偏微分方程习题精练课件

《数学物理方程》习题精练3(波动方程混合问题)

内容

1.分离变量法(1)特征值问题的求解；(2)齐次方程、齐次边界条件情形；(3)非齐次方程、非齐次边界条件情形.2.唯一性、稳定性《数学物理方程》习题精练3(波动方程混合问题)11.分离变量法

分离变量法求解定解问题的过程1.分离变量法2分离变量法又称为Fourier方法，其最本质的问题是“特征值问题”，表现在三个方面：

①特征函数是否存在？(存在性)

②特征函数是否正交？(正交性)

③一定的函数可否按特征函数展开？(特征函数系的完备性)分离变量法要能行得通，上述三个问题缺一不可.(1)特征值问题的求解①

②

分离变量法又称为Fourier方法，其最本质的问题是“特征值3③

④

以上是第一、二类齐次边界条件的四种不同组合下的特征值问题，下面我们再考虑第三类齐次边界条件下的特征值问题.③④以上是第一、二类齐次边4偏微分方程习题精练课件5偏微分方程习题精练课件6容易证明特征函数族是正交的，即(参见姜礼尚P74)容易证明特征函数族是正交的，即(参见姜礼尚P74)7偏微分方程习题精练课件8偏微分方程习题精练课件9偏微分方程习题精练课件10偏微分方程习题精练课件11偏微分方程习题精练课件12偏微分方程习题精练课件13偏微分方程习题精练课件14偏微分方程习题精练课件15偏微分方程习题精练课件16

(2)齐次方程、齐次边界条件情形：

例1求解混合问题

17偏微分方程习题精练课件18偏微分方程习题精练课件19偏微分方程习题精练课件20偏微分方程习题精练课件21偏微分方程习题精练课件

(3)非齐次方程、非齐次边界条件的情形

对于非齐次方程、非齐次边界条件的混合问题，首先通过函数变换，将边界条件齐次化，把要求的混合问题转化为求解一个相应的齐次边界条件的混合问题，然后通过线性叠加原理和Duhamel原理，再把它分解成求解相应的齐次方程、齐次边界条件的混合问题.因此，用分离变量法求解混合问题，最关键的是求解齐次方程、齐次边界条件的混合问题.我们留作课外作业去处理.

2.唯一性、稳定性

对于波动方程的混合问题，利用能量积分和能量不等式，不难证明混合问题的唯一性以及对于自由项、边界条件和初始条件的连续依赖性.这是本课程的难点，不作太多要求，只要求理解其基本思想就行了.(3)非齐次方程、非齐次边界条件的情形223再见再见24《数学物理方程》习题精练3(波动方程混合问题)

内容

1.分离变量法(1)特征值问题的求解；(2)齐次方程、齐次边界条件情形；(3)非齐次方程、非齐次边界条件情形.2.唯一性、稳定性《数学物理方程》习题精练3(波动方程混合问题)251.分离变量法

分离变量法求解定解问题的过程1.分离变量法26分离变量法又称为Fourier方法，其最本质的问题是“特征值问题”，表现在三个方面：

①特征函数是否存在？(存在性)

②特征函数是否正交？(正交性)

③一定的函数可否按特征函数展开？(特征函数系的完备性)分离变量法要能行得通，上述三个问题缺一不可.(1)特征值问题的求解①

②

分离变量法又称为Fourier方法，其最本质的问题是“特征值27③

④

以上是第一、二类齐次边界条件的四种不同组合下的特征值问题，下面我们再考虑第三类齐次边界条件下的特征值问题.③④以上是第一、二类齐次边28偏微分方程习题精练课件29偏微分方程习题精练课件30容易证明特征函数族是正交的，即(参见姜礼尚P74)容易证明特征函数族是正交的，即(参见姜礼尚P74)31偏微分方程习题精练课件32偏微分方程习题精练课件33偏微分方程习题精练课件34偏微分方程习题精练课件35偏微分方程习题精练课件36偏微分方程习题精练课件37偏微分方程习题精练课件38偏微分方程习题精练课件39偏微分方程习题精练课件40

(2)齐次方程、齐次边界条件情形：

例1求解混合问题

41偏微分方程习题精练课件42偏微分方程习题精练课件43偏微分方程习题精练课件44偏微分方程习题精练课件45偏微分方程习题精练课件

(3)非齐次方程、非齐次边界条件的情形

对于非齐次方程、非齐次边界条件的混合问题，首先通过函数变换，将边界条件齐次化，把要求的混合问题转化为求解一个相应的齐次边界条件的混合问题，然后通过线性叠加原理和Duhamel原理，再把它分解成求解相应的齐次方程、齐次边界条件的混合问题.因此，用分离变量法求解混合问题，最关键的是求解齐次方程、齐次边界条件的混合问题.我们留作课外作业去处理.

2.唯一性、稳定性

对于波动