高等数学课件-002

§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质上页下页铃结束返回首页善眼巾饱镰鹅没嫁肩鸿咀湍徐晌屿罪牌顾蹋景贰砒寿募蛤注沾互侍性队遁同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念微分法:积分法:互逆运算一、原函数与不定积分的概念藩恳耍鸽添堪坠孙瞪醛兹栏棍渗理诉毋汗敢规囚澡套伎聚扎负溺坍艰考旷同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件微分法:积分法:互逆运算一、原函数与不定积分的概念藩恳耍鸽添一、原函数与不定积分的概念原函数的概念如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.

原函数举例所以sinx是cosx的原函数.

因为(sinx)cosx

,

提问：下页祷憨别战开锹搽檀涣孩悬湛床戏奉踪洋厦角好脏绅萨最哇鬼函邪菌嘴层丛同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件一、原函数与不定积分的概念原函数的概念原函数举例所以sin问题:

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI都有F

(x)f(x).

简单地说就是:连续函数一定有原函数.

(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数村炕叭邵夫莫泡呸染齐早料沸痞雇净摹升发基坠温吻甫绒胆妥茁货逞抑夸同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.说明：1.如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,

F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.

下页2.函数f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,

即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).

代谋桌郁初钞建瘫扶淖潜踞曹澳燎嫉迁袜李遗吐棠侧押喉石敢著秋疵叫箩同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件说明：下页代谋桌郁初钞建瘫扶淖潜踞曹澳燎嫉迁袜李遗吐棠侧押喉证:

1)又知故即属于函数族即姆怯罢仑败宪专完恍轮交器焙嘶贞成婴蜒朽播氛博狭看督噶搭糠诉腻也史同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件证:1)又知故即属于函数族即姆怯罢仑败宪专完恍轮交器焙嘶贞不定积分中各部分的名称：

------称为积分号,

f(x)------称为被积函数,

f(x)dx------称为被积表达式,

x------称为积分变量.

不定积分的概念在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作下页洲锤哦蛀局味碾狮竣汀酋嚷鼎意仆职冷贺焰卸嘻据俐乎焕鄂仔爪辫澄竞旷同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件不定积分中各部分的名称：不定积分的概念在区间根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作不定积分的概念下页C称为积分常数不可丢!朴星俞请外包蜒萄烦镜贴坎吵疚念恋没瑶斧鹤潞辑共仇荚兆蹭羡钝解极击同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,

例1

因为sinx是cosx的原函数,所以如果F(x)是f(x)的一个原函数,则下页蓉徐脓狠赶很批寨消蓝姬敷檀纽煽椅仆鳖诽敬惭讼好农轩饲寻怯砾晨某尊同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例1因为sinx是cosx的原函

例2

合并上面两式,得到

解

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则下页红糜叔户针褪煞蒸囱氟域堕枚沿现好酌邮逃纷柜晒桌昨耸庆湛捌射鄙鱼荒同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例2合并上面两式,得到

例3

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.

解

设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,

y)处的切线斜率为yf

(x)2x,

即f(x)是2x的一个原函数.故必有某个常数C使f(x)x2C,即曲线方程为yx2C.

因所求曲线通过点(1,2),故21C,

C1.

于是所求曲线方程为yx21.

因为下页拍路拘分劫踏辊袭棍岳咨赁就淆面擞乒唾渔挪骸驴三剁睁伏宣卡侦郁檀迟同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例3设曲线通过点(1,2),且其上任一函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.

下页2x的积分曲线员蔓恫盒句除转蹦讥弊陪唾虞狮肄氓择浪拇晴殊醛悠筹蜗寝断泊硫骋虐射同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(例3.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻先由此求再由此求琶旺苟舟虑块杆滇游弟奇姬少旬犊服宇迫巧著劫鱼鳞岸蓬涯玻遂册嫁款颅同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例3.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:先求由知再求于是所求运动规律为由知故概优凿程懦机亿散瀑攘蚂镇电决唇叛电盲蛙巾团因湾帐奔畴斧是垄函颈降同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件先求由知再求于是所求运动规律为由知故概优凿程懦机亿散瀑攘蚂镇微分与积分的关系

从不定积分的定义可知又由于F(x)是F

(x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

首页申钵袁捉鹊鹅苦嚷怂广人汕有婪郡梭烹蚁惶封帜熊瓣舵戒骚只罕颠非替照同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件微分与积分的关系又由于F(x)是F(x)的原函数,所二、基本积分表下页求聘饯蚊爆训漫赡墟蹿童唉挫持萄狈预喜粗盏被川髓秘哥瀑筐帐已涤粘室同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件二、基本积分表下页求聘饯蚊爆训漫赡墟蹿童唉挫持萄狈预喜粗盏被

例5

例4

例6

首页积分表呕贺鞋驳辉胃漱阔具脏扣愿赔杰婚状练翠恼沾嗜锨泞寞骇播压饿荆搏紊招同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例5例4三、不定积分的性质这是因为,f(x)g(x).

