试验、事件样本空间易

前言概率统计是研究随机现象数量规律的学科,

理论严谨,

应用广泛,发展迅速.

不仅高等学校各专业都开设了本课程,

而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能学好这门有用的重要课程.有关经典著作1.《概率论基础及其应用》王梓坤著科学

1976

年版计学优秀著作译丛》15本书柯尔莫哥

著4.《现代外2.《概率论的分析理论》P.-S.拉

斯著1812年版3.《概率论的解析方法》1931年版概率论奠基著作概率统计专业首位5.统计学科普书籍：科普读物第一章

品茶第二章

偏斜分布第三章可爱的戈塞特先生第四章

在“

堆”中寻觅第五章收成变动研究

第六章“百年不遇的洪水”第七章

费歇尔获胜

第八章

致命的剂第九章

钟型曲线

第十章

拟和优度检验第十一章

假设检验

第十二章

置信诡计第十三章

贝叶斯异论第十四章数学界的莫扎特第十五章“小人物”之见解第十六章

非参数方法第十七章当部分优于总体时第十八章

吸烟会

吗？第十九章

如果您需要最佳人选第二十章朴实的得克萨斯农场小伙第二十一章家庭中的天才第二十二章统计界的毕加索第二十三章处理有瑕疵的数据第二十四章重塑产业的人第二十五章

来自黑衣

的忠告第二十六章

鞅的发展第二十七章意向性治疗法第二十八章电脑随心所欲第二十九章“泥本学科的ABC概率(或然率或几率)

——

随机事件出现

的可能性的量度——

其

与博弈问题有关.17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、费马

荷兰数学家C.惠更斯对赌本分配问题的研究成为数学史上一个著名的问题。1657年惠更斯的《论

中的计算》一书成为概率论的早期著作.使概率论成为数学分支的真正奠基人是数学家J.伯努利；他开创了母函数方法的先河。1718年法国数学家棣莫弗的《机会论》是早期概率论的重要著作.1730年他的《分析杂论》中包含著名的棣莫弗－拉

斯定理。1774年拉

斯给出概率的古典定义，在《概率论的分析理论》一书中表明了自己关于概率的哲学观，并建立了误差理论和最小二乘法，引入如差分方程等强有力的分析方法，将概率论推向一个新的发展阶段。还有一系列在概率论发展上闪光的名字：高斯，法国数学家泊松，莱维，数学家柯尔莫哥，切比雪夫，李雅普，辛钦等等，他们会永载史册！概率论发展史体现了理论与实际之间的密切联系，许多重要问题都有实际背景，交叉学科陆续产生，如生物统计，物理统计，排队论，信息论，控制论，随机运筹学等，现在随着电子计算机的产生发展，为概率论发展开辟了更广阔领域。随机过程是随时间推进的随机现象的数学抽象。1907年，数学家马尔可夫提出一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式，后人称其为马尔可夫链。1923年，数学家维纳从数学上定义了布朗运动，后人称数学上的布朗运动为维纳过程随机过程一般理论研究于20世纪30年

始，1931年柯尔莫哥

《概率论的解析方法》；1934年辛钦

《平稳过程的相关理论》，这两篇文章为马尔可夫过程和平稳随机过程奠定了理论基础。1953年，

数学家杜布

《随机过程论》系统描述了随机过程基本理论，他的工作推动了鞅论的发展;同年，

数学家伊腾清建立关于布朗运动的随机微分方程理论，定义一种随机积分－伊腾积分，为研究马尔可夫过程开辟了新道路。现在随机过程前沿是关于半鞅的随机微分方程，流形上的随机微分方程理论正方兴未艾！若问什么地方概率统计随机过程用得上？回答是--任何领域.本学科的应用运用概率的领域包括精算农业动物学人类学考古学审计学晶体学人口统计学牙医学生态学经济计量学教育学工程流行病学遗传学地理学地质学人类遗传学水文学工业法律语言学文学和策划

