第1次课1-模糊数学发展史公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第一讲含糊集概论

1.1引言

(什么是含糊数学？发展过程/应用价值?)

1.2含糊集基本概念

1.1.1什么是"含糊数学"含糊数学(FuzzyMathematics)是一个新兴数学分支,它并非“含糊”数学,它是研究含糊现象、利用含糊信息准确理论。含糊数学目标是仿效人脑含糊思维,为处理各种实际问题

(尤其是有些人干预复杂系统处理问题)提供有效思绪和方法,含糊数学已广泛应用于自动控制、预测预报、人工智能、系统分析、信息处理、模式识别、管理决议、仿真技术,甚至那些与数学毫不相关或关系不大学科,如生物学、心理学、语言学、社会科学等。1.1.1什么是"含糊数学"所谓含糊现象,是指客观事物之间难以用分明界限加以区分状态,它产生于人们对客观事物识别和分类之时,并反应在概念之中。外延分明概念,称为分明概念,它反应分明现象。外延不分明概念,称为含糊概念,它反应含糊现象。含糊现象是普遍存在。在人类普通语言以及科学技术语言中,都大量地存在着含糊概念。比如:高与矮、胖与瘦、美与丑、清洁与污染,甚至象人与猿、脊椎动物与无脊椎动物、生物与非生物等等这么一些对立概念之间，都没有绝对分明界限。普通说来,分明概念是扬弃了概念含糊性而抽象出来,是把思维绝对化而到达概念准确和严格。传统数学以康托尔集合论为基础。集合是描述人脑思维对整体性客观事物识别和分类数学方法。康托尔集合要求其分类必须遵从排中律,论域(即所考虑对象全体)中任一元素要么属于集合A,要么不属于集合A,二者必居其一,且仅居其一。它只能描述外延分明“分明概念”,只能表现“非此即彼”,而不能描述和反应外延不分明“含糊概念”。为了克服Cantor集不足,1965年美国控制论教授L.A.Zadeh(1921~)发表了著名论文FuzzySets,这标志着含糊数学诞生。

模糊概念外延是不明确,其边界是不清楚,因而对应集合也是“含糊”。就是说一个对象是否属于这个集合,不能简单地用“是”或“否”往返答。比如,对于“年轻人”这个概念,若要判断20岁张三或80岁李四是否是“年轻人”,答案自然是明确！但要判断28岁~35岁左右人是否属于“年轻人”集合,就不那么好确定了。对于一个实际年纪不超出30岁而又没有几根头发人,就更难确定是否属于“年轻人”集合了。

在许多场所里,是与不是,属于与非属于之间区分不是突变,不是一刀切,而是有一个边缘地带、量变过渡过程。很自然地会提出疑问：为何要把自己局限于只考虑“属于”、“不属于”两种极端情况？假如分别用1、0表示“属于”、“不属于”,称为元素属于集合隶属度。上述问题就表示成:为何非要要求隶属度只取0、1两个值呢？Zadeh正是创造性地允许隶属度可取0、1之间其它值,从而用隶属函数来表示含糊集合！

