函数的单调性知识点和题型归纳

.z.●高考明方向1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用根本初等函数的图象分析函数的性质.*备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比拟数的大小，以及解不等式等．客观题主要考察函数的单调性，最值确实定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，假设与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理"名师一号"P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义假设函数f(*)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(*)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(*)的单调区间.注意：1、"名师一号"P16问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中*1，*2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意*1，*2∈[a，b]且*1<*2，则①⇔f(*)在[a，b]上是增函数；⇔f(*)在[a，b]上是减函数．②(*1－*2)[f(*1)－f(*2)]>0⇔f(*)在[a，b]上是增函数；(*1－*2)[f(*1)－f(*2)]<0⇔f(*)在[a，b]上是减函数．2、"名师一号"P16问题探究问题2单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号"∪〞联结，也不能用"或〞联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法"名师一号"P16高频考点例1规律方法(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取*1、*2∈D，且*1<*2；②作差f(*1)－f(*2)，并适当变形("分解因式〞、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2)导数法:设函数y＝f(*)在*区间D内可导．如果f′(*)>0，则f(*)在区间D内为增函数；如果f′(*)<0，则f(*)在区间D内为减函数．注意：(补充)〔1〕假设使得f′(*)=0的*的值只有有限个，则如果f′(*)，则f(*)在区间D内为增函数；如果f′(*)，则f(*)在区间D内为减函数．〔2〕单调性的判断方法："名师一号"P17高频考点例2规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．假设f(*)，g(*)均为增(减)函数，则f(*)＋g(*)仍为增(减)函数．2．假设f(*)为增(减)函数，则－f(*)为减(增)函数，如果同时有f(*)>0，则为减(增)函数，为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有一样的单调性．4．y＝f[g(*)]是定义在M上的函数，假设f(*)与g(*)的单调性一样，则其复合函数f[g(*)]为增函数；假设f(*)、g(*)的单调性相反，则其复合函数f[g(*)]为减函数．简称〞同增异减〞5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一样；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用"名师一号"P17特色专题(1)求*些函数的值域或最值．(2)比拟函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．二、例题分析：〔一)函数单调性的判断与证明例1.〔1〕"名师一号"P16对点自测1判断以下说法是否正确(1)函数f(*)＝2*＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()(2)函数f(*)＝eq\f(1,*)在其定义域上是减函数．()(3)f(*)＝eq\r(*)，g(*)＝－2*，则y＝f(*)－g(*)在定义域上是增函数．()答案：√×√例1.〔2〕"名师一号"P16高频考点例1〔1〕(2014·卷)以下函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(*＋1)B．y＝(*－1)2C．y＝2－*D．y＝log0.5(*＋1)答案：A.例2.〔1〕"名师一号"P16高频考点例1〔2〕判断函数f(*)＝eq\f(a*,*＋1)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1<*1<*2，则f(*1)－f(*2)＝eq\f(a*1,*1＋1)－eq\f(a*2,*2＋1)＝eq\f(a*1*2＋1－a*2*1＋1,*1＋1*2＋1)＝eq\f(a*1－*2,*1＋1*2＋1)∵－1<*1<*2，∴*1－*2<0，*1＋1>0，*2＋1>0.∴当a>0时，f(*1)－f(*2)<0，即f(*1)<f(*2)，∴函数y＝f(*)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a<0时，f(*1)－f(*2)>0，即f(*1)>f(*2)，∴函数y＝f(*)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意："名师一号"P17高频考点例1规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视〔二〕求复合函数、分段函数的单调性区间例1."名师一号"P16高频考点例2〔1〕求函数y＝*－|1－*|的单调增区间；y＝*－|1－*|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，*≥1，,2*－1，*<1.))作出该函数的图象如下图．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.〔1〕"名师一号"P16高频考点例2〔2〕求函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(*2－4*＋3)的单调区间．解析:令u＝*2－4*＋3，原函数可以看作y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u与u＝*2－4*＋3的复合函数．令u＝*2－4*＋3>0.则*<1或*>3.∴函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(*2－4*＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝*2－4*＋3的图象的对称轴为*＝2，且开口向上，∴u＝*2－4*＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(*2－4*＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意："名师一号"P17高频考点例2规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用函数的单调性，即转化为函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(*)是以图象形式给出的，或者f(*)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.