武汉科技大学831概率论与数理统计2004-2017(2005-2006,2011-2017有答案)考研真题+答案

武汉科技大学2004年硕士研究生入学考试试题课程名称：概率与数理统计 总页数：3第1页说明：1.适应专业：管理科学与工程.可使用的工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效一、填空(每空4分).已知P(4)=0.2z=1,2,3,4,5,且各A,.相互独立。则A，&，A，A4,4至少发生一个的概率为.已知X〜N(2,3?),且P(X>C)=P(X<C),则常数C=.已知XI的相关系数Pxy=06Z=2Y+\,则X,Z的相关系数Tz=一.设总体X〜NQDX#2X5为样本。若C(X1+Xz)服从.分布,则Jxj+Xj+Xs?常数c=.在显著性假设检验中，检验水平是用来控制犯第类错误的概率的。二、单项选择题(每题4分).设每次试验成功的概率为“，0<〃<1,则在两次重复试验中TOC\o"1-5"\h\z至少成功一次的概率为( )A.p(l-p)+p2 B.p(l-p)C.2p(l-p) D.2p(l_")+p2.设随机变量X〜N(〃q2),则随着o■的增大，P(|X-〃|<2b)的变化趋势是( )A.单调增大 B.单调下降C.保持不变 D.增减不定.X,y是两个随机变量，下列说法正确的是( )A.E(X+Y)=EX+EY B.D(X+Y)=DX+DYC.E(XY)=(EXXEK) D.D(XY)=(DX)(Dr)总页数：3第2页.X〜N(〃q2)X”X2为样本，下列关于〃的估计最有效的是( )A.//=A.//=0.3X1+0.7X2B.0=0.5X|+O6X2C./z=max{XpX2} D./}=min{XpX2}.在显著性假设检验中，如果在水平a=0.05下接受了“。,则在水平a=0.01下关于名下列说法正确的是（ ）A.必接受 B.必拒绝C.可能接受也可能拒绝 D,不能接受也不能拒绝三、计算题（每题10分）.已知P（A）=0.2P（fi）=0.3,且尸（A|8）=P（A|耳），求P（AB）..设有甲、乙、丙三门火炮，同时独立地向目标射击，命中率分别为0.2,0.3,05目标被命中一发而被击毁的概率为0.2,被命中两发而被击毁的概率为0.6, 为0.9, 欢司时向目卞^I■『次①求目标被击毁的概率。②求在目标被击毁的条件下，只有甲火炮击中目标的概率.设连续型随机变量X的分布函数为0x<0F（x）=-Ax20<x<l1\<x①求常数A②求X的概率密度③求P（X》g）.设二维随机变量（x,y）的联合密度为[4xy0<x<1Qy<",叫（/其它①求p（x=y）②求p（x<Y）总页数：3第3页.设X〜N（0,l），求y=X2的概率密度..已知£X=EY=0,DX=DY=\,X,Y的相关系数必丫=。$，求E(x+yy.设相互独立的两随机变量x,y具有相同的分布率：p(x=o)=p(x=1)=12求max{X,Y}和min{X,Y}的数学期望..已知随机变量X的分布率如下：X0i2Pe201-3(9其中0<8<1,利用样本观察值：0,1,1,2,0,求。的矩估计和极大似然估计.1〃 _.设总体X〜,X”是样本，求%使3=7Z|X,--刈为o■的无偏估计，其中又‘之X,.〃,=i.设某产品的指标服从正态分布，它的均方差。=150小时。今在一批产品中随机抽查36个，测得指标的平均值为1637小时。问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的平均指标为1600小时？附：0)(1.96)=0.975,0(1.65)=0.95.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg〃)与消光系数读数的结果如下：尿汞含量x246810消光系数y64138205285360已知它们之间有关系式：y=0o+/3'X+£,£~N(0,/),试求用,片的最小二乘估计。武汉科技大学2005年硕士研究生入学考试试题共4页第1页考试科目及代码：概率论与数理统计423说明：1.适用招生专业：管理科学与工程.可使用的常用工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效。一、填空(每空4分).已知事件满足尸(A8)=P(,耳)，P(A)=0.6,则P®= .三个球随机地放到三个盒子中去(每个盒子装球的个数不限)，则出现空盒的概率为.设随机变量X的概率密度为/(x)=Cg6co<x<+则常数C= .已知DX=16,0y=25,Z)(X+y)=49,则X,F的相关系数夕放=.设随机变量X的期望EX=〃,方差。X=",根据切比雪夫不等式可估计P(|X—〃K3b)>二、单项选择题(每题4分)A,8是事件，P(AB)=O,则()(A)A」不相容； (5)A和6相互独立；(C)P(A*或尸俘)； (D)P(A-P(；2.设随机变量X,y相互独立，且X〜N(M，b：),丫〜则下列结论TOC\o"1-5"\h\z正确的是( )第2页X-Y~—3_/2,5~ ;x_y〜N(m-〃2，bJ+%")；(C)x-y〜n(m+〃2,5~一%?)；(D)x-y〜n(a+4必2+白).设X,y为两个随机变量，且/xy=o,则x,y( )(A)一定独立； (5)一定不独立；(C)不一定独立； (。)以上结论都不对..设X，，先是相互独立的随机变量序列，且有相同的分布。又设EXt=DX,=o-2(<7>0,i=1,2,),记Z“=£x,.,则当n充分大时，有;=1()(A)Z,,的分布近似于N(〃〃,,q2)；

(8)Z”的分布近似于N(O,1)；Z„的分布近似于N(〃,4)；(£))Z“的分布近似于N(〃〃,JY/).5.设总体X~N(〃,4),牛9户3为取自X的容量为3的样本，设〃的三个估计,1 1 1 ,32从=5/\》2+3羽 ^=5X'+~5X?,111〃3=万石+-X2+~X3则下列说法正确的是( )(A)三个都不是〃的无偏估计； 第3页(B)三个都是〃的无偏估计，U最有效；(C)三个都是M的无偏估计，用最有效；(。)三个都是〃的无偏估计，用最有效.三、(10分)设A,B为随机事件，又已知P(A)=0.8,P(B)=0.6,P(B|A)=0.7,求P（A|耳）.四、(10分)已知甲盒子中有3个黑球，1个白球；乙盒中有2个黑球2个白球。先从甲盒中任取1球A放入乙盒中，再从乙盒中任取一球8,求8为黑球的概率；若已知8是黑球，求A是黑球的概率。五、(10分)设X服从参数为2=1的指数分布，即概率密度为y(x)=0,xy(x)=0,x>0其它求方程-X+8=0(关于f的方程)无实根的概率.六、(io分)已知x~n(o,i),求y=x3的概率密度.七、(10分)设随机变量X的概率密度为/(x)=^eM-0°<X<4-00求EX,DX.八、(10分)已知(X,y)的联合分布函数为