模糊集合不是简单地扬弃概念含糊性,而是尽可能如实地反应人们使用含糊概念时原来含意。这是含糊数学与普通数学在方法论上根本区分。恩格斯说：“辩证法不知道什么绝对分明和固定不变界限,不知道什么无条件普遍有效‘非此即彼！’它使固定形而上学差异相互过渡,除了‘非此即彼！’,而且使对立互为中介；辩证法是唯一、最高度地适合于自然观这一发展阶段思维方法。”含糊数学正是辩证法思想在数学中反应。“含糊数学”关键是含糊集合,因而也被称为“含糊集理论”。因为其研究内容越来越深入、应用越来越广泛,远超出了数学范围,故又常被称为“含糊理论”。又因为含糊数学应用突出表达在控制系统中,因而又常被称为“含糊系统理论”。另外,含糊数学思想冲破了经典二值逻辑范围,所以含糊逻辑(FuzzyLogic)常被作为含糊数学代名词。全部这些概念,已极难给出一个明确界定。当然,这也说明了“含糊”概念/“含糊”现象确实无处不在！含糊理论含糊数学含糊系统含糊决议不确定性与信息含糊逻辑与人工智能含糊集合、含糊测度、含糊分析、含糊关系、含糊拓扑等含糊控制、含糊信号处理、含糊模式识别、通信等含糊多目标优化、含糊数学规划可能性理论、不确定性度量等近似推理、含糊教授系统等1.1.2从名人那里了解含糊数学Zadeh于19出生在前苏联阿塞拜疆(Azerbaijian)共和国,母亲是俄罗斯人,父亲是伊朗人,从事进出口生意,家境富裕。Zadeh在前苏联上小学,接收十月革命后共产主义教育。以后因为政局动荡,Zadeh父母把他送到伊朗美国学校,并在伊朗UniversityofTeheran完成了大学教育1.1.2从名人那里了解含糊数学1944年Zadeh到了美国,就读MIT,1946年取得硕士学位后转到Columbia大学继续深造,于1949年获博士学位,并留校任教。Zadeh是当代控制理论开创者之一,他首先提出了状态空间概念,并是系统理论(systemtheory)这个名词创造者。1959年Zadeh离开Columbia转去Berkeley,一直工作到现在。1.1.2从名人那里了解含糊数学长久以来,围绕决议、控制及其相关一系列主要问题研究,从应用传统数学方法和当代电子计算机处理这类问题成败得失中,使扎德逐步意识到传统数学方法不足。他指出：“假如深入研究人类认识过程,我们将发觉人类能利用含糊概念是一个巨大财富而不是包袱。这一点,是了解人类智能和机器智能之间深奥区分关键。”准确概念能够用通常集合来描述。含糊概念应该用对应含糊集合来描述。扎德抓住这一点，首先在含糊集定量描述上取得突破,奠定了含糊性理论及其应用基础。1.1.2从名人那里了解含糊数学人脑重要特点之一就是能对含糊事物进行识别和判断,许多事物是不能用精确数学模型来表达,处理许多事情经常用含糊方式比用精确方式更有效。扎德在谈到这个问题时,曾经用汽车停车作为例子。要在拥挤停车场上两辆车之间一个空隙停放一部汽车,司机经过一些不精确观察,执行一些不精确操纵,轻而易举就完成了泊车工作。而假如经过微分方程表示汽车运动,装备精良检测设备,用一台大型计算机也难以胜任这一工作。1.1.2从名人那里了解含糊数学随机性和含糊性都是对事物不确定性描述,但二者是有区分。Zadeh在其开创性论文FuzzySets中说：应该注意,即使含糊集隶属函数与概率函数有些相同,但它们之间存在着本质区分。含糊集概念根本不是统计学概念。概率论研究和处理随机现象,所研究事件本身有着明确含意,只是因为条件不充分,使得在条件与事件之间不能出现决定性因果关系,这种在事件出现是否上表现出不确定性称为随机性。而含糊数学研究和处理含糊现象,所研究事物其概念本身是含糊,这种因为概念外延不清楚而造成不确定性称为含糊性。1.1.2从名人那里了解含糊数学下面例子中能够更鲜明地说明随机性和含糊性区分：假如你不幸在沙漠迷了路,而且几天没喝过水,这时你见到两瓶水,其中一瓶贴有标签：“纯净水概率是0.81”,另一瓶标着“纯净水程度是0.81”。你选哪一瓶呢？相信会是后者。因为后者水即使不太洁净,但必定没毒,这里0.81表现是水纯净程度而非“是不是纯净水”,而前者则表明有19％可能不是纯净水(换句话说就是:可能有毒)。1.1.2从名人那里了解含糊数学含糊数学理论在科学技术领域中有着广泛影响,从Zadeh取得以下荣誉和奖励中可窥见一斑:扎德博士是著名IEEE,AAAS,ACM和AAAI,及美国工程学会组员,他在1973年获IEEE教育奖章和在1984年获IEEE百年纪念奖章,在1989年荣获本田基金会本田奖．于1992年荣获IEEERichardW.Hamming奖章,此奖章表彰他对信息科学和系统包含含糊集论学术贡献。他在1992年成为苏联自然科学院外籍院士(计算机与控制系统)并获国际人工智能基金会人工智能尤其贡献证书．1.1.2从名人那里了解含糊数学扎德博士于1993获RufusOldenburger奖章,此奖章由美国机械工程协会表彰他对系统理论、决议分析、含糊集论及其在人工智能、语言学、逻辑、教授系统和神经网络应用学术贡献．他同时获GrigoreMoisil奖,此奖表彰他基础研究,而且在第二届国际含糊理论和技术学术会上获第一个最正确论文奖．在1995年荣获IEEE荣誉奖章,以表彰他对含糊逻辑发展及其许多不一样领域应用．扎德博士于1996年获Okawa奖,以表彰他经过含糊逻辑发展与应用对信息科学出色贡献．1.1.2从名人那里了解含糊数学扎德在1997年获捷克科学院B.Bolzano奖章以表彰他对含糊数学取得出色成就,同年他荣获IEEE-SMCJ.P.Wohl出色生涯成就奖章.作为李光耀贵客,在新加坡国立大学及南洋技术大学讲学。1998年国际智能系统学会EdwardFeigenbaum奖,美国自动控制理事会RichardE.Bellman控制遗产奖,日本含糊理论协会信息科学奖。1999年BerkeleyFollows,IFSAFellows.IEEE千年奖章、IEEE含糊系统先驱奖、ASPIH2000终生成就奖、ACIDCA2000论文奖。年ACM2000AllenNewell奖。另外还有十余个国家众多荣誉博士学位……1.1.2从名人那里了解含糊数学L.A.Zadeh教授访问记(AnInterviewwithLotfiA.Zadeh,CommunicationoftheACM,Vol.27,No.4,304-311,April1984)问：Zadeh教授，自从你60年代建立了含糊逻辑概念之后，对此兴趣增加了很多吗？有没有其它人追随了这一理论？Zadeh:…人们正在日益接收这一理论，但对此还有很大怀疑和反对。当前，研究含糊集理论人数最多国家是中国。似乎在东方国家对于与二值逻辑不一样体系有更大兴趣，大约这是因为他们逻辑不像西面笛卡尔逻辑。1月5日,四川大学收到喜报,国际含糊系统协会发来通知称,经该协会教授评审,已确定授予川大副校长刘应明院士“FuzzyFellow奖”(含糊出色人物奖)。“FuzzyFellow奖”是含糊数学领域最高奖项,专门授予得到国际公认、在含糊数学领域做出出色贡献科学家。以前有10多位国外科学家曾取得这一奖项,刘应明院士成为首位获此殊荣中国科学家,打破了欧美科学家垄断这一奖项格局。•

