以往学期-第一09-0期中

2009-2010

第一学期《微积分》期中考试试卷解答一、填空题（每空2分，共20分）1．已知

2

f

x

f

1

x

x2

,则f

x

1

x2

2x

1.

3

.解令1-

x

u,

则

x

1

u.2

f

(1

u)

f

(u)

(1

u)2f

(

x)

2

f

(1

x)

(1

x)22

f

(

x)

f

(1

x)

x2f

(

x)

2x

1.113x22．设

y

x

1

x2

arcsin

x

,则

y

2

x

arcsin

x

.1_

x_2.解y

1

(

2

x

1arcsin

x

1

x

2)2

1

x

2

1

x

2

2

x

arcsin

x

.1

x223．设函数

y

yx

由方程y2

2ln

y

x4所确定，则dxdy

2x3

y2.1

y

.解两边对x求导y2

y

y

2

1

y

4x3y

2x3

y31

y2

.4．设f

x

为可导的奇函数，且f

x0

5

,则f

x0

5.4解

f

(

x)

f

(

x)两边对x求导

f

(

x)

(1)

f

(

x)即

f

(

x)

f

(

x)f

(

x0

)

f

(

x0

)

5.5．函数f

x

ex

sin

x

2

x2在区间

，

上的最小值为

1

.解

f

(

x)

ex

cos

x

2xf

(

x)

ex

sin

x

2

0f

(x)在(-,)上f

(0)

0当x

0时,当x

0时,f

(

x)

f

(0)

0f

(

x)

f

(0)

0f

(0)

1为最小值.5x

1x

1

x

26．函数y

的定义域是_2_,

___

_x_

1.

.解

x

1

0x

1

0x

1

x

2或x

1.x

2或x

1x

2D

2,

x

1.62222

3

n1

1

n

7．lim

1

1

1

1

解n22

32

42

52

n2原式

lim

1

3

2

4

3

5

4

6

(n

1)(n

1)2nn2

lim

(n

1)

1

. 2.7

1

x

a2

b,

x

0x

0ex

,8．若函数

y

在x

0

可导，则a

1

2

.3b

4

.

f

(x)在x

0点连续.解

f

(0)lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

f

(0)x0

x0f(0)

f(0)x

f

(

x)

f

(0)x0f

(0)

limxex

1

limx0

1xf

(0)

lim

f

(

x)

f

(0)

x0x(

x

a)2

b

1limx0a2

b

12a

1

2a

a

1

,

b

3

.2

489．函数y

x

x

的可去间断点是_x

_n_,_n_

Z_._.解[

x]

当

2

x

1当

1

x

0当0

x

1当1

x

2

2,

1,0,1,[

x]

当

1

x

0

0

x

190,

1,

2,当

2

x

1

1

x

2当1

x

2当0

x

1

2

x

1

1

x

01,10[

x]

[

x]

1,

当n

x

n

10,

当x

nn

Z

x

n为可去间断点.xnlim

f

(

x)

1

f

(n)

010．若d

arctan

x

f

x

d

ex

,

则

f

x

12

x1

x

e_

_

_.解d(ex

)f

(

x)

d(arctan

x)e

xdxdx

1

x21(1

x2

)e

x111二．选择填空题（本题满分20分，共有10道小题，每道小题2分）1．数列极限

lim

nlnn

1

ln

n

是nB

1A

1C

D

不存在但非B解nn原式

lim

n

ln

n

11

)n

](

1)

lim

ln[(1

n

n

ln[lim(1

12n

n1

)n

](

1)

ln[e](

1)

1.2．函数f

x

x2

x

2

x3

x

不可导点的个数是BA

3

B

2

C

1D

0解f

(

x)

(

x

2)(

x

1)

x(

x

1)(

x

1)13不可导的点是x

0,

x

1.203．设

f

x

可导且

fx

1

，则x

0

时，

f

x

在x0点处的微分dy

是CA

比x低阶的无穷小;C

x

同阶无穷小;B

比x高阶的无穷小；D

x的等价无穷小；解0214dy

f

(

x

)x

1

xdy是x的同阶无穷小.154．已知函数f

x

具有任意阶导数，且f

x

f

x2则当n

为大于2的正整数时，f

x

的n阶导数fn

x

为DA

n!