F(x,yAl-e-x-e-2y+e-i+e,»x>Qx>F(x,yA0, 其它九、（10分）设二维随机变量（X,丫）在圆f+y241上服从均匀分布，判断X,y是否相关，是否独立？ 第4页十、（10分）银行某窗口为顾客服务，每个顾客接受服务的时间T（分钟）服从2=0.2的指数分布，即T的概率密度为/(0=0.2"0,/(0=0.2"0,,t>其它求在一小时内该窗口能服务完16名顾客的概率的近似值.（用①（x）表示）H^一、（10分）设总体X〜N（〃,4）,X„,X"为来自X的样本，又为样本均值,问样本容量〃应取多大，才能使①E|X-x/|2<0.1；（2）£|X-/z|<0.1.十二、（10分）设总体X服从参数为。的指数分布，即概率密度为，‘、x>00,其它其中。>0为未知参数，又设X1,,X"为来自总体的样本，①求。的最大似然估计自；②若记a=〃[min（X1, 比较自，a哪个有效？十三、（10分）用某种仪器间接测量硬度，得到的测量值X〜N（〃,4）,重复测5次所得数据是：175, 173,178, 174, 176而用另外精确的方法测量硬度为179,试问此仪器间接测量有无系统误差？（取检验水平a=0.05）附：Qo5（4）=2.1318；r005（5）=2.0150；r0025（4）=2.7764；%必(5)=2.5706武汉科技大学

2005年硕士研究生入学考试试题参考答案考试科目及代码：概率论与数理统计4235.8/91.0,4； 2.5.8/91.D；2.B；3.C； 4.A； 5.B.三、由0.7=P(B|X)=P(B)-P(AB)三、由0.7=P(B|X)=P(B)-P(AB)0.6—尸(A8)P(A)=>P(Afi)=0.46所以P(A|耳)=P(A)-P(A3)0.8—0.46P(B)四、解：记A为“A是黑球”；彳为“A是白球”8为“8是黑球”：片为“8是白球”根据全概率公式，尸(3)=P(B|A)尸(A)+P(B|A)P(A)P(B\A)P(A)3321 11P(B\A)P(A)根据贝页斯公式，P(A|3)=、।'''P(B)_9/20 9-11/2O-7T五、解：P(A<0)=P(X2+4X-32<0)=P(-8<X<4)=j^f(x)dx=^e~'dx=l—e~4=0.98.六、解：设弓(y),4(y)分别为丫的分布函数和密度函数,FY(y)=P(Y<y)=P(X3<y)=P(X</)=①(a)七、解：因为货(x)为奇函数，所以EX=[xf{x}dx=0

DX=EX2-(EX)2=EX2=['x2f(x)dx=£xe~xdx=2.八、解：p(x>i,r>1)=1-p(x>i,r>1)=1-p({x<i){r<ij)=i-p(x<i)-p(y<i)+p(x<i,y<i)=1-F(1,-k»)-F(-k»,1)+F(l,l)=l-(l-e-|)-(l-e-2)+l-e-|-e_2+e_3=e-3九、解：（x,y）的联合密度为f(x,y)=<%f(x,y)=<%0,x2+r2<i其它广+oo人(x)=L=<—Vl-x2,|x|<l故fx(x)=〃0, 其它r=i钾f(\~^~y2/5区1向理，6(y)=Jnv0, 其它因/x(x)/y(y)x/(x,y)，所以，x,y不独立•由对称性，EX=jjxf(x,y)dxdy=jjx—dxdy-0RxR j^+y2^!冗EY=jjyf{x,y)dxdy=JJy-dxdy=0RxR 几E(XY)=|Jxyf(xyy)dxdy=||xy—dxdy=^)RxR 冗所以，Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0,X,Y不相关.十、解：设7；（i=l,2,,IS为每位顾客接受服务的时间，则E7；=5,。4=25,记X=J；7；,由中心极限定理>=1P(X<60)=P(X-EX4dxP(X<60)=P(X-EX4dx60-EX4dx60-16x5^716x25J=1-0(1.5).HH^一、解：①E|X-〃『=o(X-〃)+[E(X-〃)]2=Y0.1n=>h>40.EIX-^^J--^=<0A=>n>—=255.nTOC\o"1-5"\h\zn 9十二、解：①L（e）=巾i=l 8]〃LnL{0}--nLnO 'v°i=\dLnOnISna =——+r>x.=0=>^=Xdd00Ti——0 X>0②九n(X)=〃6 '|o, 其它D6X=-0\D(9,=n2Z)[min(X1,,Xn)]=n02n当〃>1时，D0.<Doz,故a比a有效.十三、解：/：〃=179c%179TOC\o"1-5"\h\z|5 115x=-^.r,=l75.2,s=立U,-^)2=1.9245i=i V47天-氏厂175.2-179/t，t=——Vn= V5=-4.416s 1.924%2(〃T)=ho25(4)=2.7764,因l”>h025（4），所以拒绝“°，即此仪器间接测量有系统偏差.武汉科技大学2006年硕士研究生入学考试试题考试科目及代码：概率论与数理统计423共4页第1页说明：1.适用招生专业：管理科学与工程.可使用的常用工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效。.考试时间3小时，总分值150分。一、填空(每空4分).已知尸(A)=0.3,尸(8)=0.5,尸(A8)=0.6,则尸(A|8)=.盒中有2个红球，3个黑球。5个人每人从中抽一个球，则第二个人抽中红球的概率为0,x<0.已知随机变量X的分布函数为b(x)=<左，但x<,则P(X>；)=_1,x>1.已知二维随机变量(X；)〜N(0,0,2,2,0),则尸WK<?=(用①(x)表示).设X”，X《来自总统N(0,16),则X1-又的方差。(X1-又)=二、单项选择题(每题4分).一枚硬币抛掷2次，A,.表示第，次正面朝上，1=1,2则“至多有一次正面TOC\o"1-5"\h\z朝上”可表示为( )a.44A4 b.44第2页C. D.Aa2.设函数/(x)在区间勿上等于sinx,而在此区间外等于0,若/(x)可作为某连续性随机变量的概率密度函数，则区间团,勿为( )A.[0〃/ 8.[0行C.卜乃/2, 田/.设X〜N(2,l),y=aX+/?〜N(0,1),则a,。的值为()A,a=2,b=C.ci—19b—— D.ci——1—.设随机变量X的方差OX=2,£X2=18,则X的期望EX=( )A.16B.20C.4D「"5.设X”，X“来自总体M4,/：,则--//A服从的分布为b/=l()A.z2(«)B先2g1)。nJ)D-t.,三、解答题(每题10分)L盒中有7个合格品，3个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回盒中，以X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求X的分布律，并求概率P{X<3}。第3页.设某人射击一次时击中目标的概率为0.2,现他从1、2、3、4四个数字中随机抽一个，抽得的数字即为他向目标射击的次数。求这人击中目标二次的概率..设随机变量X的分布函数为0,x<0F(x)=<x,x<1,x>1求随机变量X的期望EX和方差DX..设随机变量X〜N(0,l),y=x2(1)计算p(x>y).(用<d(.)形式表示)(2)计算E(2X+Y).已知事件A8相互独立，证明事件用5也相互独立..已知P(AX0,P(B)=0.6,尸(AB)=0.4,求下列概率：P(A\B),P(A\B).设某种电子元件的寿命服从正态分布N(40,100),随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。①⑴=0.8413①(2)=0.9772.已知随机变量(X,Y)的分布律为i200.150.151aP且知X与丫独立，(1)求a、°的值。(2)令Z=X—2Y,求X与Z的协方差.第4页.设随机变量X〜N(-2,9),丫在区间(-2,4)上服从均匀分布，令U=3X2+4Y2-XY-4(1)若X与丫相互独立，求E(U)；(2)若X与丫的相关系数为Pxy=-0.4,求E(U).设总体X的密度函数为其中。是未知参数，且。＞0。x„，士为来自总体的样本，试求。的最大似然估计量。.已知某种食品每袋标准重量应为50克,现随机抽查市售的该种食品4袋测得重量如下：45。49.5,50.5,46.5,设每袋重量服从均方差为3(克)的正态分布，试在显著性水平a=5%下检验该食品平均袋重是否合格。附表：X1.2S1.6451.96①(x)0.90.950.975武汉科技大学2006年硕士研究生入学考试试题解答考试科目及代码：概率论与数理统计423一、1.0.4； 2.0,4； 3.0.75； 4.0(0.5)； 5.12.

