《正弦函数、余弦函数的性质》教案与导学案

《第五章三角函数》《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》教案【教材分析】种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.【教学目标与核心素养】课程目标了解周期函数与最小正周期的意义;了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;[0,2π]x数学学科素养数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.质.【教学重难点】cosx,sinx值域及对称性.【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、②当且仅当时,取得最小值②当且仅当时,取得最小值要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课201-2051.怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？三、新知探究正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.正弦函数①当且仅当时,取得最大值正弦函数①当且仅当时,取得最大值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当 取定义域内的每都有,那么函数都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个由此可知,都是这两个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.这个最小正数就叫做的最小正周期.都是它的周期,最小正周期是这个最小正数就叫做的最小正周期.都是它的周期,最小正周期是.()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称正弦函数()为偶函数,其图象关于轴对称正弦函数的对称中心是,对称轴是直线;余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于中心为图象与轴(中轴线)的交点).余弦函数的对称中心是,对称轴是直线正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从

轴的直线，对称对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.题型一正、余弦函数的周期性1y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(1x2 6

),x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.【答案】(1)2π；(2)π；(3)4π；(4)π.【解析】:(1)3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函数的定义知,y=3cosx2π.sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,知,y=sin2xπ.(3)因为sin1(x4)sinx2sinx,所以由周期函数的2

62

6 2 6 y2sinx4π. 2 6 (4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|的最小正周期为π.（求函数最小正周期的常用方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．是2π.|ω|图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．跟踪训练一1.（1）函数y=2sin(3x+π),x∈R的最小正周期是( )6(A)π(B)2π(C)3π(D)π332(2)函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为 .【答案】(1)B；(2)π．2【解析】 (2)作出y=|sin2x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为π.2题型二化简、求值22(1)f(x)=2

sin2x;(2)f(x)=sin(3x+3π);4 211cosx

+cosx1.22【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)偶函数;(4)既是奇函数又是偶函数.222(1)x∈R,f(-x)=sin2x2

sin(-2x)=-

sin2x=-f(x),所以f(x)=x∈R,f(x)=sin(3x3π)=-cos3x,4 2 4f(-x)=-cos(-3x)=-cos3x=f(x),4 4f(x)=sin(3x3π)是偶函数.4 2x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),f(x)=sin|x|是偶函数.由1cosx0,得cosx=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,cosx10,故该函数既是奇函数又是偶函数.解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)判断函数奇偶性的方法f(x)是否关于原点对称;②f(-x)f(x)的关系;跟踪训练二下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )(A)y=sin(2x+π)(B)y=cos(2x+π)2 2(C)y=sin(2x+π)4

sin(x+π)242【答案】B【解析】A,y=sin(2x+πy=cos2x,为偶函数;C,D2偶函数;B,y=cos(2x+π)=-sin2x,是奇函数,T=2π=π,B.2 2Rx π

5π等于( )π，

∈0，2

f3 133－ B．1 C．－ D．2 2 2133－ B．1 C．－ D．2 2 2【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，5π 5π π3＝f3－2π＝f3， 又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．5π π π π 33＝f3＝f3＝sin3＝2. 题型三正、余弦函数的单调性3y=sin(1x+π)的单调区间.2 3【答案】略.1π+2kπ≤2x+ππ+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的2

+,π

3 2](k∈Z).当π

1+2kπ≤2x+π≤3π+2kπ(k∈3 3 2 3 2π7π](k∈Z).3 3（求单调区间的步骤）的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cosx)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；x的不等式．这一条件不能省略．跟踪训练三π 1．y＝2sin4的单调增区间． 【答案】略.π π π【解析】y＝2sin4－x＝－2sinx44 求y＝－2sinz的增区间，即求y＝sinz的减区间，所以π

z3π2kπ(k∈Z)，

2＋2

≤2＋π k

π 3π k

3π

x7π＋2kπ(k2＋2

－4≤

＋2π(

∈Z)，解得4

＋2π≤≤4∈Z)，

π

7π y＝2sin4的单调增区间是4＋2kπ，4＋2kπ(k∈Z)． 4比较下列各组中函数值的大小： 23π 17π（1）cos－5与cos－4； (2)sin194°与cos160°. 23π 17π（1）cos－5＜cos－4（2）sin194°＞cos160°. 23π

7π 7π

5＝cos－6π＋5＝cos5， 17π

7π 7πcos－4＝cos－6π＋4＝cos4， ∵π＜7π＜7π＜2π，且函数y＝cosx在[π，2π]上单调递增5 47π 7π 23π 17π∴cos5＜cos4，即cos－5＜cos－4. (2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，y＝sinx0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，sin194°＞cos160°.解题方法（比较两个三角函数值的大小）调区间内的角，再利用函数的单调性比较．后面步骤同上．求解．跟踪训练四1．下列结论正确的是A．sin400°>sin50°C．cos130°>cos200°

