任意角和弧度制、任意角的三角函数高一

.z.个性化教学辅导教案学科：数学年级：高一任课教师：授课时间：2017年秋季班第12周教学课题任意角和弧度制、任意角的三角函数教学目标1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.教学重难点任意角三角函数的理解教学过程突破点(一)角的概念根底联通抓主干知识的"源〞与"流〞1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类角的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按顺时针方向旋转形成的角,负角：按逆时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的终边在第几象限，这,个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))3.象限角的范围角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为4．终边一样的角所有与角α终边一样的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．考点贯穿抓高考命题的"形〞与"神〞终边一样的角[例1](1)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(*＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(*\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，则()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边一样的角为________．[方法技巧]终边一样角的集合的应用利用终边一样的角的集合可以求适合*些条件的角，方法是先写出与这个角的终边一样的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．象限角[例2](1)给出以下四个命题：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)假设角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角[方法技巧]确定eq\f(α,n)(n≥2，且n∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边一样角的形式表示出角α的范围；②写出eq\f(α,n)的范围；③根据k的可能取值讨论确定eq\f(α,n)的终边所在位置．(2)等分象限角的方法角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq\f(α,n)是第几象限角．①等分：将每个象限分成n等份；②标注：从*轴正半轴开场，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到*轴正半轴；③选答：出现数字m的区域，即为eq\f(α,n)的终边所在的象限．能力练通抓应用体验的"得〞与"失〞1.eq\a\vs4\al([考点一、二])给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不管是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；④假设cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．42.eq\a\vs4\al([考点一])集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影局部)是()3.eq\a\vs4\al([考点二])假设α为第一象限角，则β＝k·180°＋α(k∈Z)是第________象限角．4.eq\a\vs4\al([考点一])终边在直线y＝eq\r(3)*上的角的集合为________．5.eq\a\vs4\al([考点一、二])α与150°角的终边一样，写出与α终边一样的角的集合，并判断eq\f(α,3)是第几象限角．突破点(二)弧度制及其应用根底联通抓主干知识的"源〞与"流〞1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．弧度制下的有关公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2考点贯穿抓高考命题的"形〞与"神〞扇形的弧长及面积公式[典例](1)扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4 D．2或4(2)假设扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝________cm.(3)一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．能力练通抓应用体验的"得〞与"失〞1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．2．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．3．扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？突破点(三)任意角的三角函数根底联通抓主干知识的"源〞与"流〞三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(*，y)，则y叫做α的正弦，记作sinα*叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,*)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线考点贯穿抓高考命题的"形〞与"神〞三角函数值的符号判定[例1](1)假设sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定根据三角函数的定义求三角函数值[例2](1)角α的终边经过点P(4，－3)，则sinα＝________.(2)假设角α的终边在直线3*＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3](1)假设角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，则a的值为()A．4eq\r(3)B．±4eq\r(3)C．－4eq\r(3)或－eq\f(4\r(3),3)D.eq\r(3)(2)假设420°角的终边所在直线上有一点(*,3)，则*的值为________．[方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)角α的*三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上*特定点的坐标．能力练通抓应用体验的"得〞与"失〞1.eq\a\vs4\al([考点一])假设θ是第二象限角，则以下选项中能确定为正值的是()A．sineq\f(θ,2)B．coseq\f(θ,2)C．taneq\f(θ,2)D．cos2θ2.eq\a\vs4\al([考点一])θ是第四象限角，则sin(sinθ)()A．大于0B．大于等于0C．小于0D．小于等于03.eq\a\vs4\al([考点二])角α的终边与单位圆的交点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*，\f(\r(3),2)))，则tanα＝()A.eq\r(3)B．±eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D．±eq\f(\r(3),3)4.eq\a\vs4\al([考点二、三])设α是第二象限角，P(*,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)*，则tanα＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)5.eq\a\vs4\al([考点三])角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练根底小题——强化运算能力]1．假设cosα>0且tanα<0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．假设α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是()A．重合B．关于原点对称C．关于*轴对称D．关于y轴对称3．假设一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\r(3)D．24．角α的终边与直线y＝3*重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝eq\r(10)，则m－n等于()A．2B．－2C．4D．－45．设角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第________象限角．[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．sinθ－cosθ>1，则角θ的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．假设α是第三象限角，则y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))的值为()A．0B．2C．－2D．2或－23．角α的终边经过一点P(*，*2＋1)(*>0)，则tanα的最小值为()A．1B．2C.eq\f(1,2)D.eq\r(2)4．如图，在直角坐标系*Oy中，射线OP交单位圆O于点P，假设∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)5.A={第一象限}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则A,B,C的关系是〔〕6．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 〔〕 A．2 B．C． D．二、填空题7．点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，则θ是第________象限角．8．角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则m＝_____