二、l.C；2.A；3.C；4.C；5.A._、1.X12347/107/307/1201/120尸(X<3)=—152.设x为该人击中目标的次数，y为抽得的数字，则4p(X=2)=ZP(X=2|Y=Z)P(y=64=2=[0.2•尸(A8TP(A)P(出)P(A.P(B)1-P(B) P(P)7.设电子元件的寿命为X,取的5个元件中有•尸(A8TP(A)P(出)P(A.P(B)1-P(B) P(P)7.设电子元件的寿命为X,取的5个元件中有丫个元件的寿命小于50,则X〜N(40,1ooy,S〜)3，=PPWX(], 1DX(x--)2dx=—2 124.⑴尸(X>y)=p(x>x2)=p(o<x<i)=①⑴-①(o)E(2X+r)=2EX+EX2=2xO+DX=1.证明：因为A,8相互独立所以=P(B)-P(AB)=P(8)-P(A)P(8)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B)所以，4豆相互独立.ad/Xs、P(Z8)P(B)_P(AB)0.6-0.41.P(AD)= = = =—P(B)P(B)0.6 3P(X450河卷斗中(P(y=2)=0p(1-/)=0.(0.028).⑴因x,y相互独立，p(x=o,y=1)=p(x=o)p(y=i)即0.15=0.3(0.15+a)na=0.35、同理，p=0.35(2)cov(X,Z)=cov(X,X-2Y)=cov(X,X)=DXDX=P(X=0)P(X=l)=0,21.(1)EU=3(£>X+(EX)2)+4(OY+(£K)2)-EXEY-4=3(9+4)+4(3+1)-(-2)1-4=50(53)(2)EU=3(OX+(EX)?)+4(DY+(EK)2)-£(XK)-4E(XY)=EXEY+ =—2x1—0.4EG=-2-1.273E(7=50+1.2n/3=55..〃。)=立/("=/区产i=lInLe中〃夕一)1(分dlnLn.,A„an =-+ln(xx“)=0n6=——； d00 ln(x,xn).设每袋重为X(克)，X〜N(〃,3?)H0:〃—〃q—50,H声f检验统计量U=-二少=147.87[501=]42(y/y/n3/J4%/2=〃o.o^]・9，因L42V1.96,故接受“。，认为食品平均袋重合格.武汉科技大学2007年硕士研究生入学考试试题考试科目代码及名称：423概率论与数理统计 共4页第1页说明：1.适用专业：管理科学与工程.可使用的常用工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效.考试时间3小时，总分值150分一、填空题(每题4分，共20分).已知0(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6则P(A-B)=.有5件产品，其中2件是次品。从中任取2件，恰有1件是次品的概率为 .设兑卜为两个相互独立的随机变量P(X41)=0.5 P(r<l)=0.4Z=max{X,y}则尸(zWl)=.已知随机变量X〜N(0,1),则随机变量y=2X+l的概率密度4(y)=.已知二维随机变量(X,y)服从区域G:0WxWl,0WyW2上的均匀分布,则尸(0wyw1/2)=二、单项选择题(每题4分，共20分).设尸(A)=0.2,尸(8)=0.5,尸(A3)=0.1,则事件A,B( )A.相互独立 B.相等C.互不相容 D.互为对立事件.已知随机变量x,y的方差存在，且cov(x,y)=o,下列结论错误的是()共4页第2页A.匕Y不相关 B.D(X-Y)=DX+DYC.E(XY)=(EX)(EY) D.D(XY)=DXDY3.已知X〜为未知参数，XI,,Xs是来自X的样本。下列式子不是统计量的是( )X,-X2 B.X-EX

C.minfXp,X5C.minfXp,X5}\~DX«=1J4.在显著性水平为a的假设检验中，”。为原假设，下列说法正确的是( )A.”。为真时，拒绝儿的概率不超过a。4为假时，接受H。的概率不超过a。C.使用这种检验法，结论错误的概率为a。D.使用这种检验法，结论正确的概率为1-a。5.设£X=£Y=2,Cov(X,Y)=-L则£(XY)=( )三、解答下列各题(每题10分，共50分).已知尸(A)=0.7,4(7—5)=0.3,试求尸(M)..已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率是0.03,求：①任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；②一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率..设随机变量I的概率密度为f(x)=Ce~M-oo<x<+a>求常数C和尸(0<X<1)..设随机变量X与丫独立且均在(0,1)区间上服从均匀分布，F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数求：①P{X+Y<1};②/(0.5,0.5)5..已知£¥=£丫=0,DX=DY=\,X,Y的相关系数=。$，求E(X+y>四、解答下列各题(每题10分，共60分).已知x〜n(o,i),求y=ixi的概率密度..设X「X2，,X$是来自总体X〜N(10,24)的简单随机样本，试求P(\X-EX\<\).(结果用中(x)表示).假设一条自动生产线生产的产品是合格品的概率为0.8,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,这批产品至少要生产多少件？①(1.64)=0.95.设X”X2,…,X”(〃>2)为来自总体N(0,4)的简单随机样本，》为样本均值，记匕=X,-£i=l,2,…,〃.求：匕与匕的协方差。叭耳,匕).共4页第4页.已知随机变量X的分布率如下：X0i2pe201—3。其中0<8<1,利用样本观察值：0,1,1,2,0,求。的矩估计和极大似然估计..设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望〃和方差，均未知，抽查10件，测得重量为X,.斤，i=l,2,…,10。算出_ 1 10 10 _X=—yX,.=5,4 y(X,.-X)2=3.6iotr， A'给定检验水平a=0.05,能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？附： ti-0.025(9)=2.2622 ti-o.o25(lO)=2.2281 ti.o.o5(9)=1.8331ti-o.o5(1O)=1.8125武汉科技大学2007年硕士研究生入学考试试题'、 参考答案课程名称：概率论与数理统计说明：1.适用专业：管理科学与工程.可使用的常用工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效一、填空题(每题4分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z.已知HA)=0.4,P(B)=0.3,-(AUB)=0.6则P(4一B)= 0.3.有5件产品，其中2件是次品.从中任取2件，恰有1件是次品的概率为.设£?为两个相互独立的随机变量P(X41)=0.5P(F41)=0.4Z=max{X,Y}则尸(z41)= 0.2.已知随机变量X〜N(0,1),则随机变量y=2X+1的1 (X-»概率密度人(y)=云标e85.已知二维随机变量(X,Y)服从区域G:04x41,0WyK2上的均匀分布,则尸(04丫M1/2)=1/4二、单项选择题(每题4分，共20分).设P(X)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.1,则事件A,B(.K)A.相互独立 B.相等C.互不相容 D.互为对立事件.已知随机变量的方差存在，且8V(x,r)=o，下列结论错误的是(d)A.匕y不相关 B.D(X-Y)=DX+DYC.E{XY)=(EYXEK) D.D{XY}=DXDY.已知X〜NQi,。,fi为未知参数，X,是来自X的样本.下列式子' 不是统计量的是(B)、A.X\-X【 B.X-EXC.min{M，…D.(gxJ-DX.在显著性水平为a的假设检验中，乜，为原假设，下列说法正确的是(A)A.也为真时，拒绝的概率不超过a.B.凡为假时，接受此的概率不超过a.C.使用这种检验法，结论错误的概率为a.D.使用这种检验法，结论定确的概率为1-a..设封=与丫=2,0«<^,丫)=-』，则后(必=(B)61 .23 25人一一 B.— C.4D.—6 6 6三、解答下列各题(每题10分，共50分).已知P(N)=0.7,P(A-B)=0.3,试求P(万)・解：0.3=P(A-5)=P(N)-P(AB)=0.7-P(AB)所以，P(AB)=0.4=P(AB)=0.6.已知一批产品中有95%是合格品，检杳产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率是0.03,求：①任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率：②一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率.解，①记A：选到合格品；B：判为合格品P(B)=P(B\/)P(4)+P(B|A)P(A)=(1-0.02)x0.95+0.03x(l-0.95)=0.9325、 ②尸(川加皿空幺理逊血演P(5) 0.9325.设随机变**的概率密度为/(x)=Ce-w-oo<x<+oo求常数。和P(0vXvl).解：1=匚07次=2c£Va=2c・・・c平P(Q<X<1)=«尸小=-(l-e-,)=0.316.设随机变量X与Y独立且均在(0,1)区间上服从均匀分布，尸(XJ)为(x,y)的联合分布函数求：①P(X+Y<1)；②尸(0.5,0.5)解：(1)P{X+X<1}=^f(x9y)dxdy=J'dy(6分)=~g 2F(0.5,0.5)=P[X<0.5,r<0.5) ：5..已知EY=EY=0.DX=DY=\.X,，的相关系数%=0.5,求E(x+ry解：E(x+r)J5x+r)+[E(x+r)f=dx+dy+2p„4dx4dy=3

