真题-微积分课件第八章

一、二元函数的极值二、二元函数的最值三、条件极值四、小结思考题日乘数法第六节

多元函数的极值及其求法每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地品牌的每瓶卖x元，问题的提出某商店卖两种品子的果汁，本地品牌外地品牌的每瓶卖y

元，则每天可卖出本地品牌的果汁70

5x

4

y

瓶，外地品牌的果汁80

6

x

7

y

瓶.问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大收益？每天的收益为f

(

x,

y)

(

x

1)(70

5

x

4

y)

(

y

1.2)(80

6

x

7

y)求最大收益即为求二元函数的最大值.本节

与多元函数的最值有关的最简单的优化问题.问题的分析一、二元函数的极值的图形观察二元函数z

xy2

2ex

y1.二元函数极值(extreme

value)定义设函数z

f

(x,y)在点(x0

,y0

)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0

,y0

)的点

(x,y)：若满足不等式f

(x,y)

f

(x0

,y0

)，则称函数在(x0

,y0

)有极大值；若满足不等式

f

(x,y)

f

(x0

,y0

)，则称函数在(x0

,y0

)有极小值；极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。(1)(2)(3)例1

函数z

3

x2

4

y2在(0,0)处有极小值．在(0,0)处有极大值．x2例２

函数

z

y2例３在(0,0)处无极值．函数z

xy定理1（必要条件）设函数z

f

(

x,

y)

在点(

x0

,

y0

)

具有偏导数，且在点(

x0

,

y0

)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f

x

(

x0

,

y0

)

0，f

y

(

x0

,

y0

)

0.2.二元函数取得极值的条件不妨设z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)

处有极大值,则对于(x0

,y0

)的某邻域内任意(x,y)(x0

,y0

)都有f

(x,y)

f

(x0

,y0

),证故当y

y0

，

x

x0时，有

f

(

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

),说明一元函数f

(x,y0

)在x

x0处有极大值,必有

f

x

(

x0

,

y0

)

0;类似地可证f

y

(

x0

,

y0

)

0.推广如果三元函数u

f

(x,y,z)在点P(x0

,y0

,z0

)具有偏导数，则它在P(x0

,y0

,z0

)有极值的必要条件为f

y

(

x0

,

y0

,

z0

)

0

，f

x

(

x0

,

y0

,

z0

)

0，fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0.例如,

点(0,0)是函数z

xy

的驻点，但不是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点又

f

x

(

x0

,

y0

)

0,令

f

xx

(

x0

,

y0

)

A，f

y

(

x0

,

y0

)

0，f

xy

(

x0

,

y0

)

B

，f

yy

(

x0

,

y0

)

C

，则f

(x,y)在点(x0

,y0

)处是否取得极值的条件如下：（1）

AC

B20时具有极值，当A

0

时有极大值，当A

0

时有极小值；AC

B2

0时没有极值；AC

B2

0时可能有极值,也可能没有极值，还需另作

．例

4

求由方程x2

y2

z2

2

x

2

y

4z

10

0确定的函数z

f

(

x,

y)

的极值将方程两边分别对x,y

求偏导2

x

2z

zx

2

4zx

0y

y2

y

2z

z

2

4z

0由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,1),将上方程组再分别对x,y

求偏导数,解,2

z12

z1yy

PC

z

|

xy

P,

B

z

|

0,xx

PA

z

|

0

(z

2),函数在P

有极值.1(2

z)2故B2

AC

将P(1,1)代入原方程,有z1

2,

z2

6,1当z

2时，

A

0,41所以z

f

(1,1)

2为极小值；24当z

6时，

A

1

0,所以z

f

(1,1)

6为极大值.求函数z

f

(

x,

y)极值的一般步骤：第一步解方程组fx

(x,y)

0,求出实数解，得驻点.f

y

(

x,

y)

0第二步

对于每一个驻点(

x0

,

y0

)，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步

定出AC

B2的符号，再判定是否是极值.二、二元函数的最值与一元函数相类似，

可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例

5

求二元函数z

f

(

x,

y)

x2

y(4

x

y)在直线x

y

6，x

轴和y

轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.xox

y

6D解

如图,先求函数在D

内的驻点，yD解方程组

f

(

x,

y)

2

xy(4

x

y)

x2

y

0f

(

x,

y)

x2

(4

x

y)

x2

y

0yx得区域D内唯一驻点(2,1),

且

f

(2,1)

4,再求f

(x,y)在D边界上的最值，在边界x

0和y

0

上f

(x,y)

0,在边界x

y

6上，即y

6

x于是f

(x,y)

x2

(6

x)(2),x由f

4x(x

6)

2x2

0,得x1

0,

x2

4

y

6

x

|x4

2,f

(4,2)

64,比较后可知f

(2,1)

4为最大值,f

(4,2)

64为最小值.xyox

y

6Dx

y例

6

求z

x2的最大值和最小值.

y2

1

0,(

x2

y2

1)2(

x2

y2

1)

2

x(

x

y)zx

0,(

x2

y2

1)2(

x2

y2

1)

