高等数学-第三章20级

§3.5

函数图形的描绘一、曲线凹凸性二、曲线的渐近线三、函数图形描绘的步骤四、作图举例一、曲线凹凸性1.定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyoy

f

(

x)x1

x2图形上任意弧段位于所张弦的上方xyoy

f

(

x)x1x2图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC定义f

(x)在I

上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;如果恒有

f

(

x1

x2)

f

(

x1

)

f

(

x2

)

,那末称

f

(

x)2

2在I

上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果f

(x)在[a,b]内连续,且在(a,b)内的图形是凹(或凸)的,那末称f

(x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的;设f

(x)在区间I

上连续,如果对I

上任意两2

21

21

2点x1

,x2

,恒有f

()

,那末称x

x f

(

x

)

f

(

x

)2.曲线凹凸的判定xyoy

f

(

x)xyoy

f

(

x)ABaf

(x)递增by

0BAa

bf

(

x)

递减

y

0定理1如果

f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数

,若在(a,b)内f

(x)

0,则f

(x)在[a,b]上的图形是凹的;f

(x)

0,则f

(x)在[a,b]上的图形是凸的

.例1判断曲线y

x3

的凹凸性.解

y

3

x2

,y

6

x,当x

0时y

0,曲线在(,0]为凸的当x

0时y

0,

曲线在[0,)为凹的点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.注意到,3、曲线的拐点及其求法定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法定理

2

如果

f

(

x)在(

x0

,x0

)内存在二阶导数,则点x0

,

f

(

x0

)是拐点的必要条件是

f

(

x

)

0

."0证

f

(x)二阶可导,

f

(x)存在且连续,又

(x0

,f

(x0

))是拐点,则f

(x)

[f

(x)]在x0两边变号,

f

(x)在x0取得极值,由可导函数取得极值的条件,

f

(

x)

0.方法1:设函数f

(x)在x0的邻域内二阶可导,且f

(x0

)

0,x0两近旁f

(x)变号,点(x0

,f

(x0

))即为拐点;x0两近旁f

(x)不变号,点(x0

,f

(x0

))不是拐点.例2求曲线y

3

x4

4

x

3

1的拐点及凹、凸的区间.解

D

:

(,)y

12x3

12x2

,3y

36x(

x

2).1

2令y

0,

得

x

0,

x

2

.3x(,0)0(0,

23)23(

23

,)f

(

x)00f

(

x)凹的拐点(0,1)凸的拐点(

23

,1127)凹的[23

,).[0,

23],凹凸区间为(,0],方法2:

设函数

f

(

x)

在

x0

的邻域内三阶可导,且f

(

x0)

0,而

f

(

x0)

0

,

那末(

x0

,

f

(

x0))

是曲线

y

f

(

x)

的拐点.例3解求曲线y

sin

x

cos

x

([0,2]内)的拐点.y

cos

x

sin

x

,

y

sin

x

cos

x

,y

cos

x

sin

x

.442x

7

.1令

y

0,

得

x

3

,2

0,4f

(3)

4f

(7)

2

0,在[0,2]内曲线有拐点为4

4(7

,0).(3

,0),注意:

若

f

(

x0

)

不存在,点(

x0

,

f

(

x0

))

也可能是连续曲线

y

f

(

x)

的拐点.例4x

的拐点.求曲线y

3

23

,解

当x

0时,

y

13

94

53

,x

y

xx

0是不可导点,y,y均不存在.但在(,0)内,

y

0,

曲线在(,0]上是凹的;在(0,)内,

y

0,

曲线在[0,)上是凸的.点(0,0)是曲线

y

3

x的拐点.二、曲线的渐近线那么

x

x0

就是

y

f

(

x)

的一条铅直渐近线.0

0定义:

当曲线

y

f

(

x)

上的一动点

P沿着曲线移向无穷点时,

如果点

P到某定直线

L

的距离趋向于零,

那么直线

L

就称为曲线

y

f

(

x)

的一条渐近线.1.铅直渐近线(垂直于x

轴的渐近线)如果

lim

f

(

x)

或

lim

f

(

x)

x

x

x

x例如,(

x

2)(

x

3)1y

有铅直渐近线两条:x

2,x

3.2.水平渐近线(平行于x

轴的渐近线)如果

lim

f

(

x)

b

或

lim

f

(

x)

b

(b

为常数)x

x那么

y

b

就是

y

f

(

x)

的一条水平渐近线.例如

y

arctan

x,有水平渐近线两条:2y

.2y

,3.斜渐近线那么

y

ax

b

就是

y

f

(

x)

的一条斜渐近线.斜渐近线求法:(a,b

为常数)或lim[f

(x)

(ax

b)]

