2023届内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡二中高考仿真模拟数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．2．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（）A． B． C． D．13．已知函数，，的零点分别为，，，则（）A． B．C． D．4．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（）A． B． C． D．5．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A．B．C．D．6．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．37．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．9．等比数列若则（）A．±6 B．6 C．-6 D．10．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数11．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．12．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.14．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.15．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.16．集合，，则_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.19．（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．20．（12分）已知函数（），是的导数.（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.21．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.22．（10分）已知正项数列的前项和.（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；（2）设正项数列的前项和为，若，且.①求数列的通项公式；②求证：.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

利用直线与圆相交求出实数的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【题目详解】由于直线与圆相交，则，解得.因此，所求概率为.故选：D.【答案点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.2．B【答案解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.【题目详解】根据题意,设,则由代入可得即点的轨迹方程为又因为,变形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:所以的最小值即为到直线的距离最小值根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值设切线的方程为,化简可得由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得即所以切线方程为或所以当变化时,到直线的最大值为即的最大值为故选:B【答案点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用,圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.3．C【答案解析】

转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.【题目详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，作出与，，的图象，如图所示，可知故选：C【答案点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.4．B【答案解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.【题目详解】因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，则，由几何概型的概率计算公式知，所以.故选：B.【答案点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.5．D【答案解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．6．A【答案解析】

直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.【题目详解】解：将两边同时乘以，得故选：A【答案点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.7．B【答案解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故8．D【答案解析】

根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【题目详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.【答案点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.9．B【答案解析】

根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.【题目详解】由等比数列中等比中项性质可知，，所以，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以，故选：B.【答案点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.10．C【答案解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【题目详解】解：是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确．为偶函数，故错误，故选：．【答案点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．11．C【答案解析】

计算出、，进而可得出结论.【题目详解】由表格中的数据可知，，由频率分布直方图可知，，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【答案点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.12．D【答案解析】

设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【题目详解】设，，联立，得则，则由，得设，则，则点到直线的距离从而．令当时，；当时，故，即的最小值为本题正确选项：【答案点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．18【答案解析】

先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.【题目详解】解：因为，所以，.故答案为：18.【答案点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.14．【答案解析】

由在上恒成立可求解．【题目详解】，令，∵，∴，又，，从而，令，问题等价于在时恒成立，∴，解得．故答案为：．【答案点睛】本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．15．2【答案解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【题目详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．16．【答案解析】

分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集.【题目详解】因为表示为奇数，故.故答案为：【答案点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【答案解析】

（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．【题目详解】解：（1）或或解得或或无解综上不等式的解集为．（2）时，，即所以只需在时恒成立即可令，由解析式得在上是增函数，∴当时，即【答案点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．18．（1）见证明；（2）【答案解析】

（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案．【题目详解】（1）证明：在等腰梯形，，易得在中，，则有，故，又平面，平面，，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，设，，，，而,即，.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，，设平面的法向量为，由得，取，得，，同理可求得平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为.【答案点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．19．(1)(2)4【答案解析】

（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B点坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算的值即可．【题目详解】（1）将点P横坐标代入中，求得，∴P（2，），，点P到准线的距离为，∴，∴，解得，∴，∴抛物线C的方程为：；（2）抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为，；设，直线AB的方程为，代入抛物线方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，则．【答案点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．（1）见解析；（2）【答案解析】

（1）设，，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.【题目详解】（1）由已知，，所以，设，，当时，单调递增，而，，且在上图象连续不断.所以在上有唯一零点，当时，；当时，；∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小值点，即在区间上存在唯一的极小值点；（2）设，，，∴在单调递增，，即，从而，因为函数在上单调递减，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上单调递减，，当时，，则在上单调递减，，符合题意.当时，在上单调递减，所以一定存在，当时，，在上单调递增，与题意不符，舍去.综上，的取值范围是【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的