中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中数综专训【几何综合几何）精解在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题化为基本图形或者可与基本图形方法类比从使问题得到解决。在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形题与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思总题目中的基图形及辅助线添加方法题目归类整理对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。一考说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求运几何图形的相关知识和方两点之间的距离腰角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题解与切线有关的问题。图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。二基图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的基图形及常用的辅助线到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举：1、相似及圆有关的基本图形

A

C'

B'A

B'

O

C

BC

A

AD

D

E

F

C

BC

C

EC

D

B

O

D1G

FA

E．．．．。．．．．。ACB

F

D2、方形中的基本图形3、本辅助线（）平分线—过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（）中点相——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；共端点的等线段——旋转基本图形60，90°），构造圆；垂直平分线，平分线——翻折；转移线段——平移本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；特殊图形的辅助线及其迁——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。三题举例一)本形辅线添例1、已知：分MAN（）图1中若

，

ADC90

，

ABAD___

（填写“”“”或“（）图2中若

ABC

，则1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（）图3中①若

MANABCADC

，判断

与AC的量关系，并说明理由；②若

MAN

ABCADC

_____（用含三角函数表示，直接写出结果，不必证明）233解：(1)ABAD=AC．--------------------------------------------------------------------------1分(2)仍然成立．证明：如图2过C作CE⊥AM于ECF⊥于F，则∠CEA=∠CFA=90°．∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°

M

∴∠MAC=∠NAC=60°．又AC=AC，△AEC≌△AFC，∴，CE=CF．

∵在RtCEA中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，AC=2AE．∴AE+AF=2AE=AC．ED+DA+AF=AC．∵∠＋∠AD＝180°，∠∠ADC=180°，∴∠CDE=∠．又CE=CF，∠∠CFB，△CED△CFB．∴ED=FB，∴FB+DA+AF=AC．

FB∴AB+AD=AC．-----------------------------------------4分(3)①．

M证明：如图3，方法同(2)可证△≌△．∴．∵∠MAN=60°，∴∠GAC=∠HAC=30°．∴AG=AH=．∴3AC．

D

G

2∴GD+DA+AH=3AC．方法同(2)证△GDC≌△HBC．∴GD=HB，∴HB+DA+AH=．

HB∴AD+AB=

3

AC-------------------------------------------------------------------------------------6分②AB＋AD2·AC．-------------------------------------------------------------------7分例2知eq\o\ac(△,：)AOB，ABeq\o\ac(△,，)COD中OC,∠DCO连接AD、，M、、P分为OA、OD、BC的点

.BAM

AM

O

N

D3CD

(1)如图1，若

图1图2、OC三在同一直线上，且∠ABO，则△的状是________________，此时

________；(2)如2，若

、、三点在同一直线上，，eq\o\ac(△,明)PMNBAO

，并计算

的值（用含的子表示(3)在2中固定△AOB，△绕旋转，直接写出PM的大.例3、在eq\o\ac(△,Rt)ABC中ACB=90°tanBAC=BD，为BD中点

.点D在AC上不与A，C重结（过点D作DE⊥于E结CFEF图．设CF则k=；（）将图1中的△绕点A旋，使得D、EB三共线，点F仍为BD中点，如图2所．求证：BE-DE=2CF；（若BC=6点D在AC的三分点处线段AD绕转点F始为中点求线段CF长度的最大值．ADE

DFFC

C

C

B1

图2

备图解）=1；

………….………………（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与的交点为Q.1DE1，∴由题意，tan∠=.2AE2∵、EB三点共线，∴AE⊥.∵∠BQC=∠，∠=90°,∴∠QBC=∠∵∠∠ACG=90°，∠ACG=90°，△BCG∽ACE∴∴∠=∠BCG..

D

E

A

F∴

1AE

.∴GB=DE.

C

B图24∵F是中点，∴是中点.在△ECG中CF

,∴DECF

.

……5分（3）情况1：如图，当=

13

时，取AB的中点，连结MF和，

A∵∠ACB，tan∠=6∴AC=12，=.

，且=6,

∵为AB中点，∴=

3

M∵=∴=

1

.

，

F∵为AB中点，F为BD中点，∴FM=

AD

=2.

C

B∴当且仅当、F、C三点共线且在线段CF上时CF最大，此时CF+FM=

2

.6分情况2：如图，当AD

AC

时，取AB的中点M

D

连结和，类似于情况1，可知的最大值为435

.…7分

MF综合情况1与情况2，知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为45

.………8分

C

（）角角斜中+点圆例4、已知：在△中∠=90点E在直线上ED与线AC垂直垂为，且点M为中点连BMDM.如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所足的数量关系并接写出你得到的结论；如图2，若点E在BA延线上，你在1中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明若点在延线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及BMD与∠BCD所足的数量关.

