排列、组合、二项式定理专题讲义

排列、组合、二项式定理专题讲义—.考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定理的通项公式，二项式系数的性质等.三.基础知识：分类计数原理(加法原理)N=m+m++m.12n分步计数原理(乘法原理)N=mxmx---xm.12n排列数公式n!Am=n(n-1)•••(n-m+1)=——.(n,mgn*,n).n(n—m)l注：规定。!=1.排列恒等式flTOC\o"1-5"\h\z(1)Am=(jl—m+1)；(2)Am=Am;nnn〃—m^-1=nAm-i；nn-1nA"—A»+i—An；nn+\n(5)Am=Am+mAm-1.n+\nn(6)1!+2•2!+3•3!hn-nl=(n+1)1-1.组合数公式Amn(n-l)---(n-m+l)n!(nGN*,Cm二—n——=«Amlx2x-..xmm!•(n-m)!m(nGN*,组合数的两个性质(1)Cm二Cn-m；(2)Cm+C»«-l=C.nnnnn+\注：规定Co=1.n组合恒等式八n-m+1八八n八TOC\o"1-5"\h\z(1)C〃i=(Jm-1;(2)Cm=(Jm;»mnnn—mn~l(3)Cm———Cm-i；(4)>C〃=2"；n乃—inr=0(5)Cr+Cr+Cr-\C?=Cr+1.rr+1r+2nn+\Co+Ci+C2h—+Cr+—C«=2”.nnnnnCi+C3+C5+・・・=C。+C2+C4+・••2打-1.nnnnnnCi+2C2+3Csh1-nCn—n2n-itnnnnCrC0+Cr-lCl+・・・+C0,C〃=C「.mnmnmnm+n(C0)2+(Cl)2+(C2)2+・・・+(C")2=C昨.nnnn2n排列数与组合数的关系Am=ml-Cm.nn单条件排列以下各条的大前提是从〃个元素中取m个元素的排列.“在位”与“不在位”某(特)元必在某位有种；②某(特)元不在某位有Am-Am-1(补n-1nn-1集思想)=A1A/«-i(着眼位置)=Am+A1A/«-i(着眼元素)种.n-1n-1n-1m-1n-1紧贴与插空(即相邻与不相邻)定位紧贴：k(k<m<n)个元在固定位的排列有AkAm-k种.kn-k浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An-k+iAk种.n-k-\-lk注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、11个（k<h+l）,把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAk种.hA+1（3）两组元素各相同的插空m个大球〃个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当n>m+1时，无解；当n<m+1时，有一廿=。”种排法.Anm+ln（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为役.m+n分配问题（1）（平均分组有归属问题）将相异的山、〃个物件等分给m个人，各得〃件，其分配方法数共有N=Cn•C«•Cn••••Ca•C〃=竺.mnmn-nmn-2n2nn（（2）（平均分组无归属问题）将相异的m.〃个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有C«-C«-C«...•C«•C«{mn）!/V=mnmn~nmnn-=.ml（3）（非平均分组有归属问题）将相异的P（P=n+n+・・・+n）个物体分给12mm个人，物件必须被分完，分别得到〃，〃，•••，〃件，且n,n,•••,n12nt12nt这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有N=CpC%...C%&.=一些一.p/"inIn\...n!TOC\o"1-5"\h\z12m（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的P⑷二七+七+•••+%）个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到〃，〃，•••，n件，且〃，〃，•••，12m12n这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有m-m!p\m\/yp尸一〃〃a\b\c\...nIn\...n!（o!Z?!c!...）12m（5）（非平均分组无归属问题）将相异的P（P=n+n+・・・+n）个物体分为12m任意的〃，〃，•••，〃件无记号的m堆，且〃，n,…，n这m个数彼此12m12m不相等，则其分配方法数有N=,nin!...〃!TOC\o"1-5"\h\z12m(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P二七+七+•••+气)个物体分为任意的〃，n,…，n件无记号的m堆，且n,n,…，n这m个数12m12mr)\中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有N=—――——.nin!...〃'.(aib'.ci...)12m(限定分组有归属问题)将相异的〃{p=n+n+•••+〃)个物体分12m给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得〃件，乙得〃12件，丙得〃件，…时，则无论〃，n,…，n等m个数是否全相异或不全312m相异其分配方法数恒有N-C«-C%...Cnm—.pp~'\n,„nIn!...〃!12m二项式定理(a+b)n-C^an+Cian-lb+6冒--功2+...+Cran-rbr+•..+Cnbn;nnnnn二项展开式的通项公式T=Cran-rbr(f=0,L2««-,fl).r+1n.二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等；n若n为偶数，中间一项(第g+l项)的二项式系数最大；若n为奇数，71+171+1中间两项(第一—和一-—1项)的二项式系数最大；(3)Co+Ci+C2+C«—2»;Co+C2+・..=Ci+C3+・..=2”T;nititnnnnnF(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(l);奇数项系数和为/(-!)］；偶数项的系数和为;(1)+/(-1)］；四.胃考题回顾一、选择题1错误!未指定书签。.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标II卷数学（理））已知（l+ax）（l+x）5的展开式中工2的系数为5,则1=【答案】DA.-4B.-3C.-2D.-1错误！未指定书签。2.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,•••,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为【答案】BA.243B.252C.261D.279错误！未指定书签。3.（2013年高考新课标1（理））设m为正整数，（x+y）2；»展开式的二项式系数的最大值为。，3+y）2"l展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=lb,则山=【答案】BA.5B.6C.7D.84错误！未指定书签。.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））（1+xMl+y）4的展开式中尤2产的系数是【答案】DA.56B.84C.112D.1685.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））满足。，力6{—1,0,1,2、且关于x的方程aja+2x+b=Q有实数解的有序数对（。,\）的个数为【答案】BA.14B.13C.12D.10错误！未指定书签。6.（2013年上海市春季高考数学）（l+x）w的二项展开式