( )B．sin220°<sin310°D．cos(－40°)<cos310°【答案】C.【解析】由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，0°<x<90°y＝cosxcos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，cos130°>cos200°.5(1)y=cos(x+π),x∈[0,π];6 2(2)y=cos2x-4cosx+5.3（1）[-1,32 2

]（2）[2,10].【解析】(1)x∈[0,π]可得2x+π∈[π,2π],6 6 33函数y=cosx在区间[π,2π]上单调递减,所以函数的值域为[-1, ].36 3 2 2(2)y=cos2x-4cosx+5则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(,当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=12,所以函数的值域为解题方法（三角函数的值域问题解题思路）y=Asin(ωx+)+B类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.跟踪训练五函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为 .【答案】[-9,1].【解析】(1)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-5)2+9.4 8sinx=1,y=1;sinx=-1

max=-9,min故y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].f(x)=acosx+b1,最小值是-3g(x)=bsin(ax+π)的最大3值为 .【答案】1.a≠0,a>0ab1,ab3,

所以a2,b1, g(x)=-sin(2x+π1.3a<0ab3,所以aab1, 1.g(x)=-sin(-2x+π1.综上知,g(x)1.3五、课堂小结六、板书设计5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.定义域例1 例2 例32.值域3.周期性4.奇偶性例4 例55.单调性6.对称性七、作业课本207页练习、213页习题5.42-6、10、11题.【教学反思】节课展开.《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》导学案【学习目标】知识目标了解周期函数与最小正周期的意义;余弦函数①当且仅当 时,取得最大值余弦函数①当且仅当 时,取得最大值②当且仅当 时,取得最小值会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;[0,2π]x核心素养数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.质.【重点与难点】cosx,sinx值域及对称性.【学习过程】一、预习导入201-2051.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是 2.值域正弦函数①当且仅当 时,取得最大值②当且仅当 时,取得最小值正弦函数①当且仅当 时,取得最大值②当且仅当 时,取得最小值,如果存在一个,如果存在一个 ,使得当取定义域内的每一个值时,都有的每一个值时,都有 ,那么函数就叫做周期函数,非零常数对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个 ,那么这个就叫做的最小正周期.都是它的周期,最小正周期是.都是它的周期,最小正周期是.()为,其图象 对称()为()为 ,其图象 对称正弦函数的对称中心是 ,正弦函数的对称中心是 ,余弦函数的对称中心是 ,余弦函数的对称中心是 ,中心为图象与轴(中轴线)的交点).正弦函数在每一个闭区间 正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间 上都是减函数,其值从减小到.

轴的直线，对称余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间 上都是减函数,其值从减小到.存在满足sin2. ( )函数

y＝cos

π 在2，π上是减函数． ( ) 在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅在时取得最大值1.( )2fx xπ，x∈R，则是 ( )2设函数

()＝sin2－ πππC．2πD．2函数y＝sinx和y＝cosx都是减函数的区间是( )k π

(k∈Z)2

π＋2

π＋π2kπ，2kπ＋π(k∈Z)k

22k 3π(k∈Z)2

π＋π，2π＋ 22k 3π

(k∈Z)2

π＋2，2

π＋2π2fx x3π(x∈R)，下面结论错误的是( )2

()＝sin2＋ πfx xπ函数

()的图象关于直线＝4对称fx π函数()在区间0，2上是增函数 【自主探究】题型一 正、余弦函数的周期性例1求下列三角函数的最小正周y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(1x2 6

),x∈R; (4)y=|cosx|,x∈R.跟踪训练一1.（1）函数y=2sin(3x+π),x∈R的最小正周期是( )6(A)π (B)2π (C)3π (D)π3 3 2函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为 题型二化简、求值2(1)f(x)=

sin2x;(2)f(x)=sin(3x+3π);24 2211cosx

+cosx1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )(A)y=sin(2x+π) (B)y=cos(2x+π)2(C)y=sin(2x+π) 4