四、解答下列各题（每题10分，共60分）.已知x〜n（o,i）,求丫=|x|的概率密度.解：记耳（力、人（加分别为y的分布函数和需度函数,当”0时，Fr（y）=0当y之0时，Fr（y）=P（|X\<y）=P[-y<lX<,y）=20（^）-1，,、m/、「OS）珍0 ”0I°其匕[0其它.设乂,/,…,％是来自总体X〜NQ0,24）的简单随机样本，试求P（|?亚|<1）.（结果用①（x）表示）解：%-JV(10,4),ET=10,》-ET~N(0,4)所以，P(|%>Er|<l)=<D（早卜哈卜2唱.假设一条自动生产线生产的产品是合格品的概率为0.8,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,这批产品至少要生产多少件？0（1.64）=0.95解:设至少要生产"件,其中合格品为X件,则X〜力（外0.8）P(0.76<—<0,84)=

nP(0.76n<X<0.84n)=P(0.76n-0.8n X-0.3n 0.84n-0.8nP(0.76n<X<0.84n)=P(V0.8x0.2nV0.8x0.2nJO.8xO.2〃

可般H舞卜中（。」加〜0.9即G（0.1Vm）N0.95=0.17k21.64n〃A269.设再,占，…，X.（〃＞2）为来自总体N（0,4）的简单随机样本，刀为样本均值，记匕=%一刀/=1,2,・“,几求：升与匕的协方差Cov（K，%）.解：CoviXM^E^.-EY^-EY^=E（耳匕）=£RXi-斤XX”—?）］=E{XxXH-XyX-XnX+X2）=E（X、X1t）-2E（XlX）+£?29 n _ _=0--£[Xt2+^XxXj}+DX+(£Y)2" y-2-CT2+-a2=--CT2nnn.已知随机变量X的分布率如下:X 0 1 2 ~p e 20 1-33其中0＜夕＜1,利用样本观察值：0,I,1,2,0,求。的矩估计和极大似然估计.解：£Y=2-46,刀=0.8由双=?=。=0.3似然函数£（。）=。2（2夕）2（1-38）A4=0=6=—15工dln〃8)4A4=0=6=—15由 = aee1-3。

.设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望〃和方差，均未知，抽查10件，测得重量为4斤i=1,2,…,10。算出110 10 _= £（苟-疔=3.61UMl M给定检验水平a=0.05,能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤?陆t丽(9)=2.2622tw,om(1O)=2.2281tWM(9)=1.8331必血10尸1期25解」检验统计量为T=|然|2,将已知数据代入，得力=54-5.02,将已知数据代入，得力=54-5.073.6/9V10=2%-a/2(n-1)=匕975(9)=2,2622>2所以接受为。

二00八年招收硕士研究生入学考试试题考试科目及代码： 概率论与数理统计代码：823适用专业： 管理科学与工程 说明：1.可使用的常用工具：计算器。.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效・考完后试题随答题纸交回•.考试时间3小时，总分值150分.一£中堤爬«一、填空题(每小题4一£中堤爬«.把三个不同的球随机的放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为一.设随机变量X〜N(0,l),<D(x)为其分布函数，则①(x)+0(-x)=_敲睥解%肥.设总体X〜N(",4),耳,毛,石是来自总体的样本，则敲睥解%肥0= 时，*=1&+42+1为是未知常数〃的无偏估计3 6104设总体X，…，Xo是来自N(0,l)的样本，则eX(x,-T)2=1-15.设总体X〜N(〃,4)，其中〃未知，％为其样本，若检验问题为4:/=1,4:/工1,则采用的检验统计量应为二、单项选择题(每小题4分，共20分).设48为随机事件，则(4118)4=()(A).AB(B).A (C).B(D).A\JB随机变量X的分布函数为尸(x),下列结论不一定成立的是( )(A)F(+co)=1 (B).F(-oo)=0(C).0<F(x)<l- (D).F(0)=0

.如果函数= :丫’"是某连续型随机变量X的概率密度，则区间[U,具匕可以是( )(仅0,1] (B).[0,2] ©[0,0 (D),[1,2].在显著性水平为a的假设检验中，儿为原假设，下列说法正确的是()a越小，检验中越容易接受用.a越小，检验中越容易拒绝儿.a变小，检验中对拒绝没有影响.a越小，检验中犯第二类的错误越小..下列命题中偌误的是()Cov{X,Y)=pm4DX4DY(DX>Q,DY>0)-140^.41 .p“=l时，丫与X以概率1存在线性关系D.。0=-1时，丫与X无线性关系三、解答下列各题(每题10分，共50分).已知事件48满足P(4B)=P(彳月)，记P(4)=p,试求P(8)..向区间(0,1)内任意投掷〃点，以X表示落入区间(0.8,1)内的点数，试求a)P(X21)；(2)EX2..已知随机变量X的概率密度为f,\\Ax0<x<l/(X)=b其它①求常数/；②求P(X>1/2).