劳动力计划金融

气象学水产渔业研究

军事科学核材料安全管理眼科学制药学物理学政治学心理学心理物理学质量控制研究社会学抽样管理科学

分类学市场医学学

气象改善搏采，等等...巴拿赫火柴问题一位吸烟的数学家总带着两盒火柴，每盒有N根.一盒放在左边的衣袋中，另一盒放在右边的衣袋中.每当他需要用一根火柴时，就等可能的从其中任一个衣袋中取用.问他第一次发现其中一盒是空的，而另一盒正好还有k根（k＝0，1，2,…,N）火柴的概率是多少？这是经典的概率应用问题.事件的独立性n重伯努利试验应用背景相关知识点信号收发问题将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率都是(1－α)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为

p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的.）应用背景信号输入信道后，有可能由于硬件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此时可以根据已知的条件，求得出现误差的概率.相关知识点1.条件概率2.全概率公式3.贝叶斯公式人寿保险在人寿保险公司里有

4000个同一 的人参加人寿保险，在一年里，这些人的 率为0.1%

，参加保险的人在一年的头一天交付保险费

50

元，

在一年内

时，家属可以从保险公司领取

20000

元.

(1)求保险公司一年中获利不小于100

000元的概率;

(

2

)

求保险公司一年内亏本的概率.应用背景研究在一定条件下,人寿保险公司亏本的概率和

的概率.相关知识点1.二项分布正态分布棣莫弗-拉斯中心极限定理法国数学家拉

斯(Laplace)

：“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和

杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么就寸步难行,无所作为.公共邮箱：实例“自然界所观察到的现象:

确定性现象、

随机现象1.确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.不会从西边升起”,“水从高处流向低处”,“同性电荷必然互斥”,“函数在间断点处不存在导数”等.确定性现象的特征：条件完全决定结果.1.1

试验、事件、样本空间2.随机现象在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.结果:有可能出现正面也可能出现

.弹多发,实例2

用同一门 向同一目标发射同一种观察弹落点的情况

.结果:弹落点会各不相同.实例3

抛掷一枚

,观察出现的点数.结果有可能为:

1,

2,

3,

4,

5

或

6.实例4

从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:正品、次品.实例5

过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.实例6出生的婴儿可能是男，也可能是女.实例7

明天的天气可能是晴

，

也可能是多云或雨.随机现象的特征:

条件不能完全决定结果.概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.说明随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.定义一（随机试验）：将一切具有下面三个特点：可重复性多结果性不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。例：E1：抛一枚硬币，观察正面、出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、 出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：掷一粒 ，观察出现的点数。E5：记录 交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的

。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。定义二在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。随机事件一般用大写英文字母A,B,C……等表示。例：在E4中，“掷得奇数点”，“掷得点数6”，“掷得点数不超过

2”等都是随机事件，可将它们依次记为B,C,D。在E6中，“灯泡的 超过500小时”是一随机事件，我们可用A表示此事件。定义三（基本事件与随机事件）在试验中,可直接观察到的结果称为基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，简称事件。两个特别的事件不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。如“掷一粒

掷出8点”

。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。如“掷一粒

点数小于7

”。下面

来为随机试验建立一个数学模型样本点e.样本空间现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间.

样本空间用S或Ω表示.S样本空间的元素是由试验的内容所决定的。虽然每次试验的结果事先不可确定,但试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可以知道它不超过某个范围。由此，可以确定一个实验的样本空间。则样本点是一非负数，由于不能确知的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，S

=

{t

：t

≥0｝故样本空间如果试验是将一枚硬币抛掷两次观察正

出现的情况，则样本空间由如下四个样本点组成：S={(H,H),

(H,T),

(T,H),

(T,T)}样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.如果试验是测试某灯泡的

：例：写出E1到E7的样本空间：S1S2：{H,

T}：{HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,

THT,

TTH,TTT}S3S4：{0,

1,

2,：{1,

2,

3,3}4,

5,6}S5

：{0,

1,

2,3,

……}S6

：{t|t≥0}S7：{(x,y)|

T0≤x≤y≤T1}2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如，对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、

