2020高考数学二轮复习题型汇编《第4讲利用导数证明不等式(1)》(学生版)

第4讲利用导数证不等式（一）[基回顾]1.用不等式的生成在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与e

、ln有的常用不等式等方法行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈

、ln有关的常用不等式的生成．（1）成：用线切进放设y上一点P的坐标为，过该点的切线方程为

xy

可与

有关的不等式

x

R，等号当且仅当时立．特别地，当，有

当时有e

．设ln上一点Q的坐标为则过该点的切线方程为

n

，由此可得与ln有关的不式：其中x，，等号当且仅当n时立．特别地，当，有lnx；时有lnx．利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．生二利曲的切线行缩由图1可x

x；由图2可ln；由图可，ln（xxxln

111（4可xx（0x（xx2x2综合上述两种生成，我们可得到下列与x有的常用不等式：与ex有的常用不等式：ee

（R（xR）与lnx有的常用不等式：（1）

lnx1（2）lnx（xex（3）lnx

（0xx

（11（4）lnx（x（）x用取的位置，相应的可得到ln等．2.数平均值不等式链我们将两个正数和的对数平均值定义为：L,

a,lna，数平均值不等a,a式链为：

2a22La．122a2对数平均值不等式链的指数形式为：11b

bebe2a2

b

，其中a．[完美题型展现]题型一

单变量不式构造单函数求最值例国)已知函数fx＝lnx＋＋＋.讨fx的单调性；3当时证明fx)≤－4a玩转秘籍证明fxgx的般方法是证明hx)f(x－(x利用单调性为数求最值。[题型特训1.已知函数f

axb，曲线yfx在1,f1处的切线方程为y．xx求a、b的；证明：当，时f

lnx

．题型二

单变量不式构造双函数求最值例

(201·新课标全国)设函数

f(x)

lnx

，曲线

yf()在点(1,f(1))处切线方程为

y(（I）求

b（II）证明：

f()xx玩转秘籍t

1x

21xxexxx11lnxeex

2xy

1e

nlnxx[题型特训1.已知函数(x)＝xx－ax.(1)a＝－时，求函数)在(0，＋∞)上的最值；(2)明：对一切x∈(0＋∞)，都有lnx＋1>

12－成立2x题型三双变量不等式证例3(2018·全国已知函数

x

x

lnx．⑴讨论f⑵若f值点x，x，明：

fx

a．22玩转秘籍对两未数函不式题其键于两未数归为个知，见证方有下种：方1利换法化为一未数方2利未数间关系元化为个知方3分未数构函数利函的调证方4利主法构函数明[题型特训1．京模拟已函数f求函数f设，明：0g题型四

数列不等证明例4已函数fx.（1)f的11（2）设整数，且对于任意正整数，1

L

11

，m的小.11玩转秘籍1【评12

122

L

1nln1ln2

mln有ln[题型特训1．设数f（1）若f

x

数的取值范围；（2）设n

*

，比较g[特训作业]1.已知数f

ax，曲线yfxx

x．求、b的；证明：当，时f

lnx

．已知数f

xax

x

（、R（1）若a，求函数Ffxlnx的调区间；e（2）若a，b证：f

bxln．已知数x．（1）求曲线

x

（2）求证：f

．4.已函数

（其中a（1）若曲线

x

在点f0

x0

处的切线方程为

，的；（2）若

e

e

是