.设(x,y)的联合密度为Uxy0<x<l,0</<10其它①求尸(x+y>»②判断X'y是否独立.5.设A1表示掷三颗均匀骰子出现的点数之和，求以和DX四、解答下列各题(每题1。分,共60分)1.已知X〜N(0,l),求丫=>'的概率密度.2,袋中有2个白球3个红球，今从袋中随机取2个球，以X表示取到红球的个数，求ET..设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{J,y}<l}.设4,B为两个随机事件，且P⑷1,P(B|/)=g,P⑷8)=；,令/发生， |1,8发生，=［<),/不发生，=1，8不发生.求Z=X°+产的概率分布..设总体苟，…,X瓜为来自总体的样本，求，的最大似然估计..车辆厂生产的螺杆直径服从正态分布现从中抽取5支，测得直径(单位：亳米)为22.321.522.021.821.4如果〃未知，试问直径均值“=21是否成立？(a=0.05,ZM25(4)=2,776)武汉科技大学2008年硕士研究生入学考试试题参考答案一、填空题(每小题4分，共20分).把三个不同的球随机的放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为1/9.设随机变量X~N(0,l).①(编为其分布函数，则例©+中.设总体、~NWe，X\,X］、X、是来自总体的样本，则但常数a=_垣_时，衣=?苟+aX2是未知常数〃的无偏估计3 ”6104设总体M，…，Mo是来自阳0.1)的样本，则-灭>=95.设总体X~jV(/act')，其中〃未知，*,…,X”为其样本，若检验问题为H.♦=1,7/,则采用的检验统计量应为X(xr-x)2*二、单项选择题(每小题4分，共20分).设43为随机事件，则(/UB)/=(B)(A).AB(B).A(C).B(0./IU8随机变量X的分布函数为尸(x),下列结论不定成立的是(D)(J)F(+oo)=J (B).F(-oo)=0(C).0^F(x)<l (D).F(0)=0.如果函数/(x)=[：:::'"是某连续型随机变量X的概率密度，则[0,其匕区间⑷仪可以是(C)(/).[0,1] (B).[0,2] (C).[0,&] (D).[1,2].在显著性水平为a的假设检验中，Ho为原假设，卜列说法正确的是(A)a越小，检验中越容易接受//<,.a越小，检验中越容易拒绝"o.a变小，检验中对拒绝“。没有影响.a越小，检验中犯第二类的借谈越小..卜.列命题中借误的是(D)a.cov(x,r)=pxrJdx-4dy(dx>o.dy>o)B.-14p门，W1。k=1时，y与x以概率i存在线性关系pat=-ibi,y与x无线性关系三、解答下列各题(每题10分，共50分).已知事件48满足P(/8)=尸(彳仍，记尸(4)=p,试求尸(8).解：由P(/8)=尸(N砌=>P(/8)=1-P(/US)=P(4)+P(8)=1所以P{B}=\-p.

2..向区间(0,1)内任意投掷〃点，以X表示落入区间(0.8,1)内的点数，试求(DP(%>1)S (2)EX2.解：⑴X~b(n,0.2)⑵EX2=DX+(^EX)2=n0.2x0.8+0.04/j2=0.04n2+0.16^3.已知随机变量X的概率密度为/(x)=Ax

00Vx<1

其它①求常数I;②求产(X>1/2).解：01=£f(x)dx=Axdx=y.•.4=2②尸(*>^)=I?,f(x)dx=£2xdx=32 2 5 44.设（X,y）的联合密度为/(2)=4xy0<x<l,0<yvl其它①求p（»+y>i）；②判断x、丫是否独立.解:①尸(X+Y>1)=jjf(x,y)dxdy= 4xydy=-*+j川 x 6ZXv<X<1②.（x）=「7（x,m=1其它同理一『盛I因£（幻工心）=/（x，y），故XI相互独立5.设X表示掷三颗均匀骰子出现的点数之和，求ET和QX解：设％表示第，颗骰子出现的点数，z=1,2,3,则X,之间相互独立，且、=乂+8+、31 7乂EX,=-（1+2+3+4+5+6）=—：6 2E%,2=-（P+22+--+62）=—sDX,=--（—1=—=2.9'6 6 16I6J12£1¥=3%=10.5DE=3DX,=8.75四、解答下列各题（每题10分，共60分）.已知x~n（o,i）,求y=、2的概率密度.解：记工⑶）、力■（p）分别为丫的分布函数和密度函数,当jvo时,为(y)=o当p20时，Fr(y)=P{X2<y)=P(-&MX。八2中(-1力（，）=月（，）=”0其它2①力（，）=月（，）=”0其它2①'(y)”00其它.袋中有2个白球3个红球，今从袋中随机取2个球，以X表示取到红球的个数，求解：X的分辨率为尸(X=0)=\.P(X=1)=2.尸(X=2)=\EX=\.2.设随机变量X与y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求解由题设知，x与丫具有相同的概率密度0<x<3/(x)=p ..0,其他则P{max{X,Y}4l}=尸{X41,yvl}=P{X41}尸{丫41}=(P{XVl}>«扣"..设4,3为两个随机事件，且尸(/)=1,P(B\A)=^,P(A\B)=~.令fl,4发生， fl,B发生,[0./不发生， "Io,B不发生.求Z=^2+产的概率分布解：P[X=1,Y=\]=P(AB)=^,P{X=l,r=O}=P(AB)=P(A)~P(AB)=6-1P{X=O,y=l}=P(AB)=P(B)-P(AB)=-, .2P[X=^Y=G}^P(AB)=\-P(AkjB)^\-[P(A)+P(B)-P(AB)]=-Z的可能取值为：0,1,2.2亿=0}=2{x=o,y=o}=|.

P{z=1}=P{%=i,r=0}+ =o,r=1}=-,4P{Z=2}=P{X=i,r=i}=p.即Z的概率分布为：z012p211■3412.设总体X〜…为来自总体的样本，求〃的最大似然估计.解:ln£(M)=-gln(2T)-:£(x,-*)2：2 2/.Jdln£(〃)du=Z(x,_m)=o=R=T：Cl.车辆厂生产的螺杆直径服从正态分布N(〃q2),现从中抽取5支，测得直径(单位：毫米)为22.3 21.5 22.021.821.4如果cr?未知，试问直径均值〃=21是否成立？(a=0.05,/0025(4)=2,776)解：”o：m=21;乩：”2Tx=21.8,?=0.135=4.8721.8-21t=4.87J0.135/5勒2("1-=2.776,|”>2.776拒绝-00九年招收硕士研究生入学考试试题考试科目及代码：概率论与数理统计代码：823适用专业： 管理科学与工程 可使用的常用工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效，考完后试题随答题纸交回。考试时间3小时，总分值150分。一、填空题(每小题4分，共20分).设袋中有5个球，分别编有1至5的号码.从中任取两球，则取出的两球号码均为奇数的概率为 .设随机变量X的分布律为X123C/25/8C/4则常数c=.已知£>X=4,£)y=l,且X,Y相互独立，Z=X-2Y,则OZ=.设总体X服从［0,8］上的均匀分布，来自总体的样本容量〃=12,样本均值又=2.5,则。的矩估计。=.已知随机变量X〜Z2(5),/Zoos。)为X的上a分位数，则P(X</2005(5))=二、单项选择题(每小题4分，共20分).掷一枚骰子，设4=｛出现奇数点｝,8=｛出现1或3点｝,则下列说法正确的是(A)AB=｛出现奇数点｝ (B)4月=｛出现5点｝(C)8=｛出现5点｝ (D)A8=｛出现5点｝答：【 】.设X〜N(l,22),①(幻=-71厂'，/力为标准正态分布函数，则P(X<2)=12兀(A)①(2) (B)1-0(2)(C)①(0.5) (D)1-0(0.5)答：【 】.设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),其边缘分布函数为Fx(x),4(y).若对某一组固定的数(x。,%)有&(/)耳(%)=~(距,>；)),则下列结论正确的是(A)X和丫相互独立 (B)X和丫不独立(C)x和丫可能独立，也可能不独立(D)x和y在(%,%)处独立答：【 】9.已知总体X〜N(〃,32),其中〃是未知参数，X1,,X"是来自总体X的样本，则下列随机变量不是统计量的为(A)—V(Xz-//) (B)X](C)X”-X1 (D)ly(X,.-3)2答：【 】10.在假设检验中，设总体X~N(〃,cr2),b?已知，X”，X“为样本，若检验问题为H(}://<//(), 记〃 —半T,则在显著水平a下，“0的拒绝域为(A)|u\>ua/2 (B)u>ua(C)|u|<ua/2 (D)u<-ua答：【 1三、解答题(每小题10分，共50分).已知P(A)=Lp(3|A)=1,P(A|8)=L求P(AB).

