《实际问题与一元二次方程》名师教案 市赛获奖

PAGE37实际问题与一元二次方程销售及百分数问题（胡雯雯）一、教学目标（一）核心素养通过生活学习数学，通过观察、思考、交流，进一步提高逻辑思维和解决问题的能力，培养学生数学建模的能力（二）学习目标1使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题2学会理清经济问题中各种数量之间的关系，寻找等量关系3培养学生的阅读能力（三）学习重点建立数学模型，找等量关系，列方程（四）学习难点找等量关系，列方程

二、教学设计（一）课前设计预习任务利润=售价－进价利润率=总利润=（售价－进价）×销量总利润=总收入－总支出预习自测1．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株小明的解法如下：设每盆花苗增加株，可列一元二次方程为．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设每盆应该多植株，由题意得（3）（3﹣）=10，【思路点拨】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有（3）株，得出平均单株盈利为（3﹣）元，由题意得（3）（3﹣）=10即可．【答案】（3）（3﹣）=10．2．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，市场调查反映，如果每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件，为了使每星期的利润为1560元．若设每件涨价元（为非负整数），可列方程；若设每件售价元（为非负整数），可列方程．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：若设每件涨价元（为非负整数），可列方程（40﹣30）（150﹣10）=1560；若设每件售价元（为非负整数），可列方程（﹣30）[150﹣10（﹣40）]=1560；【思路点拨】若每件涨价元或每件售价元，根据一星期利润等于每件的利润×销售量分别得到：（40﹣30）（150﹣10）=1560或（﹣30）[150﹣10（﹣40）]=1560．【答案】（40﹣30）（150﹣10）=1560，（﹣30）[150﹣10（﹣40）]=1560．3某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000g根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，若假设南瓜亩产量的增长率为，今年南瓜的总产量为60000g，南瓜亩产量的增长率是【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：今年的亩产量为2000（1）g，种植面积为10（12）亩故有2000（1）·10（12）=60000解得1=，2=-2（不合题意，舍去）答：南瓜亩产量的增长率为50%【思路点拨】南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为2，今年种植南瓜10（12）亩，今年的亩产量为2000（1）g根据亩产量×亩数=总产量的关系可列方程求解【答案】南瓜亩产量的增长率为50%4．某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，要想获得8000元的月利润，应该涨价多少元为了帮助同学们解题，设计了下面的填空，请你完成：解：设涨价元，则月销售量减少千克，月销售量为千克，此时每千克利润为元，月利润为元，可列方程，解得．答：要想获得8000元的月利润，应该涨价．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设涨价元，则月销售量减少10千克，月销售量为（500﹣10）千克，此时每千克利润为（10）元，月利润为8000元，可列方程：（10）（500﹣10）=8000，解得：1=10，2=30．【思路点拨】设涨价元，则月销售量减少10千克，月销售量为（500﹣10）千克，根据月利润为8000元，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论．答：要想获得8000元的月利润，应该涨价10或30元．【答案】10；（500﹣10）；（10）；8000；（10）（500﹣10）=8000；1=10，2=30；10或30元．

二课堂设计1知识回顾（1）列方程解应用问题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答（2）经济问题中的各个计算公式：利润=售价－进价利润率=总利润=（售价－进价）×销量，或总利润=总收入－总支出问题探究探究一销售问题（★▲）活动①师生共研例1某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元提出问题，教师引导学生探究抢答，完成下列问题：（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为元．（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件．（用含的代数式进行表示）（3）等量关系是．生答：（1）900；（2）45-，204；（3）每件衬衫的利润×每天的销量=2100元思考：如何列出方程求解生答：由题意得：（45－）（20＋4）=2100，解得：1=10，2=30．因尽快减少库存，故=30．答：每件衬衫应降价30元．教师点拨：（1）利用销量20×每件的利润即可；（2）每件的盈利=原利润－降价；销量=原销量＋多售的数量；（3）商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利－降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．【设计意图】学会用代数式表示数量，再摸清经济问题中的等量关系，抓住单件利润×销量=总利润，列方程解决实际问题活动②团队协作，创新突破例年在广州举行的亚运会前夕，某商场在销售中发现：亚运会吉祥物“乐洋洋”平均每天可售出20套，每套盈利45元．为了迎接亚运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套．