M

C

C

图1

C

M

2（）长中的段例5、请阅读下列材料：问题形和形BEFG中，B，E

在同一条直线上是段5的中点，连结，

．若

，探究

与

PG的位置关系及的PC值．小聪同学的思路是：延长

交DC

于点

H

，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．DD

G图

F

图2

G

F请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（）出上面题中线段与PC的置关系及

PGPC

的值；（）图1中的菱形BEFG

绕点B顺针旋转，使菱形BEFG

的对角线恰与菱形

的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2在（）得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（）图1中(0

90

)

，将菱形BEFG

绕点

B

顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PGPC

的值（用含的子表示解）线段PG

与

PG的位置关系是；．PC（四）共端点的等线段，旋转例6、如图1，eq\o\ac(□,)中⊥于E，恰BC的中点，B.（）证：=AE；（）图2，P在BE上作EF于点，连结AF.求证：DFEF2

；（）你在图3中画图探究：当P为线EC上任意一点不点重）时，作⊥于连结AF线段EF与AF之有怎样的数量关系？直接写出你的结论6E图8E图8DF

DADE

E

E

图1图2证明）在△中，∠90°，AEtanB∴BE∴AE．1分

图3

H

D∵E为的中点，∴BC2∴.

．

F

2

1∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC.∴AE=AD.2分（2）在上截取DH=EF（如图∵四边形ABCD是平行四边形，⊥，

H∴∠90°．∵EF⊥PD，∠1＝∠，∴∠=∠AEF．∵=AE，∴△≌△4分

D∴∠=∠，AH=．∴∠FAH==90．在RtFAH中=AF，FH．∴FHFDAF即DFEF

图2AF．

F5分

（3）按题目要求所画图形见图9，线段DF、EF、之间的数量关系为DF．（）用移换移段类梯平对线例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角四边形。请解答下列问题：写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；探究当对角线四边形中两条角线所夹锐角为60°这60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。利用平移变换转移线作图8西城一模，）eq\o\ac(△,Rt)中，∠°，分别为，延线的点，与的点为P.（）BD=AC，AE=CD，图中画出符合题意的图形，并直接写出的度数；（）BD，CD3，求的数7解）如图，∠

45

°.„„„„„„„2分（2）解法一：如图10，将平移到DF，连接，EF．„„„„„„„„分则四边形是平行四边形．∴∥EF，．∵∴

BDCDAE3，3

，．

图9∴

ACCDBDDF

．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分∵∠C=90°，∴

BDF180

．∴∠C=∠．∴△ACD∽△．„„„„„„分∴∴

ADAC3BFBDEFAD3BFBF

，∠1=∠．．

图10∵∠∠3=90°，∴∠∠3=90°．∴BF⊥AD．∴BF⊥EF．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分∴在Rt中，

tanBEF

BFEF3

．∴∠=∠=30．„„„„„„„„„„„„„„„„分解法二：如图，将平移到DF，连接，，EF．„„„„„„分则四边形是平行四边形．∵∠C=90°，∴四边形ACDF是矩形，∠∠=90°∠1+∠°．∵在Rt中，在Rt中，30∴

tantan．

AEAE3DF

，，∴∠∠2=∠∠2=90°，即∠=90°．∴∠=∠．„„„„„„„

图又∵

DFAFBFEF2

，82222∴△ADF∽△EBF．„„„„„„„„„„„„„„„„„5分∴∠4=∠5．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„分∵∠∠4=∠+∠5，∴∠=∠=30°．„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分（）折等+等（角分类）例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四D边形．（）写出一你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图

A

E形的名称；（）图在中点，E分在AB，上设

B

，

相交于点

DCB

你写出图中一个与

A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（）△

中，如果

A

是不等于锐，点，E

分别在AB，AC

上，且1DCBEBCA．探究：满足上述条件的图形中是存在等对边四边形，并证明2你的结论．．解）回答正确的给分（如：平行四边形、等腰梯形等（2）答：与A相等的角是BOD或∠边形DBCE等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。证法一：如图，作⊥BE于点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。

