动能定理课件

第三篇动力学第十四章动能定理引言§14—1力的功§14—2质点和质点系的动能§14—3动能定理§14—4功率·功率方程·机械效率§14—5势力场·势能·机械能守恒定律§14—6普遍定理的综合应用举例第三篇动力学第十四章动能定理引言第十四章动能定理与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。引言动量定理和动量矩定理动能定理矢量标量能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。第十四章动能定理与运动有关的物理量—动能和作用力的物理第十四章动能定理§14—1力的功

力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是代数量。一．常力的功单位：焦耳（Ｊ）；时,正功；时,功为零；时,负功。第十四章动能定理§14—1力的功力的功是第十四章动能定理二．变力的功

元功：在一无限小位移中力作的功。第十四章动能定理二．变力的功元功：在一无限小位移第十四章动能定理力F在曲线路程中作功为（自然形式表达式）（矢量式）（直角坐标表达式）第十四章动能定理力F在曲线路程中作功为（自然第十四章动能定理质点M受n个力作用合力为，则合力FR

的功在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。即三．合力的功第十四章动能定理质点M受n个力第十四章动能定理四．常见力的功

质点系：

质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。质点：重力在三轴上的投影：1．重力的功第十四章动能定理四．常见力的功质点系：第十四章动能定理在弹性极限内，弹性力的大小与其变形量δ成正比，即2．弹性力的功力的方向总是指向自然位置(即弹簧未变形时端点的位置A0)。k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力单位为N/m,N/mm第十四章动能定理在弹性极限内，弹性力的第十四章动能定理以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。令沿矢径方向的单位矢量为ro，弹簧的自然长度为l0，则弹性力F与ro的反向当弹簧伸长时r＞l0F与ro的同向当弹簧压缩时r<l0第十四章动能定理以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度第十四章动能定理点A由Al到A2时，弹性力作功为计算弹性力作功的普遍公式第十四章动能定理点A由Al到A2时，弹性力作功为计算弹第十四章动能定理弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量δ有关，与力作用点A的轨迹形状无关。δ1＞δ2δ1<δ2正功负功弹性力功的大小可由图所示的阴影面积表示两段相同位移内，弹性力作功也是不相等的。第十四章动能定理弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的第十四章动能定理3．定轴转动刚体上作用力的功设在绕z

轴转动的刚体上M点作用有力F当刚体绕定轴转动时，力F的元功为第十四章动能定理3．定轴转动刚体上作用力的功设在绕z第十四章动能定理作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若M=常量,则注意：功的符号的确定。如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直转轴第十四章动能定理作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若第十四章动能定理4．平面运动刚体上力系的功取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi作用点Mi的位移为力Fi在点Mi的位移上所作元功为∵转动位移大小方向第十四章动能定理4．平面运动刚体上力系的功第十四章动能定理力系全部力所作元功之和为其中FR’

为力系主矢，Mc为力系对质心的主矩。平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由

1转到

2角度时，力系作功基点也可以是刚体上任意一点。第十四章动能定理力系全部力所作元功之和为其中FR’第十四章动能定理§14—2质点和质点系的动能一．质点的动能1、瞬时量,与速度方向无关的正标量。2、动能具有与功相同的量纲

dimF=ML2T–2单位也是J。动量与质点速度的一次方成正比，是一个矢量。3、动能和动量都是表征机械运动的量。动能与质点速度的平方成正比，是一个标量；第十四章动能定理§14—2质点和质点系的动能一．质第十四章动能定理二．质点系的动能m1=2m2=4m3绳的质量和变形忽略不计计算质点系的动能不必考虑速度的方向。第十四章动能定理二．质点系的动能m1=2m2=第十四章动能定理三．刚体的动能(1)平动刚体的动能(2)定轴转动刚体的动能绕定轴转动的刚体的动能．等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。第十四章动能定理三．刚体的动能(1)平动刚体的动能(2第十四章动能定理(3)平面运动刚体的动能设图形中的点P是某瞬时的瞬心，刚体质心C。平面运动的刚体的动能为作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。车轮在地面只滚不滑，质量分布在轮缘，轮辐的质量不计。第十四章动能定理(3)平面运动刚体的动能设图形中的点P第十四章动能定理§14—3动能定理1．质点的动能定理∴质点动能定理的微分形式质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。第十四章动能定理§14—3动能定理1．质点的动能定第十四章动能定理质点动能定理的积分形式在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。质点动能增加；力作正功W>0质点动能减小。力作负功W<0第十四章动能定理质点动能定理的积分形式在质点运动的某个第十四章动能定理2．质点系的动能定理对质点系中的一质点mi：对整个质点系，有质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能的改变量．等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。第十四章动能定理2．质点系的动能定理对质点系中的一质点第十四章动能定理3.理想约束①理想约束反力的功2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承1．光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。第十四章动能定理3.理想约束①理想约束反力的功2．第十四章动能定理3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）4．柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。5．刚性二力杆在理想约束条件，质点系动能的改变只与主动力作功有关第十四章动能定理3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）4．柔第十四章动能定理②摩擦力的功FN=常量时,W=–fFNS(1)动滑动摩擦力的功一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦力的功。,与质点的路径有关。第十四章动能定理②摩擦力的功FN=常量时,W第十四章动能定理正压力FN，摩擦力FS