f

x2nC

f

x2nf

(

x)

[

f

(

x)]2B

n

f

xn1D

n!

f

xn1解3f

(

x)

2

f

(

x)

f

(

x)

2[

f

(

x)]f

(

x)

2

3

f

2

(

x)

f

(

x)

3![

f

(

x)]4n1f

(n)

(

x)

n![

f

(

x)]165．设f

x

x2，其中

x

在

，

上恒为正值，其导数

x

为单调减少函数，A

曲线

y

f

x

在点

x0，

f

x0

处有拐点；且

x0

0

则AB

x

x0

是函数f

x

的极大值点；C

曲线y

f

x

在

，

上是凹的；D

f

x0

是f

x

在

，

上的最小值．f

(

x)

2

(

x)

(

x)解当x

x0

,

(x)

(x0

)

0当x

x0

,

(x)

(x0

)

0当x

x0时,f

(x)

0f

(x0

)

2

(x0

)

(x0

)

0

当x

x0时,f

(x)

0(

x0

,

f

(

x0

))为y

f

(

x)的拐点.176．设f

x

和g

在

，

上有定义，且g

f

x

x,

则AA

f

x

存在反函数；CDB

g

存在反函数；f

x

和g

f

x

和g

x

都不存在反函数.都存在反函数；解由g(

f

(

x))

x

f

(

x)为单射.

f

(

x)存在反函数.(

x1

x2

f

(

x1

)

f

(

x2

)).(B)的反例:xf

(

x)

e

,g(

x)

ln

x,

x

0

0,

x

0

.g(

f

(

x))

ln

ex

x,g(x)不存在反函数.7．设数列

2nx

nnn

cos

1

cos

1

，则D；A

xn

为无穷大量；B

xn

为无穷小量；C

xn

非无穷大量但D

xn

非无穷小量但有界.解x1n1nn

coscos1n1n

coscos1

1cos

1

cos2

1

cos(1

cos

)

n2

n n

n2

n

n

21

1~

(

)2

n4

1nnlim

xnD

x

非无穷小量但有界.188．当x

0时，与

x

等价的无穷小量是

BA

1

eD

1cosCB

ln

1

x

;

~1

x1x

;

~

x

ln(1

x)

ln(1

x

)

x

o(

x)

[

x

o(

x

))

x

x

o(

x)

o(

x

)

~xo(

x

)2x

1;

~

1

x2x.

~

1

(

x

)2x199．下列数列中，必然发散的是BD

arctan

n

.C

n

sin

n

R;2nA

1

n1

;B

2n

n!

;解nn1nnn2)

]1lim[(1

(

A)

lim

x

n

n2

1

1

2

3

n

1

n

(B)

xnnx

发散.n(C

)

lim

n

sin

n

2

2

2

2

2

20,

0,

0n20(D)

lim

xn

0.10．设函数y

f

x

在闭区间a,b

上有定义，对于命题(1)若y

f

x

在a,b

上上必存在间断点.，则

f

x

在a,b(2)若y

f

x

在a,b

上可导，则导函数f

'在a,b

上必有界.正确的选项是

AA

仅（1）正确；B

仅（2）正确；C

都正确；D

都错误.21(2)的反例：1, 0

x

1x0,

x

0f

(

x)

x

2

sin32

3f

(

x)

1, 0

x

1

x

2

cosx

x0,

x

0.111x

2

sinf

(x)在22三．（本题满分6分，每小题2分）1.设b

a

0f

a

a2，求极限lim

f

b

f

aln

b

ln

abaf

b

f

a

f

b

f

a

f

'

a

23

a3.limlim1aln

b

ln

ababab

a

balim

ln

b

ln

ab

a解2.求lim2x0x

1

x

x

1exx224

x

1ex

1x2

x

1ex

11

x2x0x0x0xex

1x0解lim

lim

lim

lim

.2x

22xex1x03.求lim1

sin

x

sin

sin

xx3

.sin2

x253x2cos

x1cossin

xlim

ex0x0解lim1

sin

x

sin1

e6

.lim

2

3x2

ex026四．（本题满分6分，每小题3分）1.求曲线

y

x

sin

x

的凹凸区间.解

y'

1

cos

x,

y"

sin

x,所以y

x

sin

x的凹区间为

2k

,2k

1

,k

Z.凸区间为2k

1

,2k2.求曲线y

2

x3在点(4，8)处的曲率及曲率半径.3解

4,8

附近函数可写为

y

x2

.