A1因为∠DCB=EBC=∠A，BC为公共边，所以△BCF≌△，

F

DD

E所以BF=CG，因为∠BDF=∠∠EBC+∠DCB，BEC=∠∠A，所以∠BDF=∠，可证△BDF≌△CEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等边四边形。

B

CA证法二：如图，以C为顶点作∠∠DBC，CF交于点。1因为∠DCB=∠∠A，BC为公共边，所以△BDC≌△CFB，

DD

F

E所以BD=CF，BDC=∠CFB，所以∠ADC=∠，因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+ABE，∠∠A+∠所以∠ADC=∠，所以∠FEC=∠所以CF=CE，所以，

B

C9所以四边形DBCE是等边四边形。说明：当ABAC时，BD=仍成立。只有此法，只给分。二从目获方的发类解问（一）由角平分线启发翻折，垂线例1、图①，OP是MON的分线，请你利用该图形画一对以所直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：如图②，在△ABC中，∠ACB是角，∠=60°，、分是∠、∠BCA的平分线，、CE相于点。请你判断并写出FE之间的数量关系；如图③，在△ABC中，如果∠ACB不直角，(中的其它条件不变，请问，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：图略（1）FE与FD之间的数量关系为＝。（2）答）中的结论＝FD仍然成立。证法一：下图，在上截取AG＝，连结FG因为＝，AF为公共边AFG，FE＝FG

可证AEF≌AGF所以∠＝∠由∠B＝60°，AD、分别是∠、∠BCA的平分线可得∠2＋∠3＝60°所以∠AFE＝∠＝∠＝60°所以∠CFG＝°由∠3＝∠4及为公共边，可得△≌△CFD所以FGFD所以FE＝FD证法二：下图，过点分别作⊥AB于点G，FH⊥BC于点H因为∠B＝60°，且AD、CE分别是∠、∠BCA的平分线，所以可得∠2＋∠3＝60°，是△ABC的内心所以∠GEF＝60°＋1，FG＝FH又因为∠HDF＝∠B＋∠

所以∠GEF＝∠HDF因此可证△EGF≌△所以

FE＝FD（）发用心中，点关容例2、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此10性质解决下面的问题已知：如图，点O为腰直角三角形的心，，线m过,过、、C

三点分别作直线

m

的垂线，垂足分别为点

D、、F

.当直线与BC平行时（如图1你想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；当直线m绕点O旋转与BC不行时，分别探究在图2、图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．A

ADBECF

三者之间

mE

O(D)

F

E

D

F

m

O

D

F

B

C

E

图1解（1）猜想：BE+CF=AD证明：如图，延长AO交BC于点，

图„„„„„„„„„„„„1分

图A∵O为等腰直角三角形

ABC

的重心∴AO=2OM且AM⊥

E

F又∵EF∥BC

∴AM⊥EF

(D)∵BE⊥⊥EF∴EB∥OM∥

BM

C∴EB=OM=CF

图1∴EB+CF=2OM=AD

„„„„„„„„„

（2）图2结论：BE+CF=AD证明：联结AO并延长交BC于点G,

H

O

F

过G做GH⊥EF于H由重心性质可得AO=2OG

G图

∵∠ADO=∠OHG=9,∠AOD=∠∴△AOD∽△GOH∴AD=2HG

„„„„„„„„„„„„分∵O为重心

A∴G为BC中点

F

m∵GH⊥⊥⊥∴EB∥∥CF

B

O

D∴H为中点

C∴HG=

(EB+CF)

E

图11∴EB+CF=AD(3)CF－BE=AD

„„„„„„„„„„„„„„„„分„„„„„„„„„„„„„„„（）特形题发造些等角例3、如图①为内点，连接PB、，在、PBC和△中如果存在一个三角形与相，那么就称为△ABC的自相似点．图②，已知eq\o\ac(△,Rt)中∠=90，∠＞∠，是上中线，过点作BE⊥，足为，说明是的自相似点．在△ABC中，A＜∠＜∠．①如图③，利用尺规作eq\o\ac(△,出)ABC的相似点P（写出作法并保留作图痕迹②若△ABC的内心P是三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．AAADPBCBCBC①②③(三一多解与题目的变式及类题、M为正方形ABCD的（或延长线上）任一点（不重

DC

，射线与

的外角平分线交于N，证：

N【变式】、方法类比，改变图形（）边三角ABC中，在BC边上任取一点（与，重合作

AMBEA

，DE交C的外角平分线，判断的状，并明。

若射线B上一点，上述结论是否成（(2008西一模，25)如,正六边形点M在AB边，

B

D

CFMH

与六边形

外角的平分线BQ交点

当点M不与点A、重时，求证：∠当点M在六边形ABCDEF一AB上动点M不与点重合时猜想FM与的量关系，并对猜想的结果加以证.