22sin(x+π)24Rx π

5π等于( )π，

∈0，2

3 1 A．－ B．1 C．－2 2

3D．2题型三 正、余弦函数的单调性3y=sin(1x+π)的单调区间.2 3

π 1．y＝2sin4的单调增区间． 题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应例4比较下列各组中函数值的大小： 23π 17π（1）cos－5与cos－4； (2)sin194°与cos160°.跟踪训练四1．下列结论正确的是 ( )A．sin400°>sin50° B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200° D．cos(－40°)<cos题型五 正、余弦函数的值域与最值问题例5求下列函数的值域:(1)y=cos(x+π),x∈[0,π];6 2(2)y=cos2x-4cosx+5.跟踪训练五函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为 .f(x)=acosx+b1,最小值是-3,g(x)=bsin(ax+π)的最大3值为 .【课堂检测】ysin12

x

0是R上的偶函数则的值（ ） A.0 B. C.4 2

D.2．若函数fxsinx（0）的最小正周期为,则（ ） 65 65A.5 B.10 C.15 D.20已知fxcosx，关于fx的下列结论中错误的是（ ） 3 3fx

f

x在π,π单调递减 2 2fxx6y1cosx；2

fxx对称3ylog sin2x 41 42比较下列各组数的大小．（1）cos与cos； 8 7 3 1 7cos ,sin , cos ；2 10 4 cossin8

与cos

8． 答案小试牛刀1．(1)× (2)×(3)× 2．B. 3．A. 4.C.自主探究例1【答案】(1)2π；(2)π；(3)4π；(4)π.:(1)3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函数的定义知,y=3cos2π.(2)sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,π.(3)因为sin1(x4)sinx2sinx,所以由周期函数的2

62

6 2 6 y2sinx4π. 2 6 (4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|π.跟踪训练一1.【答案】(1)B；(2)π．2【解析】 (2)作出y=|sin2x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为π.2222例2【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)偶函数;(4)既是奇函数又是偶函数.222(1)x∈R,f(-x)=sin2x

sin(-2x)=-

sin2x=-f(x),f(x)=x∈R,f(x)=sin(3x3π)=-cos3x,4 2 4f(-x)=-cos(-3x)=-cos3x=f(x),4 4f(x)=sin(3x3π)是偶函数.4 2x∈R,f(-x)=sin|-x|=sinf(x)=sin|x|是偶函数.由1cosx0,cosx=1,x=2kπ(k∈Z),f(x)=0,cosx10,故该函数既是奇函数又是偶函数.跟踪训练二【答案】B【解析】 A中,y=sin(2x+π),即y=cos2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇2非偶函数;B,y=cos(2x+π)=-sin2x,是奇函数,T=2π=π,B.2 2【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，所以f

f5π

f π3＝3－2π＝ －3， 又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以f

f

fπ π 33＝－3＝3＝sin3＝2. 例3【答案】略.1π+2kπ≤2x+ππ+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的25π

3 21π](k∈Z).当π+2kπ≤

x+π

≤3π+2kπ(k∈3 3 2 3 2时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[π,7π](k∈Z).3 3跟踪训练三【答案】略.π π π【解析】y＝2sin4－x＝－2sinx44y＝－2sin y＝－2sinzy＝sin

π k z3π2kπ(k∈Z)，

2＋2π≤≤2＋即π k

π3πx ≤ k

3π＋2kπ≤x≤7π＋2kπ(k2＋2π≤

－4

＋2π(

∈Z)，解得4 4∈Z)，

π 3π

7π y＝2sin4的单调增区间是4＋2kπ，4＋2kπ(k∈Z)． 23π 17π例4（1）co－5＜cos4（2）sin194°＞cos160°. 23π

7π 7π

5＝cos－6π＋5＝cos5， 17π

7π 7πcos－4＝cos－6π＋4＝cos4， ∵π＜7π＜7π＜2π，且函数y＝cosx在[π，2π]上单调递增5 47π 7π 23π 17π∴cos5＜cos4，即cos－5＜cos－4. (2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.y＝sinx0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，sin194°＞cos跟踪训练四【答案】C.【解析】由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，0°<x<90°y＝cosx是减函cos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，cos130°>cos200°.35（1）[-1,32 2

]（2）[2,10].【解析】(1)x∈[0,π]可得2x+π∈[π,2π],6 6 33函数y=cosx在区间[π,2π]上单调递减,所以函数的值域为[-1, ].36 3 2 2(2)y=cos2x-4cosx+5t=cos则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(,当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=12,所以函数的值域为跟踪训练五1.【答案】[-9,1].【解析】(1)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-5)2+9.4 8sinx=1,y=1;maxsinx=-1,y=-9,miny=2cos2x+5sinx-42.【答案】1.a≠0,a>0ab1,

所以a2,ab3, 1, g(x)=-sin(2x+π1.3a<0ab3,所以aab1, g(x)=-sin(-2x+π1.综上知,g(x)1.3当堂检测1-3．CBB4（1）,4（kZ（2）k

,k（kZ8 8【解析ycosx