四川在线

(-01-06)

刘应明(1940-)福建福州市人,数学家,1995年当选为中国科学院院士。主要从事拓扑学与不确定性(主要是含糊性)数学处理等方面教学与科学研究,并取得多项主要结果。完成了与含糊信息处理相关国家“863”课题及国家基金重大项目,推进了我国含糊技术产业化。已发表研究论文80余篇,并获国家自然科学奖等各种奖励。在刘院士眼中,自己研究含糊数学就像空气一样无处不在,并非人们想像那样深奥玄迷。“人们说话,10句最少有8句是含糊,”刘院士笑着说,“今天天气不错这句话就是含糊,你能够依据这句话就放心出门,但假如准确地告诉你,今天气压是多少,风力有多大,紫外线强度有多少,你可能就无法判断自己该不该出门。”

炒菜就是人们利用大脑对含糊信息进行处理一个例子,炒菜人不可能用温度计来测炒锅到达什么温度,然后再下菜,也不会准备一只天平来称该下多少菜,“假如什么事情都要准确,你将寸步难行。”有些现象是准确,不过,适当含糊化可能使问题得到简化,灵活性大为提升。比如,在地里摘玉米,若要找一个最大,那很麻烦,而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里全部玉米都测量一下,再加以比较才能确定。它工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大,工作越困难。然而,只要稍稍改变一下问题提法：不要求找最大玉米,而是找比较大,即按通常说法,到地里摘个大玉米。这时,问题从准确变成了含糊,但同时也从无须要复杂变成意外简单,挑不多几个就能够满足要求。所以,适当含糊反而灵活。

刘应明：含糊性是精确性另一半！院士科普书系:刘应明等著,《含糊性——精确性另一半》,清华大学出版社。这本书中提到如下希腊悖论：“一粒种子肯定不叫一堆,两粒也不是,三粒也不是……其次,全部人都同意,一亿粒种子肯定叫一堆。那么,适当界限在哪里？我们能不能说,123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别两个概念。但是,它们区别是逐渐,而不是突变,两者之间并不存在明确界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度含糊性。1.1.3从秃头悖论中体会含糊逻辑准确方法逻辑基础是传统二值逻辑,它要求对每个命题做出要么真、要么假非此即彼明确判断,这是适合于处理清楚概念和命题逻辑模式。当把经典二值逻辑用于处理Fuzzy概念和Fuzzy命题时,将会在理论上造成逻辑悖论。最著名逻辑悖论是“秃头悖论”。秃头显然是个Fuzzy概念,日常生活中,某人是否秃头,不论成人还是儿童都能轻而易举地作出恰当判断,因为人脑拥有接收和处理Fuzzy信息能力。若用准确方法来处理秃头问题会发生什么情况呢?首先我们都同意以下两条公设:1.1.3从秃头悖论中体会含糊逻辑公设:(1)存在秃头人和非秃头人。(2)若有n根头发人秃,则有n+1根头发人亦秃。由此便会造成秃头悖论