T

出现的情况，则样本空间为S

{HHH

,

HHT

,

HTH

,

THH

,HTT

,

TTH

,

THT

,

TTT

}.若观察出现正面的次数,则样本空间为S

{

0,

1,

2,

3}.注意1.试验不同,对应的样本空间也不同.3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如，只包含两个样本点的样本空间S

{

H

,

T

},它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现

的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,

又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.引入样本空间后，事件便可以表示为样本点的集合，即为样本空间的子集。例如，掷一颗

，观察出现的点数S

={

i

：i=1,2,3,4,5,6｝事件B就是S的一个子集B

=

{1,3,5｝易见,B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。概率论与集合论有关概念的对应关系表：概率论集合论记号样本点元素ei

，i样本空间全集S,

Ω随机事件子集A，B，C……基本事件单点集{ei}不可能事件空集Φ事件间的关系与运算定义1.（事件的包含与相等）若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义2.（和事件）“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件或并事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}推广：事件的和的概念可推行至任意有限和及可列和的情况：n

Ak

A1

A2

Ank

1Ak

A1

A2

Akk

1例 袋中有5个白球，3个黑球，从中任取3个球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，则C=AB.若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3个球中恰有i个白球”,D表示“取出的3个球中至少有一个白球”，则D=

A1

A2

A3定义3.（积事件）称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件或交事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。n推广：

Ak

A1

A2

Ank

1Ak

A1

A2

Akk

1例

在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录1

22

2(

x,

y)

|

x

y

其坐标，令

A

nn,B表示取到(0,0)点，则B

Akk

1定义4.（差事件）称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为A-B={e|e∈A，eB}例从1,2,3,N这N个数字中，任取一数，取后放回，先后取k个数(1k

N),令A表示“取出的k个数中最

大数不超过M”(1M

N),B表示“取出的k个数中最

大数不超过M-1”，C表示“取出的k个数中最大数为M”，则C=A-B,且BA定义5.（互不相容事件或互斥事件）如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。推广 对有限个事件或可列个事件A1，A2，…，An

…，如果对任意ij,AiAj＝Φ,则称A1，A2，…，An

…两两互斥，或A1，A2，…，An

…两两互不相容。定义6（逆事件/对立事件）称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。易见A与Ā满足：A∪Ā=S,且AĀ=Φ。一般地，若A，B满足：A∪B=S，AB＝Φ称为A与B互为对立事件，此时，A为B的逆事件，B为A的逆事件，即A=B,B=Ā。若A，Ā互为对立事件，那么在每次试验中，事件A，Ā必有一个发生而且只有一个发生，显然Ā={e|eA}，A-B=BA=A-AĀA事件A发生导致B也发生

A是B的子集A与B相等

A与B相等A与B互不相容

A与B无公共元素A的对立事件

A的余集A与B至少有一个发生

A与B的并集A与B同时发生

A与B的交集A发生而B不发生

A与B的差集A

BA

BAB

AA

BA

BA

B记号 概率论 集合论事件与集合的关系及运算对照：设A，B，C为事件，则有交换律：A∪B=B∪A，AB=BA结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=

AB∪AC（4）德摩根律：A

B

A

BA

B

A

B事件的运算律相关性质还有：1.Ā

=S-A，S=，

=S;若AB，则BĀ;B=ABĀB

，AB=AĀB，ABC=AĀBĀBC;若A、B互为对立事件，则A、B互不相容。注意：4.的逆不成立，即A、B互不相容，未必有A、B互为对立事件。例 将n个人任意分配到N个房间(nN),令A表示“恰有n个房间各有一人”，B表示“第一个房间恰有两人”，从而AB=,但B不等于Ā。例1:

袋中装有

为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件Ａ为“抽得一张标号不大于

４的卡片”，事件Ｂ为“抽得一张标号为偶数的卡

片”，事件Ｃ为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:Ａ∪Ｂ,ＡＢ,Ａ-Ｂ,Ｂ-Ａ,Ｂ∪Ｃ,(Ａ∪Ｂ)Ｃ