4 3 2.袋中共有10个球，其中4个白球6个红球.若甲先任取一球不再放回，乙再任取取一球,求乙取得白球的概率。.已知随机变量X的分布律为X 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4设E(x)是X的分布函数(1)求/(2.5)；(2)求尸(1<X<3.5)..设某位枪手射击时击中目标的概率为〃(0<〃<1),该枪手对目标射击n次，记X为击中目标的次数，求P(X>1)；EX2..已知随机向量(X,Y)的联合分布律为X1320.10.230.30.4(1)判断x,y是否独立；(2)求P(y=l|X=2).四、解答题(每小题10分，共60分).设随机变量X的密度函数为c3x2,0<x<lf(x)=\b，其它(1)求EX：(2)求EX—.在总体/V(52.6,32)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率.(结果用①(x)表示).设总体Xg有分布律 i2 3-PO220(1-0)(1-6)2其中e(o<e<i)为未知参数，已知取得了样本值％=1,%=2,七=1,求。的矩估计和最大似然估计..一台机床加工轴的直径服从正态分布N(9.5,0.2?)(单位：mm),机床经调整后随机取16根测量其直径，计算得了=9.52mm,假设调整后方差不变，问调整后的机床加工轴的直径有无显著变化？(a=0.05,%02s=1.96,w005=1.64)..向区间(0,1)内随机投掷〃个点，记X,(i=l,2,,〃)为第i次投点的坐标，又设r=max{X,,,X,J—min{X1,,Xn],求EY._1H 1>1 _.设X1,,X“是来自正态总体N(〃,ct2)的样本，区n—EXjS= -X)2n,=, n-\,=|Y_V分别是样本均值和样本方差，试求常数。使得T=C■服从r分布，并指出分布的S,自由度。-00九年招收硕士研究生入学考试试题考试科目及代码：概率论与数理统计代码：823适用专业： 管理科学与工程 可使用的常用工具：计算器.答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效，考完后试题随答题纸交回。.. 考试时间3小时，总分值150分。一、填空题(每小题4分，共20分)一、填空题(每小题4分，共20分).设袋中有5个球，分别编有1至5的号码.从中任取两球，则取出的两球号码均为奇数的概率为0.3.设随机变量X的分布律为X 1 2 3 TOC\o"1-5"\h\zC/2 5/8 C/4则常数C=1/2.已知£>X=4,£)y=l,且X,y相互独立，Z=X-2Y,则DZ= 8.设总体X服从［0,网上的均匀分布，来自总体的样本容量〃=12,样本均值其=2.5,则6的矩估计@= 5.已知随机变量X〜/(5),/oo5(5)为x的上a分位数，则P(X4 =0.95二、单项选择题(每小题4分，共20分).掷一枚骰子，设4=｛出现奇数点｝,8=｛出现1或3点｝,则下列说法正确的是(A) =｛出现奇数点｝ (B)4月=｛出现5点｝(C)耳=｛出现5点｝ (D)A8=｛出现5点｝答：［B］.设X〜N(l,22),①(x)=-7=「力为标准正态分布函数，则P(X<2)=12兀(A)①(2) (B)1-0(2)(C)①(0.5) (D)1-0(0.5)答：[C].设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),其边缘分布函数为Fx(x),4(y).若对某一组固定的数(x。,%)有&(/)耳(%)=~(距,>；)),则下列结论正确的是(A)X和丫相互独立 (B)X和丫不独立(C)x和丫可能独立，也可能不独立 (D)x和y在(%,%)处独立答：[C]9.已知总体X〜N(〃,32),其中〃是未知参数，X1,,X"是来自总体X的样本，则下列随机变量不是统计量的为(A)—V(Xz-//) (B)X](C)X”-X1 (D)ly(X,.-3)2答：[A].在假设检验中，设总体X~N(〃,cr2),b?已知，X”，X“为样本，若检验问题为H(}://<//(), 记〃 —半T,则在显著水平a下，“0的拒绝域为(A)|u\>ua/2 (B)u>ua(C)|u|<ua/2 (D)u<-ua答：【B】三、解答题(每小题10分，共50分).已知P(A)=；,P(8|4)=；2(4|8)=；求尸(4B).解：P(AB)=P(B|A)P(A)=lxl=—412P⑻=P(A|B)1/26P(AB)=P(A)+P(B)-P(^)=1+1--1=1.612312.袋中共有10个球，其中4个白球6个红球.若甲先任取一球不再放回，乙再任取取一球,求乙取得白球的概率。解：记A="乙取得白球"，8=”甲取得白球”_ _ 3446P(A)=P(A\B)P(B)+P(A\B)P(B)=-x—+-x—=0.491091013.已知随机变量X的分布律为X12340.10.20.30.4设b(x)是X的分布函数(1)求尸(2.5)：(2)求P(1<X<3.5).解：(1)F(2.5)=P(X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=0.3(2)P(1<X<3.5)=P(X=2)+P(X=3)=0.514.设某位枪手射击时击中目标的概率为p(0<p<l),该枪手对目标射击n次，记X为击中目标的次数，求P(X>1)；EX2.解：⑴P(X>l)=l-P(X=0)=l-(l-p)rt;EX2=DX+(EX)2=np(\-p)+(np)2.15.已知随机向量(x,y)的联合分布律为

230.1 0.20.3 0.4(1)判断x,y是否独立；(2)求p(y=i|x=2).解：⑴P(X=2,y=l)=0.1,P(X=2)=0.1+0.2=0.3p(y=l)=0.1+0.3=0.4p(x=2,y=1)/p(x=2)p(y=1)所以，x,y不独立.(2)p(y=nx=2)=P(Y=l,X=2)

P(X=2)0.103四、解答题(每小题10分，共60分).设随机变量X的密度函数为„ f3x2,0<x<l“幻九其它(1)求EX；(2)求EX?.解：(1)EX=jxf(x)dx-j(x'^x2dx=—EX2=1'x23x2cbc=~.J。5.在总体/V(52.6,32)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率.(结果用中(x)表示)一 9解：X-N(52.6,—)36P(50.8<N<53.8)=①53.8-52.6P(50.8<N<53.8)=①53.8-52.60.5/50.8-52.6一①| I0.5=中(2.4)_<1)(_3.6).设总体Xg有分布律1 2 3PO220(1-0)(1-6)2其中。(0<。<1)为未知参数，已知取得了样本值看=1,赴=2,覆=1，求。的矩估计和最大似然估计.解：(1)矩估计：EX=)+2x26(1—，)+3(1-，尸=一2，+3—I, 4X=-(l+2+l)=-- -5令EX=X,得。=一.6(2)最大似然估计：L(6=0202-2(9(1-(9)=205-2。6Jln(6>)=106>4_126>5=0dd得。6.一台机床加工轴的直径服从正态分布N(9.5,ON?)(单位：皿皿)，机床经调整后随机取16根测量其直径，计算得了=9.52mm,假设调整后方差不变，问调整后的机床加工轴的直径有无显著变化？(a=0.05,Hog=1.96,Moa=L64).解：”o：〃=9.5,拒绝域：IW|= 与1>U/2(y0/y/n।止|9.52%[=04,M=1.960.2/V16Iu\<«0025,故接受“0,可以认为调整后的机床加工轴的直径无显著变化..向区间(0,1)内随机投掷〃个点，记X,(i=l,2,,n)为第i次投点的坐标，又设0,x<lx,0<0,x<lx,0<x<11,1<x解：X,的密度函数为p(x)解：X,的密度函数为p(x)=<廿…，分布函数F(x)=