作用于瞬心C处，而瞬心的元位移若M=常量(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶M的功则不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。第十四章动能定理正压力FN，摩擦力FS作用于瞬心第十四章动能定理③质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。第十四章动能定理③质点系内力的功只要A、B两点间距离第十四章动能定理[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)第十四章动能定理[例1]图示系统中,均质圆盘A、B第十四章动能定理解：取系统为研究对象第十四章动能定理解：取系统为研究对象第十四章动能定理上式求导得：第十四章动能定理上式求导得：第十四章动能定理[例2]图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？第十四章动能定理[例2]图示的均质杆OA的质量为30k第十四章动能定理解：研究OA杆由第十四章动能定理解：研究OA杆由第十四章动能定理[例3]行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象第十四章动能定理[例3]行星齿轮传动机构,放在水平面第十四章动能定理根据动能定理，得将上式对t求导数，得第十四章动能定理根据动能定理，得将上式对t求导数，得第十四章动能定理[例4]两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。解：取整个系统为研究对象第十四章动能定理[例4]两根均质直杆组成的机构及尺寸如第十四章动能定理例14—1质量为m的质点，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚性系数为k。求弹簧的最大压缩量。解：取质点为研究对象①质点从位置I落到板上根据动能定理，得第十四章动能定理例14—1质量为m的质点，自高处自第十四章动能定理质点从落到板上到弹簧被压缩到最大值根据动能定理，得②质点从位置I到板上到弹簧被压缩到最大值第十四章动能定理质点从落到板上到弹簧被压缩到最大值根据第十四章动能定理例14—2卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1

，质量为ml

，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2

，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。其中鼓轮对于中心轴O的转动惯量圆柱对于过质心C的轴的转动惯量第十四章动能定理例14—2卷扬机如图所示。鼓轮在常第十四章动能定理根据动能定理，得其中第十四章动能定理根据动能定理，得其中第十四章动能定理例14—3在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物。如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i12=ω1/ω2；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度。解：选取绞车和重物为研究的质点系。重物的静止位置和升高了A的位置作为质点系运动的始点和终点。第十四章动能定理例14—3在绞车的主动轴I上作用一第十四章动能定理根据动能定理，得第十四章动能定理根据动能定理，得第十四章动能定理(a)将式(a)两端对时间间取一阶导数解得第十四章动能定理(a)将式(a)两端对时间间取一阶导数第十四章动能定理应用动能定理解题的步骤：(1)选取某质点系(或质点)作为研究对象(2)选定应用动能定理的一段过程；(5)应用动能定理建立方程，求解未知量。(3)分析质点系的运动，计算在选定的过程起点和终点的动能；(4)分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所作的功，并求它们的代数和；第十四章动能定理应用动能定理解题的步骤：(1)选取某质第十四章动能定理§14—4功率·功率方程·机械效率1．功率力在单位时间内所作的功功率是代数量，并有瞬时性。衡量机器工作能力的一个重要指标作用力的功率力矩的功率功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。第十四章动能定理§14—4功率·功率方程·机械效率第十四章动能定理取质点系动能定理的微分形式2.功率方程两端除以dt，得功率方程即质点系动能对时间的一阶导数．等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。输入功率无用功率（损耗功率）有用功率（输出功率）第十四章动能定理取质点系动能定理的微分形式2.功率方第十四章动能定理系统的输入功率等于有用功率、无用功率和系统动能的变化率的和。P输入-P有用-P无用P输入=

P有用+P无用+分析：起动阶段（加速）：即P输入>

P有用+P无用制动阶段（减速）：即P输入<

P有用+P无用稳定阶段（匀速）：即P输入=

P有用+P无用功率方程第十四章动能定理系统的输入功率等于有用功率、无用功率和第十四章动能定理3．机械效率在工程中，把有效功率(包括克服有用阻力的功率和使系统动能改变的功率)与输入功率的比值称为机器的机械效率，即输入功率其中有效功率=P有用+是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下＜１。第十四章动能定理3．机械效率在工程中，把有效功率(包括第十四章动能定理机器传动部分的机械效率I—II、II—III、III—IV各级的效率分别为η1

、η2、η3，则I—IV的总效率为对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积，即第十四章动能定理机器传动部分的机械效率I—II、II—第十四章动能定理例14—7车床的电动机功率Pλ＝5.4kW。由于传动零件之间的摩擦，损耗功率占输入功率的30％。如工件的直径d＝100mm，转速n＝42r／min，问允许切削力的最大值为多少?若工件的转速改为n’＝112r／min。问允许切削力的最大值为多少?解：车床的输入功率P入=5.4kW无用功率P无用=P入×30%=1.62kW当工件匀速转动时，有用功率为P有用=