0如果

lim

[

f

(

x)

(ax

b)]

0xxxlim

f

(

x)

a,xlim[

f

(

x)

ax]

b.x那么

y

ax

b

就是曲线

y

f

(

x)

的一条斜渐近线.注意:

如果x(1)lim

f

(x)不存在;xx(2)lim

f

(x)

a

存在,但lim[f

(x)

ax]不存在,xx可以断定

y

f

(

x)

不存在斜渐近线.例1求

f

(

x)

2(

x

2)(

x

3)

的渐近线.x

1D

:

(,1)

(1,).解x1

x1

lim

f

(

x)

,

lim

f

(

x)

,

x

1

是曲线的铅直渐近线.又

lim

f

(

x)

lim

2(

x

2)(

x

3)

2,xx x(

x

1)xlim[2(

x

2)(

x

3)

2

x]x(

x

1)xx

1

lim

2(

x

2)(

x

3)

2

x(

x

1)

4,x

y

2

x

4

是曲线的一条斜渐近线.x

1f

(x)

2(x

2)(x

3)

的两条渐近线如图三、函数图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步确定函数

fy(x)

的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的

,求出函数的一阶导数

'

()xf

和二阶导数f

"

()x

;求出方程

f

'(

x)

0

和

f

"(

x)

0

在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.第三步确定在这些部分区间内

'

xf)(和

"

xf)(的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行

）；第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步描出与方程f

'(x)

0

和f

"(x)

0

的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步

的结果画出函数的图形.四、作图举例例1

作函数

f

(

x)

4(

x

1)

2

的图形.x2非奇非偶函数,且无对称性.解

D

:

x

0,f

(

x)

4(

x

2),x3令f

(x)

0,令f

(x)

0,x4f

(

x)

8(

x

3).得驻点x

2,得特殊点x

3.x2x

xlim

f

(x)

lim[4(x

1)

2]

2,

得水平渐近线y

2;x2x0

x0lim

f

(

x)

lim[4(

x

1)

2]

,得铅直渐近线x

0.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x(,3)

3(3,2)

2(2,0)0(0,)f

(

x)0

不存在f

(

x)0f

(

x)(拐点3,

26)极值点

3间断点9补充点:

(1

3,0),

(1

3,0);C

(2,1).A

(1,2),作图xB

(1,6),y

31

3

2

1

o

1

2

26ABCx2f

(

x)

4(

x

1)

2例2

作函数(

x)

122e

的图形.

x2解D

:

(,),偶函数,

图形关于y轴对称.x2(

x)

e

x22

,令(x)

0,令

(x)

0,得驻点x

0,得特殊点x

1,x

1.

0.4.21W

:

0

(

x)

(

x

1)(

x

1)2

(

x)

x22e

.2

x212

lim

(

x)

limx

xe

0,

得水平渐近线y

0.(

x)(

x)00

(

x)拐点极大值1212e

)(1,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x

(,1)

1

(1,0)

0

(0,1)

1

(1,)0拐点)1(1,2exyo1

11222e

x12(

x)

例3的图形。(x

1)3描绘

y

f

(x)

(x

1)2解(1)定义域：(,1)(1,

);x

1

是间断点。(2)令f

(x)

0得驻点x

1,x

5.(x

1)2

(x

5)(x

1)3,

x

1.f

(x)

f

(x)

24(x

1)

,

x

1.(x

1)4令f

(x)

0得x

1.所以x

1(x

1)3x1(3)因为lim

f

(x)

limx1

(x

1)2

,是垂直渐近线;又因为lim(x

1)32f

(x)

lim

1

k,x

x(x

1)xx2

lim

5x2

2x

1

5,(x

1)2x

(x

1)3b

lim[

f

(x)

kx]

lim

x

(x

1)x

x故有斜渐近线

y

x

5.(4)列表x115f

(x)00f

(0y

f(1,0)拐点13.5极小(5)曲线还经过如下一些点:3

3(5,

1.78),

(3,

0.5),

(0,1),

(1

,

16

),(0.5,13.5).(6)曲线图形如下:xy1O1157

51013.5极值、拐点、渐进线，并作图。、列表解

定义域：(,

)y

e

x

(

x)

y

e

x

(

x

2)

0

1xlim

y

(,)(2,

)0+e2e

2xy

y

y–

–––––+曲线过点(0,0)驻点：x=1x

=2(1,2)

2例4极大值0(拐点)故

y

=

0为水平渐近线因：X0y1渐进线：y

=0(0,0)(1,

1

)e(2,

2

)e

22y

xe

x..(x

+)e列表定义域：xlim

y

x

38

x

3

2y

23

2(

,

1

)2xyy

y对函数进