C.120x3D.252x4C.120x3D.252x4A.45尤B.90x2（）7错误！未指定书签o.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））使得+）的展开式中含有常数项的最小蹦【答案】TOC\o"1-5"\h\zVx』x）+B\o"CurrentDocument"A.4（）B.5C.6D.7错误！未指定书签。8.（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为",共可得到iga-lgb的不同值的个数是【答案】C\o"CurrentDocument"A.9B.10C.18D.20错误！未指定书签。9.（2013年高考陕西卷（理））设函数\（_[）6=J，则当x>0时，/[/（X）]表达式的展开式中常数-\[x,x>0.项为【答案】AA.-20B.20C.-15D.1510错误！未指定书签o.（2013年高考江西卷（理））&2-三*展开式中的常

数项为【答案】CA.80B.-80C.40D.-40二、填空题1错误！未指定书签。.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=2x3,所以36的所有正约数之和（1+3+32）+（2+2x3+2x32）+（22+22x3+22x32）=（1+2+22）1+3+32）=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为【答案】48362错误！未指定书签o.（2013年高考四川卷（理））二项式（x+y）5的展开式中,含尤2）3的项的系数是.【答案】103错误！未指定书签o.（2013年上海市春季高考数学）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为一数项为【答案】CA.80B.-80C.40D.-40（结果用数值表示）.【答案】§4错误！未指定书签o.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,8均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）【答案】4805错误！未指■书^o.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是【答案】5906错误！未指定书签。.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））.【答案】156.【答案】15的二项展开式中的常数项为7错误！未指定书签o.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设二项式（的展开式中常数项为A,则4=.【答案】T。8错误！未指定书签o.（2013年高考上海卷（理））设常数NR,若%2+-的二项展开式中工7项的系数为TO,则。=【答案】a=-29错误！未指定书签