P入-P无用=

3.78kW设切削力为F，切削速度为v，则P有用=Fv即第十四章动能定理例14—7车床的电动机功率Pλ＝5第十四章动能定理例14—8带式运送机如图所示。胶带的速度为v＝1m/s，输送量为qm＝2000kg/min，输送高度为h＝5m。胶带传动的机械效率为η1

＝0.6，减速箱的机械效率为η2＝0.4。求电动机的功率。第十四章动能定理例14—8带式运送机如图所示。第十四章动能定理解：设电动机的功率为P，它是运送机的输人功率。运送机的总效率有效的功率第十四章动能定理解：设电动机的功率为P，它是运送机的输第十四章动能定理例14—9在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物。如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比i12=ω1/ω2；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均可不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的加速度。解：选取绞车和重物为研究的质点系。系统动能系统总功率第十四章动能定理例14—9在绞车的主动轴I上作用一第十四章动能定理功率方程第十四章动能定理功率方程第十四章动能定理例14—10物块质量为m，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度系数为k，质量不计。滑轮半径为R，转动惯量为J。不计轴承摩擦，试建立此系统的运动微分方程。解：设弹簧由自然位置拉长任一长度s系统的动能第十四章动能定理例14—10物块质量为m，用不计质第十四章动能定理重力功率弹性力功率功率方程对坐标s的运动微分方程第十四章动能定理重力功率弹性力功率功率方程对坐标s第十四章动能定理设系统静止时弹簧拉长量为δ0以平衡位置为参考点，物体下降s时弹簧伸长量为s=δ0+x对坐标x

的运动微分方程弹簧倾斜角度θ与系统运动微分方程无关。第十四章动能定理设系统静止时弹簧拉长量为δ0以平衡位置第十四章动能定理§14—5势力场·势能·机械能守恒定律

一．势力场

重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。2．势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。第十四章动能定理§14—5势力场·势能·机械能守恒第十四章动能定理二．势能M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。在势力场中,质点从位置M运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M相对于位置M0的势能，用V表示。第十四章动能定理二．势能M0作为基准位置，势能为零，称第十四章动能定理几种常见的势能1.重力场中的势能取M0为零势能点，则质点的势能为对质点系，取各质点的z坐标为z10，z20，…zn0时为零势能位置，则质点系各质点z坐标为z1，z2，…zn时的势能第十四章动能定理几种常见的势能1.重力场中的势能取M0第十四章动能定理2.弹性力场中的势能取M0为零势能点，则质点的势能为取弹簧的自然位置为零势能点第十四章动能定理2.弹性力场中的势能取M0为零势能点第十四章动能定理3.万有引力场中的势能取A0为零势能点，则质点的势能为取零势能点在无穷远处，即r1＝∞，得第十四章动能定理3.万有引力场中的势能取A0为零势能第十四章动能定理有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。在M1位置：M2位置：M1→M2：三．有势力的功第十四章动能定理有势力的功等于质点系在运动的始末位置的第十四章动能定理对非保守系统，设非保守力的功为W12'

,则有四．机械能守恒定律

保守系统设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则—机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和。第十四章动能定理对非保守系统，设非保守力的功为W12'第十四章动能定理[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。初瞬时：由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。第十四章动能定理[例1]长为l，质量为m的均质直杆，第十四章动能定理由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得任一瞬时：第十四章动能定理由机械能守恒定律：将代入上式第十四章动能定理§14—6普遍定理的综合应用举例动力学普遍定理动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题相对于质心的动量矩定理描述了质点系机械运动的总体情况；用于刚体，可建立起刚体运动的基本方程质心运动定理第十四章动能定理§14—6普遍定理的综合应用举例动第十四章动能定理动量定理或动量矩定理质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。动能定理有些情况下质点系的内力作功并不等于零，应用时要具体分析质点系内力作功问题。第十四章动能定理动量定理或动量矩定理质点系的内力不能改第十四章动能定理一、根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：二、对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。第十四章动能定理一、根据问题的已知条件和待求量，选择适第十四章动能定理

[例1]两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。第十四章动能定理[例1]两根均质杆AC和BC各重第十四章动能定理讨论动量守恒定理＋动能定理求解。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。代入动能定理：第十四章动能定理讨论动量守恒定理＋动能定理求解。第十四章动能定理

[例2]均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象第十四章动能定理[例2]均质圆盘A：m，r；滑第十四章动能定理运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得第十四章动能定理运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得第十四章动能定理[例3]重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B'点时的速度及支座A的约束反力。解：（1）取圆盘为研究对象圆盘平动第十四章动能定理[例3]重150N的均质圆盘与重6第十四章动能定理（2）用动能定理求速度

取系统为研究对象T1=0最低位置时第十四章动能定理（2）用动能定理求速度第十四章动能定理T1=0由动能定理：第十四章动能定理T1=0由动能定第十四章动能定理（3）用动量矩定理求杆的角加速度盘质心加速度：杆质心

C的加速度：第十四章动能定理（3）用动量矩定理求杆的角加速度盘质心第十四章动能定理（4）由质心运动定理求支座反力代入数据，得研究整个系统相对质心动量矩守恒定