：全部些人都秃。证实

对n用数学归纳法。(i)n=0人显然是秃头。(ii)假定n=k人是秃头。(iii)由公设(2),n=k+1人也是秃头。于是由数学归纳法原理知,对于任意n≥0,有n根头发人都是秃头。从而全部些人都秃。1.1.3从秃头悖论中体会含糊逻辑秃头悖论出现原因在于,数学归纳法是以通常集合论为基础推理方法,而秃头是个Fuzzy概念,这里把基于通常集合论推理方法强行用于Fuzzy概念,换句话说,是把一个经典二值逻辑推理,利用到二值逻辑所不能施行判断上去,从而造成悖论产生。类似悖论是很多,比如朋友悖论:设命题A=“刚认识朋友是新朋友”,命题B=“新朋友过一秒种还是新朋友”,从常识看显然都是真命题。但若以A和B为前提,重复利用准确推理规则进行推理,将会得出命题C=“新朋友过1还是新朋友”。这显然为假命题。1.1.3从秃头悖论中体会含糊逻辑年纪悖论

由显然为真两个命题A=“20岁人是年轻人”和B=“比年轻人早生一天人还是年轻人”出发,能够推出显然为假命题C=“100岁老翁也是年轻人”。身高悖论

以真命题A=“身高2米者为大个子”和B=“比大个子矮1毫米者仍是大个子”为前提,能够推出显然为假命题C=“侏儒也是大个子”。饥饱悖论

从真命题A=“3日未食者是饥饿者”和B=“比饥饿者多食一粒米者仍是饥饿者’’出发,能够推出假命题C=“一个饥饿者日食3斤米仍是饥饿者”……1.1.3从秃头悖论中体会含糊逻辑量与质是统一,量变化包含着质变化.从头发根数来区分秃与不秃,其绝对界限是没有。但根数加1与减1又都必须计较,在这微小量变之中已经蕴涵着质差异,而这种差异只简单地用“是”与“非”这两个字是绝对不能刻画出来。二值逻辑是把真与假,是与非绝对化,只允许有1和0两个值。“秃头悖论’’谜底告诉我们,对于Fuzzy概念,仅用1和0两个逻辑值是不够,必须在1与0之间采取其他中间过渡逻辑值来表示不一样真程度。比如,逻辑值可认为0.7,表示一个命题三七开,七分真三分假,其真程度是0.7.1.1.4含糊数学发展历程计算机不能象人脑思维那样灵活、灵敏地处理含糊信息,其根本原因是它基于二值逻辑(与之相适应是康托尔集合论)。L.A.Zadeh正是深刻地认识到这一点,创造性地提出含糊集合概念,为含糊理论发展奠定了基础。自含糊理论诞生之日起,它就一直处于各派激烈争论之中。一些学者认为“含糊化”与基本科学标准相违反。最大挑战来自于统计和概率论领域数学家们,他们认为概率论已足以描述不确定性,而且任何含糊理论能够处理问题，概率论也都能够处理得一样好或更加好。1.1.4含糊数学发展历程因为含糊理论在早期没有实际应用,所以它极难击败上述这种纯哲学观点质疑。当初几乎世界上全部大型研究机构都未将含糊理论作为一个主要研究领域。2.含糊理论继续发展并出现了实际应用(70年代)

公平地说,含糊理论成为一个独立领域,很大程度上归功于Zadeh贡献及其出色研究工作。含糊理论大多数基本概念都是由Zadeh在20世纪60年代末70年代初提出来。他在1968年提出含糊算法概念,1970年提出含糊决议(Bellman和Zadeh),1971年提出了含糊排序。1.1.4含糊数学发展历程1973年Zadeh发表了另一篇开创性文章《分析复杂系统和决议过程新方法纲要》,该文建立了研究含糊控制基础理论,在引入语言变量这一概念基础上,提出了用含糊IF-THEN规则来量化人类知识。20世纪70年代一个重大事件就是诞生了处理实际系统含糊控制器。在1975年,英国工程师Mamdani和Assilian创建了含糊控制器基本框架,并将含糊控制器用于控制蒸汽机。以后在1978年,丹麦Holmblad和Qstergaard为整个工业过程开发出了含糊水泥窑控制器。

1.1.4含糊数学发展历程总说来,公认含糊理论基础创建于20世纪70年代。伴随许多新概念引进,含糊理论作为一门新领域前景已经日益清楚了。像含糊蒸汽机控制器和含糊水泥窑控制器这类最初应用也已经表明了这一领域潜力。