（1）如果每套降价5元，商场每天在销售吉祥物上盈利多少元（2）若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1500元，那么每套应降价多少元让学生充分讨论，然后得出其解【思路点拨】（1）根据利润=售价﹣进价，且每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，可列式求解．（2）由题意，如果每套降价5元，那么平均每天就可多售出10套，设每套应降价元，则每天可多卖出2套，（是5的倍数）若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1500元，可列方程求解．解：（1）商场每天在销售吉祥物上盈利是：（45﹣5）×（2022）=1200元（2）设每套应降价元（是5的整数倍），依题意得：（45﹣）（202）=1500整理得：2﹣35300=0解得：1=15，2=20∵尽快减少库存且是5的倍数，∴=20答：若要想平均每天在销售吉祥物上盈利1500元，那么每套应降价20元．【设计意图】在活动①的基础上，将数量的逐一变化提升为了非逐一变化，训练学生的转化意识探究二百分数应用问题★▲活动①师生共研例3某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．提出问题，教师引导学生探究1找出不等关系:生答：枇杷产量小于等于樱桃产量的7倍师问：如何列出不等式求解【思路点拨】利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的产量，进而得出不等式求出答案；生答：设该果农今年收获樱桃千克，根据题意得：400－≤7，解得：≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）用代数式表示下列数量：①若该果农今年收获樱桃千克，则收获枇杷千克②填表去年今年市场销售量销售均价市场销售量销售均价樱桃100g30元/g枇杷200g20元/g③等量关系是生答：①400-②100（1－m%）；30元/g200×（1＋2m%）；20（1－m%）③今年樱桃销售金额今年枇杷销售金额=去年樱桃和枇杷的市场销售总金额师问：怎样列出方程求解思路点拨：根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．生答：由题意可得：100（1－m%）×30＋200×（1＋2m%）×20（1－m%）=100×30＋200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1－y）＋4000（1＋2y）（1－y）=7000，整理可得：8y2－y=0解得：y1=0，y2=∴m1=0（舍去），m2=∴m=，答：m的值为．【设计意图】学会先用代数式表示出实际问题中的各个数量，再寻找等量关系列方程解决实际问题活动2团队协作，创新突破例4每年春节是市民购买葡萄酒的高峰期，某商场分两批购进同一种葡萄酒，第一批所用资金是8000元，第二批所用资金是10000元．第二批葡萄酒每瓶比第一批葡萄酒每瓶贵90元，结果购买数量比第一批少20%．（1）求该商场两次共购进多少瓶葡萄酒．（2）第一批葡萄酒的售价是每瓶200元，很快售完，但因为进价的提高第二批葡萄酒的售价在第一批基础上提高了2a%，实际售卖对比第一批少卖a%，结果两次销售共赚得利润3200元，求a（其中a＞25）．让学生充分讨论，然后得出其解【知识点】一元二次方程的应用【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的关于a的方程，从而可以求得a的值．【解题过程】解：（1）设第一批购买了瓶葡萄酒，，解得，=50，经检验=50是原分式方程的解，∴（1﹣20%）=50（1﹣20%）=40，∴该商场两次共购进葡萄酒的瓶数是：5040=90，即该商场两次共购进90瓶葡萄酒；（2）由题意可得，（200﹣）×50[200（12a%）﹣]×50（1﹣a%）=3200，解得，a1=，a2=20（舍去），即a的值是．【设计意图】学会先用代数式表示出实际问题中的各个数量，再寻找等量关系列方程解决实际问题探究三销售问题和百分数问题的训练★▲活动1基础型例题例1百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设每件童装降价元，则（40－）（20＋2）=1200即：2－30＋200=0∴1=10，2=20∵要扩大销售量，减少库存∴舍去1=10答：每件童装应降价20元．【思路点拨】设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出2元，现在一天可售出（20＋2）件，每件盈利（40－）元．根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×每件的利润=1200元，即可列出方程．【答案】每件童装应降价20元．练习：某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价元．【知识点】一元二次方程的应用．【解题过程】解：设每千克水果应涨价元，则每天可售出（500﹣20）千克，每千克盈利（10）元，依题意得方程：（500﹣20）（10）=6000，整理，得2﹣1550=0，解这个方程，得1=5，2=10，要使顾客得到实惠，应取=5，即每千克水果应涨价5元．【思路点拨】设每千克水果应涨价元，得出日销售量将减少20千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．【答案】5【设计意图】在探究二的基础上，进一步加强对百分数问题的理解与掌握活动2提升型例题种水果共400箱．其中A、B两种水果的数量比为5：3．已知A种水果的售价是B种水果售价的2倍少10元，预计当月即可全部售完．（1）该水果商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱A水果至少卖多少元（2）若A、B两种水果在（1）的条件下均以最低价格销售，但在实际销售中，受市场影响，A水果的销量还是下降了a%，售价下降了a%；B水果的销量下降了a%，但售价不变．结果A、B两种水果的销售总额相等．求a的值．