(新)湘教版九年级数学下册22《圆心角、圆周角》课件(共3课时)

2.2.1圆心角情景引入合作探究课堂小结随堂训练2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角情景合作课堂随堂2.2圆心角、圆周角11.圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的?

圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线.垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的.2.绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？

它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.

今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理.情景引入1.圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是2·

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA练一练：找出右上图中的圆心角.圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA练一练3根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

在等圆中，是否也能得到类似的结论呢？合作探究根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的4在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．弧、弦与圆心角的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦_5证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形又∴∠ACB=60°，∴⊿ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例:如图,在⊙O中，

，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.例题学习证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形又∴∠ACB=6例2：如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：例2：如图，AB是⊙O的直径，7例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，.求证:AB＝CD.

例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，.求证:AB＝CD8例4：如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：∵例4：如图，AB是⊙O的直径，91.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC,求证:AB=CD.⌒⌒随堂训练1.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，⌒⌒随堂102.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC.⌒2.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、113.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE.⌒⌒3.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,124.如图，AD=BC,比较AB与CD的长度，并证明你的结论.⌒⌒4.如图，AD=BC,比较AB与CD的长度，并证明⌒135.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE.⌒⌒5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,14

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．课堂小结同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量15课后练习课后练习162.2.2圆周角

第1课时圆周角定理与推论1复习引入合作探究课堂小结随堂训练2.2.2圆周角

第1课时圆周角定理与推论1复习合作171.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.复习引入1.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角18.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角.B合作探究探究点一圆周角的概念.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得19圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.下列各图中的∠APB是否是圆周角?你认为圆周角相对圆心的位置关系有哪几种类型？圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.下20如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？观察图中∠ACB、∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？探究点二圆周角定理如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆21分别量一下所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AEB的度数比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？再量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？分别量一下所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AE22猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数等于这条23验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系24我们先来证第（1）种情况：证明：∵OB=OP ∴∠P=∠B ∵∠AOB是△OBP 的外角 ∴∠P=1/2∠AOB我们先来证第（1）种情况：证明：∵OB=OP25我们再来证明第（2）情况：连结PO并延长交⊙于C由（1）可知：∠APC=1/2∠AOC∠BPC=1/2∠BOC∴∠APC+∠BPC=1/2（∠AOC+∠BOC）即∠APB=1/2∠AOB我们再来证明第（2）情况：连结PO并延长交⊙于C26最后我们来证明第（3）种情况：连结PO并延长交⊙O于C由（1）可知：∠APC=1/2∠AOC∠BPC=1/2∠BOC∴∠BPC-∠APC=1/2（∠BOC-∠AOC）即∠APB=1/2∠AOB最后我们来证明第（3）种情况：连结PO并延长交⊙O于C27

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆周角定理·ABCDEO圆周角定理·ABCDEO281.圆周角的两个特征：（1）

，

（2）

.

2.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

.

3.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=

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顶点在圆上两边都与圆相交一半130°做一做1.圆周角的两个特征：（1）29

在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？CA'BB'AC'如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是︵︵CAA′C′＞首页探究点三圆周角定理的推论CA'BB'AC'如图，∠ABC=30°，∠A30在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？A′BB′ACC′O首页在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，A′BB′ACC′O首页31在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.首页圆周角定理的推论在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆32例：如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.ACBDO首页例题学习例：如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,ACBD33ABCO例：已知,⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC首页ABCO例：已知,⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的34如图OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC．求证：∠ABC=∠BAC．CBOA随堂训练如图OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=CBOA随堂训351.圆周角的定义；2.圆周角定理及证明；3.圆周角定理及推论的运用.课堂小结1.圆周角的定义；课堂小结36课后练习课后练习37第2课时圆周角定理的推论2与圆内接

四边形复习引入合作探究课堂小结随堂训练2.2.2圆周角

第2课时圆周角定理的推论2与圆内接

四边形复习合作课堂随堂38

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．·CDABO提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.复习引入圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等391.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？首页探究点一直径所对的圆周角的性质合作探究1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2.90°的圆周角所40

如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

直径所对的圆周角:21如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A41直径所对的圆周角等于90°（直角）.反过来也是成立的，即:90°的圆周角所对的弦是直径.直径所对的圆周角等于90°（直角）.反过来也是成立的42推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.AOBC1C2C3∵AB是直径∴∠AC1B=90°∵∠AC1B=90°∴AB是直径.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的43

若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.OBCDEFAOACDEB探究点二圆的内接四边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个44CODBA如图：圆内接四边形ABCD中,∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补.CODBA如图：圆内接四边形ABCD中,∵弧BCD和弧BA45例：在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）例题学习例：在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.O46变式：已知∠OAB等于40度,求∠C的度数.