10,其它记工,=max{X「,Xn),Yt=min{Xp,XJ

则工片的密度函数分别为p.(x)=〃E"(x)p(x)=nxn-',0<x<l0,nxn-',0<x<l0,其它p/x)=叩一/(x)]Mx)]。其它TOC\o"1-5"\h\zft| M ft] MEYn=[xnxn~xdx= ,EY,=\xn(\-x)n~ldx=1 〃J。〃+l1J。 n+12/7n—1EY=EYn-EY}= 1=——.〃+1〃+1.设%,区是来自正态总体阳〃,/)的样本，x=lyx.,s2=-y(x,.-x)2n9 n-1,=1y_V由度。分别是样本均值和样本方差，试求常数C使得r=CT-服从r分布，并指出分布的自3”由度。-0-0年招收硕士研究生入学考试试题考试科目及代码： 概率论与数理统计823适用专业： 管理科学与工程可使用的常用工具：计算器答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。考试时间3小时，总分值150分。一、单项选择题(每小题4分，共20分).设BuA,则下面正确的等式是(A)P(AB)=1-P(A)； (B)P(B-A)=P(B)-P(A),(C)P(B|A)=P(B)； (D)P(A|B)=P(A).设离散型随机变量X的分布律为P(X=i)=-,i=l,2,则常数C=ITOC\o"1-5"\h\z3 2(A)- (B)- (C)1 (D)23.设10个电子管的寿命X*i=l〜10)独立同分布，且O(X,)=A(i=l〜10),贝HO个电子管的平均寿命Y的方差D(Y)=.(A)A； (B)0.M； (C)0.2A； (D)10A.4.设(X1,Xz，…,X")为总体X〜N(0,l)的一个样本，文为样本均值，5?为样本方差，则有 (A)又〜N(0,l)； (B)〃刀〜N(0,1)：n(C)X/S (D)(〃-1)X"ZX；〜尸(1,〃一1)i=2

5.设（X1,X2,…,X“）为总体N（〃，b2）的一个样本，〃,b2为未知参数，X为样本均值,则总体方差er2的下列估计中，为无偏估计的是1"1" _(A)&;=-^X-X)2⑻力工7yx「对1"1" _(C)3；=±E(Xj+N)2；1n(D)珑=--£(X,.-X)2

S11二、填空题（每小题4分，共20分）.一批电子元件共有10个，其中2个为次品，连续两次不放回地从中任取一个，则第二次取到次品的概率为..设X”X2，,X”是来自总体/（〃）的样本，V是样本均值，则E（又）=.设X的分布律为e-2佻1一。）（1-0）若样本的观察值为1,2,1,则似然函数L（e）=.设随机变量X~8（3,0.1）,丫=2乂一1.则丫的数学期望为.已知随机变量X,y独立，且均服从标准正态分布，则（X,y）的联合密度函数f（x,y）=_三、解答题（每题10分，共90分）.甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,03,0.5,求恰有两位同学不及格的概率..已知一批产品中96%是合格品.检查产品时,一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求（1）求任取一件是合格品的概率；（2）在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率..设随机变量X的密度函数为f（x）=.设X〜N(l,22),求(1)P(|X|<1)(结果用①(x)表示)，(2)EX2.6x,0<x<y<1.设二维随机变量(X,y)的联合密度函数/(x,y)=《' 七.一，求0,其他x,y的边缘密度函数..某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为九=1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率(结果用①(x)表示)..二维随机变量(X,丫)〜,其中〃।=4=。"：=1,0-2=4已知D(2X-r)=l,求参数0的值..已知随机变量X的密度函数为f(6»+l)(x-5)"5<x<6[0 其他其中。为未知参数，求。的矩估计与极大似然估计..机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布N(〃,cr2),规定每袋盐的标准重量为500克，某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得G「£x,=499,S2=-y(X,.-X)2=16.032.问这天自动包装机工作是否正常(a=0.05)?ho25⑻=2.306,l,ao25(9)=2.262/005(8)=1.8595,tOO5(9)=1.8331四、证明题(每题10分，共20分).设随机变量X与丫相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明X+Y仍服从泊松分布，参数为6..设X,,X2,X3，X4是来自正态总体N(0,9)的一个简单随机样本，g=(X[+X4X3)一.二0一一年招收硕士研究生入学考试试题考试科目及代码： 概率论与数理统计823适用专业： 管理科学与工程可使用的常用工具：计算器答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。考试时间3小时，总分值150分。一、单项选择题(每小题4分，共20分).设A8为两个事件，P(A)/P(B)>0,且An8,则下面正确的等式是(A)P(A|8)=1； (B)P(B\A)=\;(C)P(B|A)=l； (D)P(A\B)=0.设连续型随机变量X的概率密度函数和分布函数分别为f(x)和F(x),则下列选项正确的是 (A)0</(x)<1(B)f(x)唯一(C)E(x)唯一(D)P(X=x)=f(x).设X「8(5,0.2)(i=1,2)独立同分布，则D(X,+X2)=.(A)0.8； (B)2； (C)0.4； (D)1.6..设X~N(l,22),丫~N(l,l)且相互独立，则有(A)X+Y~N(2,5)； (B)X-y~N(0,3)；(C)X-y~N(2,5)； (D)X+V~N(1,5)5.设(X1,X2，・・・,X“)为总体N(〃，b2)的一个样本，x为样本均值，S?为样本方差.则正确的是一 /n_nc2(A)Xf,/)； (B)-__7 z2(n-l)；b2 《2(C)X )； (D)』~%2(〃一1)nn cr二、填空题(每小题4分，共20分).一个袋子中有10个球，其中3个为红球，7个为白球。从中不放回地任意取出2个球，则第二次取到的是红球的概率为..设P(A)=0.6,尸(3)=0.4,P(AB)=0.8,则P(无B)=.设X的分布律为X123P0.1020则尸(X>2.5)=.设随机变量XJ均服从区间［0,1］上的均匀分布，2=2乂一匕则应=.已知随机向量(X,y)的联合分布函数为F(x,y)= +arctan-|^y+arctan^则X的边缘分布函数Fx(x)=三、解答题(每题10分，共90分)1.设AB为两事件，P(A)=P(B)=~,P(A|8)=L求P(N|而.3 6.一批晶体管元件，其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%；它们能工作5000小时的概率分别为90%,80%,70%.求任取一元件能工作5000小时以上的概率..设随机变量X的分布函数为尸(x)=』+Larctanx,-oo<x<+oo,求(1)X的概率2n密度函数/(x)；(2)P(-1<X<1)..设随机变量X的分布律为X-2 -10 10.20.10.40.3(1)求y=x2-i的分布律;(2)求EY..设总体X〜N(l,22),XPX2,,Xw为来自总体X的样本，因为样本均值.求P(［又|<1)(结果用①(x)表示)..设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Ix2+-xy,0<x<l,0<y<2/(x,y)=1 3［o.其它求x和y的边缘概率密度fxco,fY⑶)，并判断x和y是否相互独立..设随机变量x的方差ox=i6,随机变量丫的方差。丫=25,又x和丫的相关系数pXY=0.5,求£>(X-2Y)..已知总体X服从二项分布，即X〜8(根,p),X,X2,,X“为来自总体的样本，m己知，求参数p的矩估计和最大似然估计..一台机床加工轴的椭圆度服从正态分布N(0.095,cr2)(单位：毫米).机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，计算得又=0.081毫米，样本标准差s=0.025毫米.问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低(检验水平a=0.05)?^(19)=1.7291,^(20)=1.7247四、证明题(每题10分，共20分).设随机变量X服从区间［0,1］上的均匀分布，Y=aX+b(a>0),证明随机变量V也服从均匀分布..写出切比雪夫(Chebyshev)不等式，并就连续型随机变量的情形证明该不等式.