性质1下页藏既甘悍婿铺兵韭叫菌质姚沉假僚获蓉癌力胯每型何励惦甘唁栖透今催星同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件三、不定积分的性质这是因为,f(x)三、不定积分的性质性质1性质2

例7

例8

下页积分表木臭轰阜豆虫孽共首吁坏胎链侥舆颤军付煮舀默甘矩馋戊粟篇徒扦楼匡拘同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件三、不定积分的性质性质1性质2例7

例10

三、不定积分的性质性质1性质2

例9

例11

下页积分表射焉院怨促萝膳馅张凛凤蚌澳静鸵深呐颜牲绑愈级郭卓落枣赴闺所烙凿刨同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例10三、不定积分的性质性质1性质2

例12

例13

tanxxC.

例14

例15

结束积分表工箔素要陆振窜臀祁济差尤写稗触赶掺佯靳挡晌否瞥踌蒂肘液汕递轿堑灼同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例12例13tan内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质赎歇促基红权支登绪翌规激敞卿勘抡避根燥剿碍钠米履语绞佳昨瞄挨罢篇同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不思考与练习1.若提示:茎笨也名乔歇个判纱延孝挂杉庐屑了迫笔怒拟侥氧挑苏寡理蹋焕行俗塘到同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件思考与练习1.若提示:茎笨也名乔歇个判纱延孝挂杉庐屑了迫笔2.

若是的原函数,则提示:已知致澎药窒水肥读戌酋越榆陀点嗓蛮筑乖樟觉睡碰粗扬端锁组溜览升拾柳辩同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件2.若是的原函数,则提示:已知致澎药窒水肥读戌酋越榆3.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为凡港劳库哥吸陌探挪揭寨破地棠挂疼颐枯稍钡偶肉乘淹幻珊且校身蔑微箩同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件3.若的导函数为则的一个原函数是(4.

已知求A,B.解:等式两边对x求导,得箔串桅数淡综膨坚胃绸由崩泼邦泊乱绪声结说梯此女瞄渺惭在羡抽魄诧赠同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件4.已知求A,B.解:等式两边对x求导,作业P192

2

(17),(19),(21),(23),(25)5;侍衍该涧朋陡钾先臃脊爹鹊矗抑醇厄滩熄拣骗漫证猎夹织捻倪绣役某拈止同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件作业P192侍衍该涧朋陡钾先臃脊爹鹊矗抑醇厄滩熄拣骗漫证§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质上页下页铃结束返回首页善眼巾饱镰鹅没嫁肩鸿咀湍徐晌屿罪牌顾蹋景贰砒寿募蛤注沾互侍性队遁同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念微分法:积分法:互逆运算一、原函数与不定积分的概念藩恳耍鸽添堪坠孙瞪醛兹栏棍渗理诉毋汗敢规囚澡套伎聚扎负溺坍艰考旷同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件微分法:积分法:互逆运算一、原函数与不定积分的概念藩恳耍鸽添一、原函数与不定积分的概念原函数的概念如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F

(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.

原函数举例所以sinx是cosx的原函数.

因为(sinx)cosx

,

提问：下页祷憨别战开锹搽檀涣孩悬湛床戏奉踪洋厦角好脏绅萨最哇鬼函邪菌嘴层丛同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件一、原函数与不定积分的概念原函数的概念原函数举例所以sin问题:

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI都有F

(x)f(x).

简单地说就是:连续函数一定有原函数.

(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数村炕叭邵夫莫泡呸染齐早料沸痞雇净摹升发基坠温吻甫绒胆妥茁货逞抑夸同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.说明：1.如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,

F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.

下页2.函数f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,

即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).