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设每箱B水果卖元，则A水果每箱卖（2－10）元，根据题意，得：400××（2－10）＋400×－22000≥8000，解得：≥50，2－10=100－10=90．则A水果每箱至少卖90元，B水果每箱至少卖50元；（2）根据题意，得：400××（1－a%）×90（1－a%）=400××（1－a%）×50解得：a%=，则a=50．故a的值为50．【思路点拨】（1）设每箱B水果卖元，则A水果每箱卖（2－10）元，根据“A、B两种水果的总销售额－总成本≥8000”列不等式求解可得；（2）根据“A水果下降后的销量×下降后的售价=B水果下降后的销量×售价”列出方程求解可得．【答案】（1）A水果每箱至少卖90元，B水果每箱至少卖50元；（2）a=50．练习：今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价格齐跌态势．数据显示，2022年前两个月，鲁能地产开发公司开发的鲁能星城13街区的销售面积一共8000平方米，其中1月份的销售面积不多于总面积的40%．（1）求鲁能地产开发公司开发的鲁能星城13街区2022年2月份最少销售了多少平方米（2）鲁能地产前两月每平方米的售价为8000元，为了解资金链问题，公司决定从3月份开始，以降价促销的方式回笼资金．根据数据调查显示，每平方米销售单价下调a%，3月份销售面积将会在2月份最少销售面积的基础上增加（a10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用【解题过程】解：（1）设2月份的销售面积为m2，则8000﹣≤8000×40%，解得：≥4800，答：鲁能地产开发公司开发的鲁能星城13街区2022年2月份最少销售了4800m2．（2）由题意可得：8000（1﹣a%）×4800[1（a10）%]=令t=a%，则整理为：10t2t﹣2=0，解得：t=或t=﹣故a=40或a=﹣50（不符合题意，舍去）答：a的值为40．【思路点拨】（1）设1月份的销售面积为m2，根据“1月份的销售面积不多于总面积的40%”列出不等式求解；（2）根据“与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a10）%，结果3月份总销售额为3456万元”找到等量关系列出方程即可．【答案】2022年2月份最少销售了4800m2．a的值为40．【设计意图】加强对百分数问题的列式和计算的能力活动3探究型例题例3：第31届夏季奥林匹克运动会于2022年8月5日在巴西里约热内卢举行，里约热内卢成为奥运史上首个主办奥运会的南美洲城市，某经销商抓住商机在今年6月底购进了一批奥运吉祥物1160件，预计在7月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价元，销售量就减少2件．（1）求该经销商在7月份的销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元（2）由于销量好，8月份该吉祥物进价比6月底的进价每件增加20%，该经销商增加了进货量，并加强了宣传力度，结果8月份的销售量比7月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比7月份在（1）的条件下的最高售价减少m%，结果8月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．【知识点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用【解题过程】解：（1）设售价应为元，依题意有1160﹣≥1100，解得：≤15．答：售价应不高于15元．（2）8月份的进价：10×（120%）=12（元），由题意得：1100（1m%）[15（1﹣m%）﹣12]=3388，设m%=t，化简得50t2﹣25t2=0，解得：t1=，t2=，所以m1=40，m2=10，因为m＞10，所以m=40．答：m的值为40．【思路点拨】（1）设售价应为元，根据不等关系：在7月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；（2）先求出8月份的进价，再根据等量关系：8月份利润达到3388元，列出方程求解即可．【答案】售价应不高于15元．m的值为40．练习：区政府决定从2022年11月起到2022年底，两年时间创建成为国家卫生城区，辖区内企业的污水处理通常有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理，某企业每月的污水量均为2500吨，数量巨大需要两种处理方式同时进行．由于企业自身设备老化等问题，2022年每月自身处理污水量y（吨）与月份（取整数）之间满足的函数关系式为y=2500﹣100，该企业自身处理每吨污水的成本为4元，其余部分由污水厂统一处理，污水厂收取企业每吨污水处理费10元（1）该企业2022年哪几个月用于污水处理的费用不超过12000元（2）2022年以来，由于该企业自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后2022年每月的污水量都将在2022年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在每吨4元的基础上增加5（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助，若该企业每月的污水处理费用为元，请计算出a的值．【知识点】一元二次方程的应用；解一元一次不等式．【解题过程】解：（1）根据题意得：4（2500﹣100）10[2500﹣（2500﹣100）]≤12000，整理得：60010000≤12000，解得：≤，∵为正整数，∴=1、2、3．∴该企业2022年一、二、三月用于污水处理的费用不超过12000元．（2）根据题意得：2500（1a%）×4[15（a﹣30）%]=×2，整理得：a290a﹣4375=0，解得：a=35或a=﹣125（舍去）．答：若该企业每月的污水处理费用为元，a的值为35．【思路点拨】（1）根据污水处理总费用=4×企业自身处理污水吨数10×污水厂处理污水吨数，结合总费用不超过12000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据为正整数即可得出结论；（2）根据污水处理费用=处理每吨污水的费用×污水总量即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【答案】该企业2022年一、二、三月用于污水处理的费用不超过12000元．a的值为35．【设计意图】进一步提高解决百分数问题的能力3课堂总结知识梳理通过抓住经济问题中各个数量之间的关系，寻找等量关系；利润=售价－进价利润率=总利润=（售价－进价）×销量或总利润=总收入－总支出（2）培养在文字中提取信息的能力重难点归纳（1）本节课主要内容是一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解；（2）经济问题中各个数量间的关系；（3）最后的结果要符合实际情况

