高等数学偏导数课件

第二节偏导数偏导数的定义及其计算法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数小结、作业第二节偏导数偏导数的定义及其计算法1我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概2一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法3高等数学偏导数课件4高等数学偏导数课件5如在处偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在6一般地设一般地设7

下面讨论偏导数的计算方法下面讨论8可以看出:定义时,变量y

是不变的,实际上,是对函数,将y视为常数,关于变量

x

按一元函数导数的定义进行的：实质上是哇！爽！可以看出:定义时,变量y是不变的,实际上,是对9求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,10多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将n个自变量中的某一个看成变量,其余的n－1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可.多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数11解法一解法二解法三解法一解法二解法三12将y看成常数将x看成常数

例解将y看成常数将x看成常数例解13将y看成常数时,是对幂函数求导.将x

看成常数时,是对指数函数求导.

例解将y看成常数时,是对幂函数求导.将x看成常数时,14

例解例解15例解例解16注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。17证证18

警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函19xyzO..偏导数的几何意义xyzO..偏导数的几何意义20高等数学偏导数课件21二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿22二、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，？二、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导23由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,

解由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,解24但是但是25反之解答不能.例如,？反之解答不能.例如,？26对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.想想是什么问题?对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系27三、高阶偏导数纯偏导混合偏导三、高阶偏导数纯偏导混合偏导28二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.29解=问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？解=问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？30例解例解31高等数学偏导数课件32解解33另解另解34解证毕解证毕351、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的几何意义4、高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的充分条件）四、小结3、偏导数存在与连续性的关系1、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的物理意义、4、高36练习题练习题37练习题答案2、

练习题答案2、38高等数学偏导数课件39作业P181（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）作业P181（4）,（6）,（8）；3；5；40第二节偏导数偏导数的定义及其计算法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数小结、作业第二节偏导数偏导数的定义及其计算法41我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概42一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法43高等数学偏导数课件44高等数学偏导数课件45如在处偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在46一般地设一般地设47

下面讨论偏导数的计算方法下面讨论48可以看出:定义时,变量y

是不变的,实际上,是对函数,将y视为常数,关于变量

x

按一元函数导数的定义进行的：实质上是哇！爽！可以看出:定义时,变量y是不变的,实际上,是对49求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,50多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将n个自变量中的某一个看成变量,其余的n－1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可.多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数51解法一解法二解法三解法一解法二解法三52将y看成常数将x看成常数

例解将y看成常数将x看成常数例解53将y看成常数时,是对幂函数求导.将x

看成常数时,是对指数函数求导.

例解将y看成常数时,是对幂函数求导.将x看成常数时,54

例解例解55例解例解56注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。57证证58

警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函59xyzO..偏导数的几何意义xyzO..偏导数的几何意义60高等数学偏导数课件61二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿62二、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，？二、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导63由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,

解由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,解64但是但是65反之解答不能.例如,？反之解答不能.例如,？66对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.想想是什么问题?对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系67三、高阶偏导数纯偏导混合偏导三、高阶偏导数纯偏导混合偏导68二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.69解=问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？解=问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？70例解例解71高等数学偏导数课件72解解73另解另解74解证毕解证毕751、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的几何意义4、高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的