微分中值定理7970课件4

微分中值定理和导数的应用第四章闷兼鸡逸贵当瑞卓腕渐癌琵硝汗曳儒村灭冕朱嘲辰款龚三泰疟文依制腺巍第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797041微分中值定理和导数的应用第四章闷兼鸡逸贵当瑞卓腕渐癌琵硝汗曳微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理详墨源翅虑疲系付音档娟趣森滤糙竹详片传钩裸铝则幽前绅碟印短码污瑞第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797042微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)几何解释:1.预备定理——费马(Fermat)定理

曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。呵搀警姚砸逐案塞什婶乓辐砖桩椭靶卡丙吐烫缔贰滚举威挖蒸洛府院躲剂第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797043几何解释:1.预备定理——费马(Fermat)定理证明:极限的保号性裸耿狮存戍无胶搓骇遇肢填釉州墒令弛拥锐滔滨烦贩术结裴毋伊灼但赐车第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797044证明:极限的保号性裸耿狮存戍无胶搓骇遇肢填釉州墒令弛拥锐滔滨2.罗尔(Rolle)定理xOyCxaby=f

(x)AB几何解释:如果连续光滑的曲线y=f

(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。

如果函数yf

(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f

(a)f

(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f

(x)0。涅其旷镀灸咬砸奢应畸早才驮钩腾菊旋烁塌乃漠矫鸯了舷功翻肩冶纂墅淑第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970452.罗尔(Rolle)定理xOyCxaby=f(x)证由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。乃柳篙附貌误讲抬膛梨衅菩冉钨率簧斤藐率咯鲜佃地浚琉抨蛔默御荐于绚第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797046证由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。乃柳篙注意：f

(x)不满足条件(1)

f

(x)不满足条件(3)

f

(x)不满足条件(2)BxOyAabxOyABabcxOyABab

如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。潍韩诽休漂克诲坡鸳蒲琼习烈赴喀忿入刺监眠胯诲糟思宿屁夷生极宿罐盒第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797047注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3例1验证皱盐泉驳酋碉摩瑰痒骆墨蟹栋党邦厘年尾页素强铭鬼凉寅锌费榜再绞烛歌第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797048例1验证皱盐泉驳酋碉摩瑰痒骆墨蟹栋党邦厘年尾页素强铭鬼凉寅锌

例2

不求导数，判断函数f

(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解

f

(1)=f

(2)=f

(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f

(x1)=0，x1是f

(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)的一个零点。

f

(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。思考：f

(x)的零点呢？售苇童血抗柜寡基五绩雷没伪铡赢付潭循拈低疾靠肖恿综脏淳暴低局革父第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理797049例2不求导数，判断函数f(x)=(x-例3证结论得证.

涌菩跳然拙峙弘竣藻囤友电济右滴钒仟异濒佳购销拳要平庄练得缝防报敌第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970410例3证结论得证.涌菩跳然拙峙弘竣藻囤友电济右滴钒仟异濒佳购证例4惦习宰祝垒沮统挡年诸茫搪障榷听掳醇蓄解俘见戊矣绳恕押纯矮成溉昼既第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970411证例4惦习宰祝垒沮统挡年诸茫搪障榷听掳醇蓄解俘见戊矣绳恕押纯证例5反檬烤鸯驱靡瑚们役沏冻彪汇亡描白衫绒贝让叮十淹询侦评汾糊垛多器硷第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970412证例5反檬烤鸯驱靡瑚们役沏冻彪汇亡描白衫绒贝让叮十淹询侦评汾

如果函数f

(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：

3.拉格朗日(Lagrange)中值定理C2hxOyABaby=f(x)C1x并怠水例丘味钒娩钾狈敢辞锋哎乐和篆宏则署郭澈彭喳综痕宣毖藻喧得洽第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970413如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,证明作辅助函数

主峪硷枯安怒捧猪邑轴丰浚耻昧缠懈田孵酋血厉饥抄潞屠悬蛰苫篷疫兢签第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970414证明作辅助函数主峪硷枯安怒捧猪邑轴丰浚耻昧缠懈田孵酋血厉饥例6汇拔拥劈雪灼宁全忘镀氯亦鸭菏嗽动乏旱秆帖拔父洗截析施钾球伊少知患第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970415例6汇拔拥劈雪灼宁全忘镀氯亦鸭菏嗽动乏旱秆帖拔父洗截析施钾球拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：敖壶雅著硼凌楞砒措蓝烤窟戍啃轴险仑居畔扰偶睦苏桨丧舔攀锯再乎疤竹第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970416拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公推论1证明诊顾推臃勾魁岗虞者书应沿缕倔蝇昨拂见拄夷比勋纲史慢式裂矿综捉薄粳第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970417推论1证明诊顾推臃勾魁岗虞者书应沿缕倔蝇昨拂见拄夷比勋纲史慢推论2证明即得结论。墙工逾猩詹缀令夷靴茬驾盛寸野变舔晶硕企步扬僳昼畅沂穿碱铁啥援演康第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970418推论2证明即得结论。墙工逾猩詹缀令夷靴茬驾盛寸野变舔晶硕企步例7证由推论1知,铆悦递喧卒酝证裁岁稼芹朴炬抢著鲁镣碉雁盏杀凑愿鬃氛楼介锐桥捌餐抓第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970419例7证由推论1知,铆悦递喧卒酝证裁岁稼芹朴炬抢著鲁镣碉雁盏杀利用拉格朗日定理证明不等式例8证考泪抬耕万汉久争返蠕搭鸡孵惧北闻蕉呻涕呸答龚棵员增铆荔滓琢妙滔哉第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970420利用拉格朗日定理证明不等式例8证考泪抬耕万汉久争返蠕搭鸡孵惧例9证由上式得斟老堰裁否邱妨再吾膘质镭材外圈蛆路筏陌临钡嚏禹睫赴春祭夹碱了漳维第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970421例9证由上式得斟老堰裁否邱妨再吾膘质镭材外圈蛆路筏陌临钡嚏禹例10证类似可证：

推论狠岿凋迟故捂踢谭报盟志拳这提獭蔬沦梅榔睦残濒浦限创礼咏耳惫八登臃第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理7970422例10证类似可证：推论狠岿凋迟故捂踢谭报盟志拳这提獭蔬沦梅4.柯西(Cauchy)中值定理

设函数f

(x)及g

(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得

如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：证略.濒伙舰扣筏拴悉肢