232'232y"1343.80

101

yx

12K

31

x

2

2

327而曲率半径

R

80 10

.五．（本题满分9分，每小题3分）1.设方程y

x

ln确定了一个二阶可导的隐d

2

y函数y

y

x,

且

y

1

0,

求

dx2x1.y'

ln

x2

y2

x2

y2.2x

x

yy'

x2

y2

y'

x2

y2

ln

x2

y2

2x

x

yy'

.解由此得y'

1

21

0

2.2

x

yy'

y'

x2

y2

y"

2

x

yy'

ln

x2

y2

2

x

yy'

2

x

yy'

2x

1

y'2

yy"2829所以

2

y'

1

y"

1

2

2

21

y'2

1由此得y"

1

10.y'

1

21

0

2.2,162.设

f

x

x2

3x

2n

cos

x

求

f

n216n

x2f

x

x

3x

2

cosn

n

x2

x

2

x

1

cos16

i

x2

ni.16

ni0nnifx

Cx

2n

x

1n

cos4

2302

n!.f

n

2

n!cos

解3.设函数d

2

yy

yx由参数方程

y

cos

tx

1

t

2所确定，求d

2y31dx2

2t

24t3dy

sin

tdx

2tdx2解1

t

cos

t

sin

t1 sin

t

t

cos

t,.2t

六．（本题满分6分）抛物线y

32x

与x轴、直线

x

t

t所围成的曲边三角形绕x轴旋转而成的旋转体的体积是t的函数，记作V

t

,(1)证明：当0

t1

t2

时，

t1

t2

t1

V

t2(2)求V

't

.1

2解

(1)

V

t2

包含底圆半径为

t1，高为t2

t1

的圆柱，包含于底圆半径为

t233，高为t2

的圆柱.

所以结论成立.(2)t

0

时，

t

V

t

t

V

t

t

t

.tt

0

时，

t

t

V

t

t

V

t

t.t可得V

't

t.令t

0七．（本题满分6分）求对数螺线r

e

（由极坐标方程给出）在点

2

处的切线的直角坐标方程．r，

e

2，x

e

cos

,y

e

sin.解

参数方程dye

sin

cos

,dx e

cos

sin

34

2

r，

e

2，

对应直角坐标点

0,e

2

,

导数为1,所以切线方程为x

y

e

2

.35八．（本题满分6分）记f

x

1

x

x2

11

x

xn

,n是正整数，(1)证明：lim

f

xx0

0.nx(2)证明：若Pn

x

是一个次数不超过n

的多项式，x0

0,nxn

1

P

x且lim

1

xxn136x0(1)

lim

0.nn

f

x

limx

x0

1

x

x解

2limx0

0.nxnP

x

1nxnxnx0

x0

1

1

x

x2

xn

1

P

x

lim

1

x

lim

1

xx

x

xn

(2)

2x

1

x

x

xn

.nPn37xnx0

1

P

xlim

1

x

0,九．（本题满分6分)

3

2

n

求数列

n2

的最大项n

1，2，3，（已知ln1.5

0.41）1

x

解

3

2

x2设

f

x

x

则2

3

3

f

x

x

2

x

ln

2

x

令f

x

0得f

x

在1，

内的唯一驻点为

4.9382ln

320x

2ln

32ln3当

1

x

2

时，f

x

0；当

2

x

时，f

x

0所以x0

ln22

3

2

x3

是函数f

x

x2

在区间1

x

上的极大值点，也是最大值点．2ln

320由于4

x

3

2

4

16

3

2

4

4.9

5

且f

4

42

32

3

50

2

4

f

4

3

2

5f

5

5 最大项为f5

24339800十．（本题满分5分）论证e

与

e

的大小．由于

e