-初中数学竞赛定理大全

欧（Euler）垂重、外欧拉线外心重心心与重距一九圆任意三角形三边的点，高的垂及三顶点垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中其半径等于三角形外接半径的一半。费马：P△内一点，当∠＝BPC∠＝120°时，＋PBPC值最，

点称为△的尔点海（）式塞（Ceva）理在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边、CAAB与点D、、F则(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)＝；其逆真。密尔Miquel）点若AE、AFED、四条直线相交于A、B、C、D、、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，个点称为密格尔点。葛刚Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、、CA于点D、E、F，则AEBF、CD三线共点，这个点称为葛刚点。西松Simson）线：知P为外接，PD⊥BC，PEACPF⊥AB，DEF为垂则EF三共做西摩线黄分：条段(AB)分两线，使其中较大线(AC)是原线段(AB)与较小段(的例项为黄金割帕斯Pappus）理已点A1A2A3在直线l1上，知B、B、B3直l2上，且A1B2与AB1于X，A1B与AB1交点YAB3A3B2交点Z则XYZ点线笛格）定：ABC△，AA'BB'、CC'三线相交于O，BC与B'C'、CAC'A'、AB与A'B'分别点X、Y、Z，则X、、Z三共其亦摩莱（Morley）三角：ABC内的三分BC、CAAB点、、DEF正角为莱角。帕斯卡（Paskal）定理：知内六形ABCDEF的边AB、DE延长线交点G，BC延线点H，CD、点K，HK点线托密Ptolemy）理中ABCD＋·BC＝AC·22斯尔（Stewart）理设P△边BC上一点BP：＝n：m，则·(AB)＋n·(AC)＝m·(BP)＋n·(PC)（m＋n）(AP)梅劳定：在△

ABC

中，若

BC、

CA

、

AB

或其延线上被同一直线截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝阿罗尼斯Apollonius）一动点P与两定点AB的距离之比等于定比m:n，则P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称阿波罗尼斯，称“氏圆。布美塔Brahmagupta）定：在圆接边形

ABCD中AC⊥BD对角线的交点P向一作垂线，其延长线必平分对边。12123广股理在任一三角形中，锐角对的平方，等两夹边之平和，去某夹和另一夹边此边上影射乘积的倍．钝角对的平方，等两夹边的平和加上某边与另夹边在此边延上的影射乘的两倍加原

：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2不同的方法，„，在第N办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+„种不同的方法。比如说：从北到上海有种方法可以直接到达上海，：火车：飞机：轮船

kkk

，那么从北京-海的方法N=

k+k+k乘原

：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，„„，做第n有mn不同的方法.那么完成这件事共有N=m1·m2·m3„mn种不同的方法正定在一个三角形中，各边和它所对角的

正的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）这一定理对于任意三角形，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR三角形接圆半径）余定：对于任意三角形，任何一边的平方等其他两边方的减去两与们夹的弦两积若边为a,b,三为A,B,C，则足性质：a

2=b+c2

·Ab2=a+c2·CosBc

2=a+b2

·CosCCosC=(a

2+b2

)/2abCosB=(a2+c2-b2)/2acCosA=(c+b-a)/2bc解几的本1、点间距离：A(xy),B(x,则AB()2

2

y)21

22、行线间距离：lAx1

l:02则：

d

C1A2注意点：x，对应项系数应相等。1122121121211211211122121121211211212123、到直线的距离,yl:By0则P到l的距离为

AxA24、线与圆锥曲线相交的弦长公式：

F(x,y)消ax

0，务必注0.若l与曲线交于A(xy),B()122则：x)2

25、A(xy),B(x)，（x，在直线AB上，且分有向线段AB所成122的比则

xxyy

别地时AB中点且

x12yy变形后

yy1或1y226、直线l的斜率为k，直线l的斜率为k，则l到l的角适用范围：k，k都存在且kk1，

t11若l与l的夹角

k2

]2注意l到l的角，指从按逆时针方向旋转到所成的角，范l到l的夹角：指l、l相交所成的锐角或直角。（2）ll时，夹角、到角=。2（3）当l与l中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。111111127、1）倾斜；b角；直线l与平夹，]；2（4）l与l的夹角]其中l//l时夹2二面(0,；l到l的8、线的倾斜斜率k的关系a)每一条直线都有倾斜但不一定有斜率。b)若直线存在斜率k，而倾斜角则k=tan9、线l与直线l的的平行与垂直121121122121121122（1若l1，l2均存在斜率且不重合：①1//l2k1=k2②l12k12=1（2）lAxBy0,11若A、A、、B都不为零

l:22①l//l

C1C22

；②l2A12+B1B2=0l与l相交l与l重合

2C11C22

；注意：若A或B中含有字母，应注意讨论字母0的情况。10、直线方程的五种形式名称方程斜截式：y=kx+b

注意点应分①斜率不存在②斜率存在点斜式：

yy(x)

（1斜率不存在：x

yy(x)两点式：截距式：一般式：

x11x221xyaBy

（2）斜率在时为其中l交x轴(，交y轴b)当直线l在坐标轴上，截距相等时应分：（1截距=0设y=kx（）截距=a设xa即x+y=（其中A、B不同时为零）11、直线0与()y)2r2的位置关系有三种1211（221211（22若

Bb2

，dr相离d相切dr相交13、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义Ⅰ：若F，是两定点P为动点，且PFPFaFF21

为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义Ⅱ：若F为定点l为定直线，动P到F的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0<e<1P点的轨迹是椭圆。2y2标准方程：2b2(a义域：{x}值域{y}长轴长=2轴长=2b焦距：2c准线方程：

a焦半径

：

PF(1

a2c

)

，

PF(2

a2c

)

，

PF2aPF2

，PF等注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义注意图中线段的几何特征：A，A122Ba，AB等等顶1222点与准线距离、焦点与准线距离分别a,有关。．．．．．．．．．．．12．．．．．．．．．．．12（F中经常利用余弦定理、三角形面积公将有关线段PF2

、PF

2c，有关PF结合起来，建立PF+PF、PF2

PF等关系（3椭圆上的点有时常用到三角换元：

cos

；（4注意题目中椭圆的焦点在轴上还是在轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。二、双曲线（一）定义：Ⅰ若F，是两定点，PF2aFFa为常数2则动点P的轨迹是双曲线。Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数（e>1动点P的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质方程：

2yx(a0)(ab0)2b22b2定义域{xax}；

值域为R；实轴长=虚轴长=2b焦距：2c准线方程：

a：22a，a12、：22a，a12、焦半径

PF(x)PF(cc

，

PFPF2a2

；注意图中线段的几何特征：，AFBF221顶点到准线的距离：a

a2或；焦点到准线的距离ccac或ccc

;两准线间的距离=

2（2若双曲线方程为

2y2x22渐近线方程：022b2

yx若渐近线方程为

xy0双曲线可设ab2y2若双曲线与

yy有公共渐近线，可设为b2a，焦点在x轴上，焦点在y轴上）特别地当时离心率e2两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为2y注意F中结合定义PFPFa与余弦定cosF，22将有关线段PF二、抛物线

、

PF和角结合起来。2定义：到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数