（三）课后作业基础型自主突破1一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（）元．A．4 B．6 C．4或6 D．5【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设工艺品需降价元，（135－）（100＋4）－100（100＋4）=35962－10＋24=0=4或=6．因为要使顾客尽量得到优惠，所以=4（舍去）．【思路点拨】设工艺品需降价元，那么就多卖出4件，根据每天获得利润为3596元，可列方程求解．【答案】B．2某果园有10棵树，平均每棵桃树结100个桃子，现准备多重一些桃树一提高产量，讨论发现，每多种一棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个，要使总产量增加80%，应多种多少棵桃树设多种棵桃树，则根据题意列出的方程是．解方程可知，应多种棵桃树．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设多种棵树，则（10＋）（100－2）=10×100×（1＋80%），整理，得：2－40＋400=0，解得1=2=20．故应多种20棵桃树，【思路点拨】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种棵树每棵桃树的产量就会减少2个（即是平均产100－2个），桃树的总共有10＋棵，所以总产量是（10＋）（100－2）个．要使产量增加80%，达到10×100×（1＋80%）个．【答案】（10＋）（100－2）=10×100×（1＋80%），20．3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了促进销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当地降价，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天多销售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（）元．A．10 B．20 C．10或20 D．无法确定【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设每件衬衫应降价元，根据题意得出：（20＋2）（40－）=1200解得：=10或=20，∵扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，∴取20．答：每件衬衫降价20元【思路点拨】由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价元后每天可以售出：20＋2，此时每件盈利：40－元，每天盈利：（20＋2）（40－）=1200（元），即可得出答案．【答案】B．4某商店从厂家以每件21元的价格购回一批商品，该商店可自行定价．若每件商品售价为a元，则可卖出（350－10a）件，但物价部门限定是每件商品加价不能超过进价的40%．如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为元．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设利润为y，则y=（a－21）（350－10a）=－10a2＋560a－7350配方整理得：=－10（a－28）2＋409，当a=28时，y取最大值，但物价局限定每件商品加价不超过进价的40%，∴a≤21（1＋40%），即a≤，∴a=28元，即每件商品的售价为28元．【思路点拨】根据进价、售价以及数量可列出利润与售价之间的关系式．根据每件商品加价不能超过进价的40%，从而求出定价的整数值．【答案】285某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，月销售量将减少400千克．现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设每千克应涨价元，依题意得方程：（5000－400×）（1＋）=5060，整理，得2022－50＋3=0，解这个方程，得1=，2=．又要价格尽可能的低，应取=．答：每千克应涨价元．【思路点拨】设每千克应涨价元，得出月销售量将减少400×千克，再由盈利额=每千克盈利×月销售量，依题意得方程求解即可．【答案】元6某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设每件童装应降价元，由题意得：（40－）（20＋2）=1200，解得：=10或=20．因为减少库存，所以应该降价20元．【思路点拨】设每件童装应降价元，那么就多卖出2件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．【答案】20元

能力型师生共研7某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设每张贺年卡应降价元，现在的利润是（－）元，则商城多售出100÷=1000张．（－）（500＋1000）=120，解得1=－（降价不能为负数，不合题意，舍去），2=．答：每张贺年卡应降价元．【思路点拨】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利－降价的价格）×（原来售出的张数＋增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．【答案】元，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润（毛利润=销售额－费用）