、变背景

AC（密云一模）如图，边长为的方形的顶点O在标原点处、C别在x轴y轴的正半轴上E是OA边上的不与点A重EF⊥CE与方形外角平分线交于点P.坐标为(3时试证明CE；（）点

BE

P

F（）果上条件“点

坐标为3，为点

坐标为（t

，t12CE

是否仍然成立，请说明理由；（）

轴上是否存在点

，使得四边形

BMEP

是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理.AD、图，在正方形中，、F分是BCCD上点，且EAF＝°，求证：EF＝BE＋．【变式】方法类比，特殊到一般削弱题目条图四边形ABCD中∠°F别是CD的点EAF的半么论＝BEFD是仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并

E

F证.改变图形）四边形BCD中＝，＝°延长C到点长到使EAF仍是的一半论E＝＋

是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证.

、转特殊角度转移线段，比较线段大小（求25）知：等边三角形如图1，为边△外点，且∠BPC=120°．猜想线段、之间的数量关系并明你的猜想；如图2，为边△内点，且APD=120°．证：A

AB

B

P图1

C

C图2

D【类题1、知在△ABC中，BC=a，，AB为作等边三角形ABD.探下列问题:（1D与C位直AB的两侧时ACB=60°CD=；（2D与C位直AB的同侧时ACB=90°CD=；（）图3，当ACB变化,且与点位直线AB的侧时，求CD的大值及相应的∠ACB的度数.

AD

A

B

D图1

图2

图313解

；„„„„„„„„„„„„„„„„’（2

；„„„„„„„„„„„„„„„„2’（3以点D为心，将△逆时针旋转，则点B落在点A点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，CDE=60°AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.„„„„„„„„„„„„„„„„4’C

CB

AED当点E、A、不一条直线上时，有CD=CE<AE+AC=+；当点E、A、在条直线上时，有最大值，CD=CE=+b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠°„„„„„„„7’因此当∠ACB=120°时，有最大值是a+.（三）启构三角转线例2、已知：PA，PB以AB为一作正方形ABCD，P、D两落在直线AB的侧如图，当∠APB=45°，求AB及PD的长当∠变，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的小例3、如图1，在梯形ABCD中AD∥BC∠C=90°，点为CD的点，点F在边BC上，且∠FAE=∠DAE．请你通过观察、测量、猜想，得出AEF的度）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取若梯形ABCD中∥，C不直角，点在底边BC或延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（）得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；不都成立，请说明理由．图1

图2

图【类题点A分是两条平行线上意两点是线一点ABC=°点在的长线上,＝(k≠).（）k＝时在图）中，作＝∠ABC，交线于F.，写出线段EF与EB14．．．．．．．．．．的数量关系，并加以证明；（）≠，如2)，BEF＝ABC，它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．（）2）(四方的综合应用．1、图，已知△ABC边上分别取两点，E（1）请在BC

（BC

的中点除外），结

AD，

，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（）你根据1成立的相应条件，证明AD

．

2、题：已eq\o\ac(△,知)ABC中，eq\o\ac(△,是)内一点，且ADCD=BA。探究与度数的比值。请你完成下列探究过程：先将图形特殊化出猜想再对一般情况进行分析并加以证明。(1)当=90问中的条件补全右图。观察图形，与的量系为；当推出=15进步推的度数为；

B可得到与度数的比值为；(2)当画图形研与度的比值是否与中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。3、△中，点P为BC的中点．

C

A（）图1，证AP

（+（）长AB到D使得，延长AC到，使得，结．①如图，连结BE，若∠°请你探究线段BE与段AP之的数量关系．写出你的结论，并加以证明；15②请在图3中明BC

DE．4、eq\o\ac(□,在)eq\o\ac(□,)中，∠的分交直线于，直线于F。（）图1中明

CECF

；（）

，是的点（如图2接写出BDG的度数；（）

，∥，FG，分别连结DB（如图3∠BDG的数。

A

D

A

DA

B

C

B

E

C

BE

CF

G

F

F(五)动点问与类论不定引分讨等三形角点相三形应；已两（点+限制条定行边（殊形；注：类重漏动问定点由置不定发分讨1、eq\o\ac(△,Rt)中，∠°，BC，=50．点P是边任意一点，直线PE，与边或BC相交于．在段上点N在段BP