课堂学案配套课件-第四章4

明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04理解直线与圆的位置关系的几何性质；会建立平面直角坐标系利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；会用“数形结合”的数学思想解决问题.明目标、知重点填要点·记疑点1.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：平面直角坐标系几何元素代数几何结论2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.探要点·究所然情境导学直线与圆的方程的应用非常广泛,对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题,可以建立直角坐标系,通过直线与圆的方程,将其转化为代数问题来解决.本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.探究点一直线与圆的方程的应用例1

如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20m,拱高OP＝4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01

m).解

建立

的直角坐标系,使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.

下面确定b和r的值.因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是,得到方程组02＋4－b2＝r2，10

＋0－b

＝r2

2

2解得b＝－10.5,r2＝14.52.所以,圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程,得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52,即

y＋10.5＝

14.52－－22(P2

的纵坐标

y＞0,平方根取正值).所以

y＝

14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m).答

支柱A2P2的高度约为3.86

m.与感悟

解决直线与圆的实际应用题的步骤为：(1)审题：从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知；

(2)建系：建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.训练1

某圆拱桥的水面跨度20

m,拱高4

m.现有一船,宽10

m,水面以上高3

m,这条船能否从桥下通过？解

建立

的坐标系.依题意,有A(－10,0),B(10,0),P(0,4),D(－5,0),E(5,0).设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2,a＋102＋b2＝r2，2

2

2于是有a－10

＋b

＝r

，a2＋b－42＝r2.解此方程组,得a＝0,b＝－10.5,r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2

＋(y

＋10.5)2

＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝－5代入上式,得y≈3.1.由于船在水面以上高3

m,3＜3.1,所以该船可以从桥下通过.探究点二

坐标法证明几何问题例2

已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明

如图,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA,DB所在直线分别为x轴,y轴,建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.O′得

x

＝xM＝

,yO′＝yN＝由线段的中点坐标公式,a＋c

b＋d2

2,xE＝a

yE＝d2,

2.所以|O′E|＝a＋c－a2＋b＋d－d2＝12

2

2

2

2

2

2b2＋c2.又|BC|＝

b2＋c2,所以|O′E|＝1

BC|.2|与感悟

用坐标方法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.训练2

如图,直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.证明

如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(－m,0),C(m,0),P(－n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2＋y2＝m2上.|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).探究点三直线与圆位置关系的应用例3

一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处,受影响的范围是半径长为20

km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北30km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？解

建立

的直角坐标系,取10km为单位长度,由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0),(0,3),6

3所以轮船航线所在直线方程为x＋y＝1,即x＋2y－6＝0,台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.由点到直线的距离公式,得圆心到直线的距离|－6|12＋22d＝

＝65>2.所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离,因此这艘轮船即使不改变航线,那么它也不会受到台风的影响.与感悟针对这种类型的题目,即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题,关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题,最后再还原为实际问题.训练3

设半径为3

km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,A向东,B向北,A出村后改变前进方向,斜着沿切于村落圆周的方向前进,后来恰好与B相遇,设A、B两人的速度一定,其比为3∶1,问A、B两人在何处相遇？解由题意以村中心为原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,建立直角坐标系,如图,设A、B两人的速度分别为3v

km/h,v

km/h,设A出发a

h,在P处改变方向,又经过b

h到达相遇点Q,则P(3av,0),Q(0,(a＋b)v),则|PQ|＝3bv,|OP|＝3av,|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中,|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.0－va＋b3av－03kPQ＝

,∴kPQ＝－4.4设直线

PQ

的方程为

y＝－3

＋m,x由PQ与圆x2＋y2＝9相切,42＋324|－4m|得 ＝3,解得

m＝15,4故

A、B两人相遇在正北方离村落中心15

km

处.当堂测·查疑缺1

2

3

41.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(

)A.5

2B.10

2D.20

2C.15

2解析

圆的方程化为(x－1)2＋(y－3)2＝10,设圆心为G,

G(1,3),最长弦AC为过E的直径,1

2

3

4则|AC|＝2

10,最短弦BD为与GE垂直的弦,

,易得|BG|＝

10,|EG|＝

0－12＋1－32＝

5,|BD|＝2|BE|＝2

|BG|2－|EG|2＝2

5.所以四边形ABCD

的面积答案

B22.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是

.1

2

3

4解析

,在

Rt△OO1A

中,OA＝

5,O1A＝2

5,∴OO1＝5,1

2

3

4∴AC＝

5×2

5＝2,5∴AB＝4.答案

41

2

3

43.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD

的面积为20

6

.1

2

3

44.已知集合A＝{(x,y)|x－y＋m≥0},集合B＝{(x,y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝∅,则实数m的取值范围是

.解析

如图,A＝{(x,y)|x－y＋m≥0}表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域,B＝{(x,y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其,即1

2

3

4要使A∩B＝∅,则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方,|0－0＋m|2>1,故

m<－

2.答案

m<－

2呈重点、现规律