二0一一年招收硕士研究生入学考试试题解答考试科目及代码： 二0一一年招收硕士研究生入学考试试题解答考试科目及代码： 概率论与数理统计823适用专业： 管理科学与工程可使用的常用工具：计算器答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回o..考试时间3小时，总分值150分。蜜中生*.设A8为两个事件，P(A)#P(8)>0,且An8,则下面正确的等式是 A(A)P(A|8)=1； (B)P(8|A)=1；(C)P(B\A)=\； (D)P(A\B)=0.设连续型随机变量X的概率密度函数和分布函数分别为f(x)和F(x),则下列选项正确的是C(A)0</(x)<1 (B)f(x)唯一(C)/(x)唯一(D)P(X=x)=/(%).设X,〜8(5,0.2)(i=1,2)独立同分布，则£>(X,+X,)=D.(A)0.8； (B)2； (C)0.4； (D)1.6..设X〜N(l,22),V〜N(l,l)且相互独立，则有A(A)X+Y〜N(2,5)； (B)x-y〜N(0,3)；(C)X-Y~N(2,5)； (D)X+Y-N(l,5)

5.设(X-X2,…,X“)为总体阳〃，/)的一个样本，X为样本均值，52为样本方差.则正确的是B(A)X~N(n，6)；b- u(y~(C)x〜nJ一)；nn52 、(D)—~Z2(n-1)(J~二、填空题(每小题4分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z.一个袋子中有10个球，其中3个为红球，7个为白球。从中不放回地任意取出2个球，则第二次取到的是红球的概率为 0.3 ..设P(A)=0.6,尸(3)=0.4,P(AB)=0.8,则P(无 = 0.8.设X的分布律为X123p0.1020TOC\o"1-5"\h\z则尸(X>2.5)= 0.6.设随机变量均服从区间［0,1］上的均匀分布，Z=2X-nEZ=0.55.已知随机向量(x,y)5.已知随机向量(x,y)的联合分布函数为尸(x,y)=则X的边缘分布函数G(x)=—+arctan三、解答题(每题10分，共90分).设股3为两事件,P(A)=P(B)=-,P(A|B)=L求P(九|历.解：P(A|B)=1-P(A|B)解：P(A|B)=1-P(A|B)=1-P(AB)

P(历- 2 - 11153丁P(AB)=P(A)-P(AB)=---xr-

712.一批晶体管元件，其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%；它们能工作5000小时的概率分别为90%,80%,70%.求任取一元件能工作5000小时以上的概率.解：设用=｛取到元件为i等品｝z=l,2,3.A=｛取到的元件能工作5000小时以上｝,则P(A)=ZP(4|8,)P(即1=1=0.95x0.90+0.04x0.80+0.01x0.70=0.894..设随机变量X的分布函数为E(x)=—+—arctanx,-co<x<+8,求(1)X的概率2n密度函数f(x)：(2)P(-1<X<1).解：/(x)=F'(x)= ——-oo<x<+oo；万(1+X)2P(-1<X<1)=F(l)-F(-l)=-.2.设随机变量X的分布律为X-2-10 1().20.10.40.3（1）求y=x2-i的分布律;（2）求EY.解：（1）Y-1030.40.40.2Ey=-lx0.4+0x0.4+3x0.2=0.2..设总体X〜N(l,22),XPX2,,Xw为来自总体X的样本，区为样本均值.求P(|X\<1)(结果用①(x)表示).一1解：X〜4P(闭<D=P㈠<、)=中偏"(音)=0.5-0)(@=中(4)一0.5..设二维随机变量（x,r）的联合概率密度函数为

\x2+-xy,0<x<l,0<y<2f（x,y）= 3% ，）[o.其它求x和y的边缘概率密度fx（x）,fY（y）,并判断x和y是否相互独立.解：当OKxKl时，p22 1 2 2fx（X）=Jo（%■+-xy）dy=2x+-x[o,其它11c cr+oo —h—y,同理，A（y）=J/（x,y世=36" >0,其它0,其它/x(x)/y(y)H/(x,y)所以，x和丫不相互独立..设随机变量x的方差ox=16,随机变量丫的方差。丫=25,又x和丫的相关系数pXY=0.5,求。(X-2Y).解：D(X-27)=DX+4DY-2Cov(X,2Y)=£>X+4Z"-4pxyV5八/5F=16+4x25-4x0.5x4x5=76..已知总体X服从二项分布，即X〜XtX2,,X“为来自总体的样本，机已知，求参数〃的矩估计和最大似然估计.解：令EX=又,nmp=X所以，p的矩估计)=工.似然函数L似然函数L=j]C：；p*(l-p尸finL=In口。：'+ZxJnp+（加一ZxJlnQ—p）人din19 1z白、八令-3—=———(mn->xi)=Odp p,=1 \-p ,=1Z'iV得P的最大似然估计p=上1—=—.mnm.一台机床加工轴的椭圆度服从正态分布N(0.095,tr2)(单位：毫米).机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，计算得又=0.081亳米，样本标准差s=0.025亳米.问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低(检验水平a=0.05)?r005(19)=1.7291,rOO5(2O)=1.7247解：检验问题为：%://>0.095”|：〃<0.095检验统计量t=更二"=(°,⑻一。警=-2.5044s14n0.025/V20r0.05(19)=1.7291r=-2.5044<1.7291拒绝〃。,即认为整后机床加工轴的平均椭圆度显著降低.四、证明题(每题10分，共20分).设随机变量X服从区间［0,1］上的均匀分布，Y=aX+/?(a>0),证明随机变量丫也服从均匀分布.证明：设X,y的分布函数分别为Fx(x),FY(y),则Fy(y)=P(Y<y)=P(aX+b<y)八八y—b11. .,0<- <1—,b<y<a^ba=5a其它0,其它所以卜的概率密度6(y)=g(y)=aM，即y服从［。，a+可上的均匀分布..写出切比雪夫(Chebyshev)不等式，并就连续型随机变量的情形证明该不等式.解：切比雪夫不等式：设随机变量X的数学期望EX=〃，方差DX=£,则对于任意正数£,有P(|X—〃|N£)Wq

£.证明：设X的概率密度