2

y(

x

y)zy

得驻点(

1

,

1

)和(

1

,

1

),2

2

2

2解由2

2

2z(

1

,

1

)

1

,2

2

2z(

1

,

1

)

1

,2

21

1所以最大值为

，最小值为

.因为lim

0

y2

1y即边界上的值为零.x

x2x

y无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：

小王有200元钱，他决定用来

两种急需物品：计算机磁盘和

磁带，设他磁带达到最佳效果，x

张磁盘，y盒效果函数为U

(x,y)

ln

x

ln

y．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求U

(x,y)

ln

x

lny

在条件8

x

10

y

200下的极值点．三、条件极值

日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．日乘数法要找函数z

f

(

x,

y)在条件

(

x,

y)

0

下的可能极值点，先构造函数F

(

x,

y)

f

(

x,

y)

(

x,

y)，其中

为某一常数，可由

f

x

(

x,

y)

x

(

x,

y)

0,y

y

(

x,

y)

0.

f

(

x,

y)

(

x,

y)

0,解出

x,y

,,其中

x,y就是可能的极值点的坐标例7某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的

.根据统计资料，销售收入

R(万元)与电台

费用x1

(万元)及报纸

费用x2

(万元)及报纸费用万元之间的关系有如下的经验公式：21

2121R

x

1532x14

x

x

28x

2

10

x(1)在费用不限的情况下，求最优2策略；费用为1.5万元，求相应的最优(2)若提供的策略.解：(1)利润函数L

R

15

1

L

x1由

2解得x1

202

2

L1

221

1

2

Lxx

x

2

L

4,

B

8,C

x又A

4

AC

64

80

16

0,且A

4

0,B2故点(0.75,1.25)为极大值点，由问题的实际意义可知：它为最大点即此时最优

略是用0.75万元作电台用1.25万元作报纸)做2(

日函数F

(

x1

,

x2

,

)

L(

x1

,

x2

)

(

x1

x2

1.5)(

x1

1由

1

x解得x1

即费1.5万元例8设某工厂生产甲产品数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x,y(吨)间的关系式

.0)0,5(2

yx，yx现S准备向银行150万元购原料，已知A,B原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?解

按题意，即求函数

0.0),0(

52

y在条件x

2

y

150下的最大值作

日函数F

(

x,

y,

)

0.005x2

y

(

x

2

y

150)F

x由

x

0.005

x2

2

0

x

2

y

150

0解得x

100,y

25因仅有一个驻点，且最大值一定存在，故驻点(100,25)为最大值，最大值S(100,25)

0.005

1002

25

125吨，即购进A原料100吨，B原料25吨，可使生产量达到最大值1250吨.F

0.01xy

0日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数u

f

(

x,

y,

z,

t

)在条件

(

x,

y,

z,

t

)

0，

(

x,

y,

z,

t

)

0下的极值，先构造函数F

(

x,

y,

z,

t

)

f

(

x,

y,

z,

t

)

1

(

x,

y,

z,

t

)

2

(

x,

y,

z,

t

)其中1

,2

均为常数，可由偏导数为零及条件解出x,y,z,t

，即得极值点的坐标.日乘数法的推广多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值日乘数法四、小结思考题若f

(x0

,y)及f

(x,y0

)在(x0

,y0

)点均取得极值，则f

(x,y)在点(x0

,y0

)是否也取得极值？思考题解答不是.

例如

f

(

x,

y)

x2

y2

,当x

0时，f

(0,

y)

y

2

在(0,0)取极大值;当y

0时，f

(x,0)

x

2

在(0,0)取极小值;但f

(x,y)

x2

y2在(0,0)不取极值.练习题一、填空题:1、函数

f

(

x,

y)

(6

x

x

2

)(4

y

y

2

)

在

点取得极

值为

.2、函数z

xy

在附加条件x

y

1下的极

值为

.3、方程

x

2

y

2

z

2

2

x

4

y

6z

2

0

所确定的函数z

f

(

x,

y)

的极大值是

,极小值是

.二、在

平

面

xoy

上

求

一

点,

使

它

到

x

0,

y

0

及x

2

y

16

0三直线的距离平方之和为最小.三、求内接于半径为a

的球且有最大体积的长方体.四、某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为

p1

和p2

，销售量分别为q1

和q2，需求函数分别为2

10

0.5

p2

；总成函数为C

35

40(

2

)，问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润是多少？五、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x(万尾)，乙种鱼放养

y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3

x

y),(4

x

2x),(

0)求使产鱼总量最大时的放养数。六、假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是p1

18

2q1

,p2

12

q2

，其中p1和p2

分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，2

分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：万吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C

2q

5，其中q表示该产品在两个市场的销售总量，即1

q2

。1、如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；2、如果该企业实行价格无差别策略，是确定两个市场上该产品的销售量及其

的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。七、设生产某种产品需要投入两种要素，x1和x2

分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为1

2Q

2

x

x

，其中

,

为正常数，且

1，假设两种要素的价格