【知识点】一元二次方程的应用一次函数的应用【解题过程】解：设年产量为t吨，费用为y（万元），每吨销售价为（万元），则0≤t≤1000，由图（1）可求得y=10t，由图（2）求得=t＋30．设毛利润为w（万元），则w=t－y=t（t＋30）－10t=t2＋20t．∴t2＋20t=7500，∴t2－2000t＋750000=0，解得t1=500，t2=1500（不合题意，舍去）．故年产量是500吨时，当年可获得7500万元毛利润．【思路点拨】首先根据图象（1）（2）分别写出生产费用与年产量、每吨销售价与年销售量的函数关系式，然后根据销售额－生产费用=毛利润7500万元，列出方程，求解即可．【答案】年产量是500吨时，当年可获得7500万元毛利润．

探究型多维突破9杭州湾跨海大桥通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车【知识点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．【解题过程】解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米，由题意得，解得=180．∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．（2）×18028×2=380（元），∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．（3）设这批货物有y车，由题意得y[800﹣20×（y﹣1）]380y=8320，整理得y2﹣60y416=0，解得y1=8，y2=52（不合题意，舍去），∴这批货物有8车．【思路点拨】（1）设路程，根据速度不变列方程求解；（2）结合（1）中的结果，列算式运输费用=运输成本时间成本求解；（3）设这批货物有y车．根据总费用=运到宁波港的费用再运到B地的费用列方程求解．【答案】（1）A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米；（2）该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元；（3）这批货物有8车．10一玩具城今年8月底购进了一批玩具1240件，在9月份进行试销．购进价格为每件20元．试销发现售价为24元/件，则可全部售出．若每涨价元．销售量就减少4件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1200件，则销售单价应最高为多少元（2）由于该玩具畅销，10月份该玩具进价比8月底的进价每件增加15%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了a%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少．结果10月份利润达到6720元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用一元一次不等式的应用【解题过程】解：（1）设售价应为元，依题意有1240－×4≥1200，解得：≤29．答：售价应不高于29元；（2）10月份的进价：20（1＋15%）=23（元），由题意得：1200（1＋a%）[29（1－）－23]=6720，设a%=t，化简得25t2－5t－2=0，解得：t1=，t2=－（不合题意舍去），所以a=40．答：a的值为40．【思路点拨】（1）设售价应为元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1200件，列出不等式求解即可；（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到6720元，列出方程求解即可．【答案】（1）售价应不高于29元；（2）a的值为40．

自助餐1西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．或 B． C． D．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元．根据题意，得（3－2－）（200＋）－24=200．解这个方程，得1=，2=．∵200＋＞200＋，∴应将每千克小型西瓜的售价降低元．【思路点拨】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．那么每千克的利润为：（3－2－），由于这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克．所以降价元，则每天售出数量为：200＋千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量－固定成本=200．【答案】C．2某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，每件商品应降价（）元．A．3 B． C．2 D．5【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设应降价元，根据题意得：（300＋20）（60－40－）=6125，解得：1=2=，则每件商品应降价元；【思路点拨】设应降价元，根据每降价1元，每星期可多卖出20件，利润为6125元列出方程，求出的值即可．【答案】B．3商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价元时，商场日盈利可达到2100元．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：∵降价1元，可多售出2件，降价元，可多售出2件，单件盈利的钱数=50－，由题意得：（50－）（30＋2）=2100，化简得：2－35＋300=0，解得：1=15，2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选=20，【思路点拨】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．【答案】20．4某商店将进价为8元的商品