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第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)1.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(2)<f(3),则实数a的取值范围是________.答案:a>12.函数f(x)=eq\r(log\s\do9(\f(1,2))(x-1))的定义域为________.答案:(1,2]3.函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过一定点是________.答案:(2,2)4.幂函数y=f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,-\f(1,8))),则满足f(x)=27的x的值是________.答案:eq\f(1,3)解析:设f(x)=xα,则(-2)α=-eq\f(1,8),∴α=-3,∴f(x)=x-3.由f(x)=x-3=27,得x=eq\f(1,3).5.设a=log36,b=log510,c=log714,则a、b、c的大小关系为________.答案:a>b>c解析:a=1+eq\f(1,log23),b=1+eq\f(1,log25),c=1+eq\f(1,log27),考查函数y=log2x,有0<log23<log25<log27,所以a>b>c.6.如图,矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y=logeq\s\do9(\f(\r(2),2))x,y=xeq\s\up6(\f(1,2)),y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为________.答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,4)))解析:由条件得,2=logeq\s\do9(\f(\r(2),2))x,2=xeq\s\up6(\f(1,2)),所以xA=eq\f(1,2),xB=4,于是xC=4,所以yC=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(4)=eq\f(1,4),所以点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,4))).7.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是________.答案:[0,1]解析:由题意,a=0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,,Δ=4-4a≥0,))所以0≤a≤1.8.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|,0<x≤10,,-\f(1,2)x+6,x>10,))若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是________.答案:(10,12)解析:不妨设a<b<c,则由f(a)=f(b)ab=1,再根据图象易得10<c<12.9.已知函数f(x)=xeq\s\up6(\f(1,-n2+2n+3))(n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上是递增的,解不等式f(x2-x)>f(x+3).解:由条件知,eq\f(1,-n2+2n+3)>0,解得-1<n<3.由于n=2k,k∈Z,所以n=0,2.当n=0,2时,f(x)=xeq\s\up6(\f(1,3)),所以f(x)在R上为单调递增函数,由f(x2-x)>f(x+3),得x2-x>x+3,解得x<-1或x>3,所以不等式的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞).10.已知函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(x,27)))(log33x),x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,27),\f(1,9))),求函数f(x)的最大值和最小值.解:f(x)=(log3x-3)(log3x+1)=(log3x)2-2log3x-3.令log3x=t,∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,27),\f(1,9))),∴t∈[-3,-2],∴g(t)=t2-2t-3=(t-1)2-4在t∈[-3,-2]上是减函数,∴fmax(x)=g(-3)=12,fmin(x)=g(-2)=5.11.函数y=logax(x>1,a>1)图象上有A、B、C三点,横坐标分别为m、m+2、m+4.(1)求△ABC的面积S=f(m);(2)判断S=f(m)的单调性和值域.解:(1)S△ABC=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C=eq\f(1,2)[logam+loga(m+2)]×2+eq\f(1,2)[loga(m+2)+loga(m+4)]×2-eq\f(1,2)[logam+loga(m+4)]×4=2loga(m+2)-logam-loga(m+4)=logaeq\f((m+2)2,m(m+4)).又logam>0,∴m>1.故S=f(m)=logaeq\f((m+2)2,m(m+4))(m>1).(2)由f(m)=logaeq\f((m+2)2,m(m+4))=loga[1+eq\f(4,m(m+4))],∵1+eq\f(4,m(m+4))在(1,+∞)上为减函数,又a>1,故f(m)在(1,+∞)上为减函数.下面求值域:∵m>1,∴m(m+4)=m2+4m=(m+2)2-4>5,则0<eq\f(4,m(m+4))<eq\f(4,5),从而有1<1+eq\f(4,m(m+4))<eq\f(9,5).又a>1,∴0<logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al

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