的灯泡，已用了2万小时，问还能用0.5万小时的概率。显然，A与B之间有如下关系所以因此『解』：设A={能用2万小时}，B={能用2.5万小时}，则『解』：将外形相同的n个标签让n个人依次抽取，事先将足球票放在某标签中。记Ai={第i人抽到足球票}，则例3：今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是1/n。所以『解』：设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}（其中i=1，2，3），则有A=A1A2A3。由题意得例4：

一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球观察颜色后放回，并再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率。所以

1.5.2全概率公式与贝叶斯公式1、基本思想(1)全概率公式

(2)贝叶斯公式将事件B的概率分解计算。

事件B发生后，反向计算引起B事件发生的“原因”的概率。A1A2A3An……BS2、全概率公式(1)样本空间的划分

(2)全概率公式定义：设事件Ａ1，Ａ2，…

，Ａn为样本空间S的一组事件。若满足则Ａ1，Ａ2，…

，Ａn为样本空间S的一个划分。a.不相容性

AiAj=

（i≠j，i，j

＝1，2，…，n

）;

b.完备性定理：设S为随机试验E的样本空间，B为E的事件事件，A1，A2，…

，An为样本空间S的一个划分，且P(Ai)>0(i

＝1，2，…，n)。则事件B的概率分解计算公式

BA1A2A3An…S【证明】因为AiAj=

（i≠j），按概率的可加性及乘法公式有所以例5：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球。现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球。求从乙盒取出2个红球的概率。『解』：设A1＝“从甲盒取出２个红球”；A2＝“从甲盒取出２个白球”；

A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球”；B=“从乙盒取出２个红球”；则A1,A2,A3

两两互斥，且A1∪A2∪A3＝S,所以

B=SB＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B,

P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

例6：设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球。第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球。求第二次比赛取得3个新球的概率。『解』：

Ai=“第一次比赛恰取出i个新球（i=0,1,2,3)”；B=“第二次比赛取得3个新球”。显然A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：

例7：播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.50、0.15、0.1、0.05。求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

『解』：设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为B1、B2、B3、B4，则它们构成样本空间的一个划分，用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件。

B1B2B3B4A用下面的表格形式表示为：划分块子事件比例P(Bi)P(A|Bi)一等B10.9550.50二等B20.0200.15三等B30.0150.10四等B40.0100.05则由全概率公式得例8：两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍.现任取一零件，问是合格品的概率为多少？『解』：令B=“取到的零件为合格品”；Ai=“零件为第i台机床的产品（i=1,2）”。此时，取到的全部的零件构成样本空间S，A1和A2构成S的一个划分。由全概率公式得:3、贝叶斯公式定理：设S为随机试验E的样本空间，B为E的事件，Ａ1，Ａ2，…

，Ａn为S的一个划分，且P(B)>0，P(Aj)>0

（j=1,2,…，n

）。则P(Aj|B)表示：B事件发生了,反过去寻找第j个子事件Aj对B事件发生的概率贡献。【证明】由条件概率的定义及全概率公式由此直接得到。■贝叶斯公式的两个特例：例9：假设在雨季，贵阳地区每天下雨和不下雨的概率分别为0.6和0.4，贵州气象台对下雨和不下雨的预报正确率分别为0.9和0.8。若某日预报次日下雨，则第二天确实下雨的概率为多大？『解』：设B={下雨}，A={预报下雨}。显然，欲求P(B|A)，且已知所以例10：检测概率和虚警率是预警雷达系统的两个重要性能指标。检测概率定义为目标出现并作出正确检测的概率，虚警率定义为目标未出现但错判决为出现的概率。设战时目标出现和不出现的概率分别为0.6和0.4，某预警雷达的检测概率和虚警率分别为0.9和0.02。若突然警报拉响，则果然出现目标的概率为多大？提示：与上例相似，故作为练习。『解』：设B={有目标}，A={检测到目标}。欲求P(B|A)，且已知所以例11：某医院对某种疾病用一种看起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为0.4%。现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？得到由贝叶斯公式得『解』：记B为检验结果是阳性，则为检验结果是阴性

A表示患有该病，则为未患该病．(构成划分)

例12：对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件品是合格时，机器调整得良好的概率。『解』：设A1=机器调整良好,A2=机器调整不好(构成划分)；

B=产品合格。已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25；P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.3。需要求的概率为P(A1

|B)。由贝叶斯公式P(A1),

P(A2)通常称为先验概率。

P(A1|B),

P(A2|B)通常称为后验概率(概率修正)。例13：对某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间的次品率分别为0.03和0.02，生产出来的产品放在一起，且已知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求：（1）该厂产品的合格率；（2）如果任取一件产品，经检验是次品，求它源于甲车间的概率。

『解』：设

A

表示“取出的产品是甲车间生产的”，B表示“取出的产品是次品”。则

蒙提霍尔(MontyHall)问题蒙提霍尔问题亦称为三门问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，出自美国的电视游戏节目Let‘sMakeaDeal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（MontyHall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：参赛者换另一扇门会否增加赢得汽车的机会率？前提条件是主持人清楚地知道哪扇门后是羊。MontyHall问题不含糊的表述现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。主持人知道每扇门后面有什么。如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。问：转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？MontyHall问题不含糊的陈述解法一：

问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。“参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败”，和“参赛者挑汽车，主持人挑羊二号。转换将失败。”此情况的可能性为：MontyHall问题不含糊的陈述另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。严格的数学解如果选择一个门之后不再转换，则赢的概率是1/3如果有转换选择，则变成一个条件概率问题。假设车在一号门里，定义事件Ci={参与者打开第i扇门}，Mj={Monty打开第j扇门}。则联合概率为P[最后