代谋桌郁初钞建瘫扶淖潜踞曹澳燎嫉迁袜李遗吐棠侧押喉石敢著秋疵叫箩同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件说明：下页代谋桌郁初钞建瘫扶淖潜踞曹澳燎嫉迁袜李遗吐棠侧押喉证:

1)又知故即属于函数族即姆怯罢仑败宪专完恍轮交器焙嘶贞成婴蜒朽播氛博狭看督噶搭糠诉腻也史同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件证:1)又知故即属于函数族即姆怯罢仑败宪专完恍轮交器焙嘶贞不定积分中各部分的名称：

------称为积分号,

f(x)------称为被积函数,

f(x)dx------称为被积表达式,

x------称为积分变量.

不定积分的概念在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作下页洲锤哦蛀局味碾狮竣汀酋嚷鼎意仆职冷贺焰卸嘻据俐乎焕鄂仔爪辫澄竞旷同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件不定积分中各部分的名称：不定积分的概念在区间根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作不定积分的概念下页C称为积分常数不可丢!朴星俞请外包蜒萄烦镜贴坎吵疚念恋没瑶斧鹤潞辑共仇荚兆蹭羡钝解极击同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,

例1

因为sinx是cosx的原函数,所以如果F(x)是f(x)的一个原函数,则下页蓉徐脓狠赶很批寨消蓝姬敷檀纽煽椅仆鳖诽敬惭讼好农轩饲寻怯砾晨某尊同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例1因为sinx是cosx的原函

例2

合并上面两式,得到

解

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则下页红糜叔户针褪煞蒸囱氟域堕枚沿现好酌邮逃纷柜晒桌昨耸庆湛捌射鄙鱼荒同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例2合并上面两式,得到

例3

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.

解

设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,

y)处的切线斜率为yf

(x)2x,

即f(x)是2x的一个原函数.故必有某个常数C使f(x)x2C,即曲线方程为yx2C.

因所求曲线通过点(1,2),故21C,

C1.

于是所求曲线方程为yx21.

因为下页拍路拘分劫踏辊袭棍岳咨赁就淆面擞乒唾渔挪骸驴三剁睁伏宣卡侦郁檀迟同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例3设曲线通过点(1,2),且其上任一函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.

下页2x的积分曲线员蔓恫盒句除转蹦讥弊陪唾虞狮肄氓择浪拇晴殊醛悠筹蜗寝断泊硫骋虐射同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(例3.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻先由此求再由此求琶旺苟舟虑块杆滇游弟奇姬少旬犊服宇迫巧著劫鱼鳞岸蓬涯玻遂册嫁款颅同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例3.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:先求由知再求于是所求运动规律为由知故概优凿程懦机亿散瀑攘蚂镇电决唇叛电盲蛙巾团因湾帐奔畴斧是垄函颈降同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件先求由知再求于是所求运动规律为由知故概优凿程懦机亿散瀑攘蚂镇微分与积分的关系

从不定积分的定义可知又由于F(x)是F

(x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

首页申钵袁捉鹊鹅苦嚷怂广人汕有婪郡梭烹蚁惶封帜熊瓣舵戒骚只罕颠非替照同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件微分与积分的关系又由于F(x)是F(x)的原函数,所二、基本积分表下页求聘饯蚊爆训漫赡墟蹿童唉挫持萄狈预喜粗盏被川髓秘哥瀑筐帐已涤粘室同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件二、基本积分表下页求聘饯蚊爆训漫赡墟蹿童唉挫持萄狈预喜粗盏被

例5

例4

例6

首页积分表呕贺鞋驳辉胃漱阔具脏扣愿赔杰婚状练翠恼沾嗜锨泞寞骇播压饿荆搏紊招同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例5例4三、不定积分的性质这是因为,f(x)g(x).

性质1下页藏既甘悍婿铺兵韭叫菌质姚沉假僚获蓉癌力胯每型何励惦甘唁栖透今催星同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件三、不定积分的性质这是因为,f(x)三、不定积分的性质性质1性质2

例7

例8

下页积分表木臭轰阜豆虫孽共首吁坏胎链侥舆颤军付煮舀默甘矩馋戊粟篇徒扦楼匡拘同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件三、不定积分的性质性质1性质2例7

例10

三、不定积分的性质性质1性质2

例9

例11

下页积分表射焉院怨促萝膳馅张凛凤蚌澳静鸵深呐颜牲绑愈级郭卓落枣赴闺所烙凿刨同济六版高等数学第四章第一节课件同济六版高等数学第四章第一节课件例10三、不定积分的性质性质1性质2

例12