ABCOD变式：已知∠OAB等于40度,求∠C的度数.ABCOD47OCABD1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆.随堂训练OCABD1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为482.如图，BC为半圆O的直径，AB=AF,AC与BF交于点M.（1）若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）（2）过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM.））BCAFDOM2.如图，BC为半圆O的直径，AB=AF,AC与BF交于点M493.判断.（1）等弧所对的圆周角相等；（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等；（）（3）90°的角所对的弦是直径；（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）3.判断.504.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,

∠B=75°,则∠C=_____.

75°圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形.等腰

511.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；2.圆内接四边形定义及性质;3.关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.课堂小结1.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦52课后练习课后练习532.2.1圆心角情景引入合作探究课堂小结随堂训练2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角情景合作课堂随堂2.2圆心角、圆周角541.圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的?

圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线.垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的.2.绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？

它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.

今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理.情景引入1.圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是55·

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA练一练：找出右上图中的圆心角.圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA练一练56根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

在等圆中，是否也能得到类似的结论呢？合作探究根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的57在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．弧、弦与圆心角的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦_58证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形又∴∠ACB=60°，∴⊿ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例:如图,在⊙O中，

，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.例题学习证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形又∴∠ACB=59例2：如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：例2：如图，AB是⊙O的直径，60例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，.求证:AB＝CD.

例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，.求证:AB＝CD61例4：如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：∵例4：如图，AB是⊙O的直径，621.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC,求证:AB=CD.⌒⌒随堂训练1.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，⌒⌒随堂632.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC.⌒2.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、643.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE.⌒⌒3.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,654.如图，AD=BC,比较AB与CD的长度，并证明你的结论.⌒⌒4.如图，AD=BC,比较AB与CD的长度，并证明⌒665.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE.⌒⌒5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,67

同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．课堂小结同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量68课后练习课后练习692.2.2圆周角

第1课时圆周角定理与推论1复习引入合作探究课堂小结随堂训练2.2.2圆周角

第1课时圆周角定理与推论1复习合作701.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.复习引入1.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角71.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角.B合作探究探究点一圆周角的概念.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得72圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.下列各图中的∠APB是否是圆周角?你认为圆周角相对圆心的位置关系有哪几种类型？圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.下73如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？观察图中∠ACB、∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？探究点二圆周角定理如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆74分别量一下所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AEB的度数比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？再量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？分别量一下所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AE75猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数等于这条76验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部验证:为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系77我们先来证第（1）种情况：证明：∵OB=OP ∴∠P=∠B ∵∠AOB是△OBP 的外角 ∴∠P=1/2∠AOB我们先来证第（1）种情况：证明：∵OB=OP78我们再来证明第（2）情况：连结PO并延长交⊙于C由（1）可知：∠APC=1/2∠AOC∠BPC=1/2∠BOC∴∠APC+∠BPC=1/2（∠AOC+∠BOC）即∠APB=1/2∠AOB我们再来证明第（2）情况：连结PO并延长交⊙于C79最后我们来证明第（3）种情况：连结PO并延长交⊙O于C由（1）可知：∠APC=1/2∠AOC∠BPC=1/2∠BOC∴∠BPC-∠APC=1/2（∠BOC-∠AOC）即∠APB=1/2∠AOB最后我们来证明第（3）种情况：连结PO并延长交⊙O于C80

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆周角定理·ABCDEO圆周角定理·ABCDEO811.圆周角的两个特征：（1）

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（2）

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2.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

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3.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=

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顶点在圆上两边都与圆相交一半130°做一做1.圆周角的两个特征：（1）82

在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？CA'BB'AC'如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是︵︵CAA′C′＞首页探究点三圆周角定理的推论CA'BB'AC'如图，∠ABC=30°，∠A83在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？A′BB′ACC′O首页在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，A′BB′ACC′O首页84在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.首页圆周角定理的推论在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆85例：如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.ACBDO首页例题学习例：如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,ACBD86ABCO例：已知,⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC首页ABCO例：已知,⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的87如图OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC．求证：∠ABC=∠BAC．CBOA随堂训练如图OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=CBOA随堂训881.圆周角的定义；2.圆周角定理及证明；3.圆周角定理及推论的运用.课堂小结1.圆周角的定义；课堂小结89课后练习课后练习90第2课时圆周角定理的推论2与圆内接

四边形复习引入合作探究课堂小结随堂训练2.2.2圆周角

第2课时圆周角定理的推论2与圆内接

四边形复习合作课堂随堂91

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．·CDABO提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.复习引入圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等921.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？首页探究点一直径所对的圆周角的性质合作探究1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2.90°的圆周角所93

如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

直径所对的圆周角:21如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A94直径所对的圆周角等于90°（直角）.反过来也是成立的，即:90°的圆周角所对的弦是直径.直径所对的圆周角等于90°（直角）.反过来也是成立的95推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.AOBC1C2C3∵AB是直径∴∠AC1B=90°∵∠AC1B=90°∴AB是直