〔2〕(补充)答案：增区间：；减区间：练习:答案：增区间：；减区间：〔三〕利用单调性解〔证〕不等式及比拟大小例1.〔1〕"名师一号"P17特色专题典例(1)函数f(*)＝log2*＋eq\f(1,1－*)，假设*1∈(1,2)，*2∈(2，＋∞)，则()A．f(*1)<0，f(*2)<0B．f(*1)<0，f(*2)>0C．f(*1)>0，f(*2)<0D．f(*1)>0，f(*2)>0【标准解答】∵函数f(*)＝log2*＋eq\f(1,1－*)在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当*1∈(1,2)时，f(*1)<f(2)＝0，当*2∈(2，＋∞)时，f(*2)>f(2)＝0，即f(*1)<0，f(*2)>0.例1.〔2〕"名师一号"P17特色专题典例(2)函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*2－4*＋3，*≤0，,－*2－2*＋3，*>0，))则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为()A．(2,6)B．(－1,4)C．(1,4)D．(－3,5)【标准解答】作出函数f(*)的图象，如下图，则函数f(*)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!〔四〕单调性求参数的值或取值范围例1.(1)"名师一号"P17特色专题典例(3)函数满足对任意的实数*1≠*2，都有成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))C．(－∞，2]D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，2))【标准解答】函数f(*)是R上的减函数，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，))由此解得a≤eq\f(13,8)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8))).例2.(1)〔补充〕如果函数f(*)＝a*2＋2*－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[答案][－eq\f(1,4)，0][解析](1)当a＝0时，f(*)＝2*－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(*)的对称轴为直线*＝－eq\f(1,a)，因为f(*)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－eq\f(1,a)≥4，解得－eq\f(1,4)≤a<0.综上所述－eq\f(1,4)≤a≤0.例2.(2)〔补充〕假设f(*)＝*3－6a*的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]C[解析]f′(*)＝3*2－6a假设a≤0，则f′(*)≥0，∴f(*)单调增，排除A；假设a>0，则由f′(*)＝0得*＝±eq\r(2a)，当*<－eq\r(2a)和*>eq\r(2a)时，f′(*)>0，f(*)单调增，当－eq\r(2a)<*<eq\r(2a)时，f(*)单调减，∴f(*)的单调减区间为(－eq\r(2a)，eq\r(2a))，从而eq\r(2a)＝2，∴a＝2.变式：假设f(*)＝*3－6a*在区间(－2,2)单调递减，则a的取值范围是？[点评]f(*)的单调递减区间是(－2,2)和f(*)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用*＝±2是方程f′(*)＝3*2－6a解得a＝2.例2.(3)〔补充〕假设函数上单调递减，则实数的取值范围是〔〕A．[9，12] B．[4，12] C．[4，27] D．[9，27]答案：A温故知新P23第9题假设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是"计时双基练"P217根底7"计时双基练"P217根底8、108、设函数在区间上是增函数,则的取值范围是答案:10、设函数〔2〕假设且在区间内单调递减,求的取值范围.答案:〔五〕抽象函数的单调性例1.〔补充〕f(*)为R上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数*的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f(*)为减函数，f(||)<f(1)，所以||>1，则|*|<1且*≠0，即*∈(－1,0)∪(0,1)．练习：是定义在上的增函数，解不等式答案：温故知新P12第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2."计时双基练"P216培优4函数的定义域为，且对一切都有，当时，有。求的值；判断的单调性并加以证明；假设，求在上的值域.答案:单调增;注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:"计时双基练"P218培优4函数的定义域为，且对一切都有，当时，有.(1)求证:在上是减函数；(2)求在上的最大值与最小值.答案:课后作业计时双基练P217根底1-10课本P16-17变式思考1、2；计时双基练P217根底11、培优1-4课本P18对应训练1、2、3预习第二章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习1：函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－*＋3a，*<0,a*，*≥0))(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．[eq\f(1,3)，1)C．(0，eq\f(1,3)]D．(0，eq\f(2,3)]分析：f(*)在R上为减函数，故f(*)＝a*(*≥0)为减函数，可知0<a<1，又由f(*)在R上为减函数可知，f(*)在*<0时的值恒大于f(*)在*≥0时的值，从而3a≥1.解析：∵f(*)在R上单调递减，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥1.))∴eq\f(1,3)≤a<1.答案：B练习2：f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a*－4a*<1,loga**≥1))是(－∞，＋∞)上的增函数，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，3)C．[eq\f(3,5)，3)D．(1,3)[答案]D[解析]解法1：由f(*)在R上是增函数，∴f(*)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1①，又由f(*)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3②，又由于f(*)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(*)在(－∞，