3.含糊理论大规模应用使其产生巨大飞跃(20世纪80年代)从理论角度讲,20世纪80年代初这一领域进展迟缓。这期间没有提出什么新概念和方法,这是因为几乎没有些人继续从事该领域研究,只有含糊控制方面应用保留下来。1.1.4含糊数学发展历程然而,与理论进展迟缓相比,含糊控制应用非常振奋人心并引发了含糊领域一场巨变。日本工程师们,以其对新技术敏感,快速地发觉含糊控制器对许多问题来讲都是易于设计,而且操作效果也非常好。因为含糊控制不需要过程数学模型,所以它能够应用到很多因数学模型未知而无法使用传统控制论系统中去。1980年,Sugeno开创了日本首次含糊应用——控制一家富士电子水净化工厂。1983年,他又开始研究含糊机器人,这种机器人能够依据呼唤命令来自动控制汽车停放。1.1.4含糊数学发展历程20世纪80年代初,来自于日立企业Yasunobu和Miyamoto开始给仙台地铁开发含糊系统。他们于1987年结束了该项目,并创造了世界上最先进地铁系统。1987年7月,第二届国际含糊系统协会年会在东京召开。会议是在仙台地铁开始运行后三天召开,Hirota还在会议上演示了一个含糊机器人手臂,他能实时地做二元空间内乒乓动作,Yamakawa也证实了含糊系统能够保持倒立摆平衡。今后,支持含糊理论浪潮快速蔓延到工程、政府以及商业团体中。1.1.4含糊数学发展历程到了20世纪90年代初,市场上已经出现了大量含糊消费产品。在日本出现了“含糊”热,家电产品中,不带Fuzzy产品几乎无人购置。空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中已广泛采取了含糊控制技术。我国也于20世纪90年代初在杭州生产了第一台含糊洗衣机。含糊数学于1976年传入我国后,得到快速发展。1980年成立了含糊数学与含糊系统学会,1981年创办《含糊数学》(华中工学院)杂志,1987年创办《含糊系统学会》(国防科技大学)。中国被公认为含糊数学研究四大中心

(美国、欧洲、日本、中国)之一。1.1.4含糊数学发展历程4.含糊理论仍有更多挑战(20世纪90年代以后)日本含糊系统成功震惊了美国和欧洲主流学者们(常说:含糊理论生在美国,却长在日本)。一些学者仍对含糊理论持批评态度,但更多学者不但已经转变观念,而且还给予了含糊理论发展壮大机会。1992年2月,首届IEEE含糊系统国际会议在圣地亚哥召开了,这次大会标志着含糊理论已被世界上最大工程师协会——IEEE所接收,而且IEEE还于1993年创办了IEEE含糊系统会刊。1.1.4含糊数学发展历程尽管含糊理论在20世纪80年代末90年代初发展是迅猛,但极难说有什么突破,仍有大量工作要做,大多数方法和分析仍停留在初级阶段。与应用相比,含糊逻辑理论基础并非无懈可击,比如1993年7月C.Elken博士在美国第11届人工智能年会上作了题为“含糊逻辑似是而非成功”汇报,引发了一场轩然大波。1.1.4含糊数学发展历程在洛杉矶出版“IEEE教授智能系统及其应用”杂志编委会组织含糊界和人工智能界15位教授学者对Elkan文章进行评论,并于1994年8月在该刊物上出了一个专栏,其中包含C.Elkan回复文章“关于含糊逻辑似是而非争论”,这说明这场争论并未取得一致意见。实际上,这场争论一直没有平息,比如西班牙学者E.Trillas与C.Alsina在InternationalJournalofApproximateReasoning上撰文再次论及C.Elken提出问题。1.1.4含糊数学发展历程有趣是,针对E.Trillas与C.Alsina上述论文,C.Elken本人在同一刊物发表了反驳文章,而E.Trillas与C.Alsina又在同期杂志上发表了对C.Elken反驳“注解”,他们各持已见,依然没能得到一致结论。其实,含糊数学不成熟是完全能够了解。因为经典数学已经有了很长历史,一代又一代数学家们已经把当代数学大厦建造得几乎到达了完美地步。与此相比较,诞生还不足半个世纪Fuzzy理论能够说尚处于牙牙学语阶段,当前我们还没有完全成熟章法可循。1.1.4含糊数学发展历程含糊理论目标在于深入开发人脑智能和模拟人脑思维方式,而人脑是创造一切当代文明源泉,所以模拟人脑既是极富于挑战性任务,又必定是十分艰难工作。在这方面点滴进步都是可贵,而且终将把含糊理论推向成熟。学习含糊数学就如同营养和丰富你大脑功效。同时,正