导数和应用教（学）案

课题：变化率问题教学目标：.理解平均变化率的概念；.了解平均变化率的几何意义；.会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、情景导入为了描述现实世毙中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

_ 4a3V4乃■气球的体积%单位工)与半径/(单位:帅)之间的函数关系是丫。)=3V4乃■如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)=(D当V从0增加到1时,气球半径增加了r(l)-r(0)a0.62(dm)气球的平均膨胀率为*―；。)xQ.62(dm/L)(2)当V从1增加到2时，气球半径增加了"2)-«1)之0.16(加)气球的平均膨胀率为弋一;⑴«0A6(dm/L)r(V2)-r(VI)

匕一匕可以看出，随着气球体积逐渐增大r(V2)-r(VI)

匕一匕思考：当空气容量从%增加到16时,气球的平均膨胀率是多少？探究二：高台跳水:在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度外单位：777)与起跳后的时间/(单位：S)存在函数关系帅=49A+6.5/M0.如何用运动员在某些时间段的平均速1度粗略地描述其运动状态？探究过程：如图是函数-4.9A+6.5-10的图像，结合图形可知，〃(一)=〃(0),所以49A(——)—A(0) 65v=—^~ =0(5/w)，虽然运动员在owrw史这段时间里的平均速度为0(s/，〃),”-0 4949

但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。探究（三）：平均变化率1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子/（七）一,（须）表示,它一再称为函数从M到及的平均变化率2.若设Ax=%2—再，Ay=/（々）一/（不1）（这里Ar看作是对于用的一个“增量”可用必+Ax代替及，同样Af=Ay=/（x2）-/（X1））_._..6dAyf（xi）一f（x\）f（x\+AO-f（x\）则平均变化率为=八2,_八"= L_j\\fAxx2-Xj Ax思考：观察函数4月的图象:平均变化率包=/（々）一/Si）表示什么?3、函数f（x）从xo到Xo+ax的平均变化率怎么表示？/(x0+Vx)-/3、函数f（x）从xo到Xo+ax的平均变化率怎么表示？/(x0+Vx)-/(X。)Vx三、典例分析例1.已知函数0)=-/+x的图象上的一点4一1,一2)及临近一点9一1+Ax,-2+Ay),则包=Ax解：-2+Ay=-(-1+Ax)2+(-1+Ax),Ay_-(-1+Ax)2+(-l+Ax)-2.. = ~3-/\JLTOC\o"1-5"\h\zAx Ax例2、求y=/在x=x0附近的平均变化率。2 2解：4=(瓦+以)2-堞，所以＞='。+一一」AxAx_戈()+2x(4+八「--()=2x+^xZ —°所以y=/在x=x0附近的平均变化率为2%+Ax例3、求函数y=5x2+6在区间［2,2+ax］的平均变化率例4、某盏路灯距离地面高8m,一个身高1.7m的人从路灯的哽下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.］8： 1.7X解：略 ： \四.课堂练习.质点运动规律为5=产+3，则在时间(3,3+△/)中相应的平均速度为., 25+3A/.物体按照可。=3代+打4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率..过曲线尸仆)=/上两点。(1,1)和Q(1+Ax,1+勺/)作曲线的割线，求出当Aa=0.1时割线的斜率..平均变化率的概念.函数在某点处附近的平均变化率六.布置作业课后记：课题:导数的概念教学目标：.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其涵；.会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念.教学过程：一、复习引入1、函数平均变化率：包=：（&）_/（%）=/（♦+一/（X）Ax %一% Ax2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线（割线）的斜率3、在高台跳水运动中，平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。二、知识探究

1、引例：计算运动员在OWfW竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数从。=-4.9A+6.5件10的图像，结合图形可知，65 -A(—)=A(0)，所以u=— =0(5/m),49 竺-049虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.2、.瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映4<0时，在［2+4,2］这段时间内4>0时，在［2,2+4］这段时间内-42)-A(2+4)_49A?+13.1A/2-(2+4) 2=Y.9&-13.1-A(2+Az)-A(2)-4.9A?-13.14V= = (2+4)-2 Az ・=-494-13.1当4=-0,01时，4=-13.051一当&=001时，△/=-13.051,“当4=-0.001时,Az=-13.0951i.当4=0001时，△2=-13.0951,.当4=-0.001时，4=-13.09953当&=0001时，A/=-1309951,p当加=-0.0001时，A/=-13099951,当4=00001时，4=-13.099951一当△£=-0.00001时，4=-13099951,♦当&=0.00001时,AZ=-13.099951). 他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，f=2时的瞬时速度是多少？考察/=2附近的情况：①、思考：当加趋近于。时，平均速度：有什么样的变化趋势？②、结论：当加趋近于。时，即无论/从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度S都趋近于一个确定的值-13.1.③、从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度不就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在r=2时的瞬时速度是-TOC\o"1-5"\h\z④、为了表述方便，我们用lim妃±4±生2=-13.1表示“当，=2,加趋近于0时，从->0 N平均速度三趋近于定值-13.1”⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3、导数的概念：函数片0)在后府处的瞬时变化率是：+— =包"toAx Ar—。Ax我们称它为函数y=/(x)在x=/出的导数，记作/'(/)或y'I”.，，即广(/)=所/四+4)-/四)0 20 M说明：(1)导数即为函数片外)在六局处的瞬时变化率(2)Ax=x—x0,当Ar—>0时，x—>.v0,所以/'(%())=lim _"")AxtOx—公4、一般地，求函数f(x)在x=xo处的导数有哪几个基本步骤？第一步，求函数值增量：”=f(x+ax)-f(x0);第二步，求平均变化率：也=/(X。+")-/(x°)TOC\o"1-5"\h\zVx Vx第三步，取极限，求导数：/<xn)=lim也5、常见结论:(1)lim -=f(2)lim—— -=-x®%x-A：n ° Vx®oVr/(4+2Vx)-/(x) f(x+mVx)-f(x)m(3)lim -=2/匕)(4)hm -=Vx«o Vx 0Vx®o nVx n0三、典例分析例1.(1)求函数*3岸在a=1处的导数.分析：先求△片«1 1)=6Aa+(Ax)2再求包=6+Ax再求lim”=6Ax Ax解：法一(略)3x2-312 3(无2-]2)法二：yi,=lim———=lim^_^=lim3(x+l)=6

IX-l3 X~1Il(2)求函数<x)=-x2+x在x=—l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：包=—(T+Ax)2+(T+Ax)—2=3…Ax Axn「e与_(-1+Ax)?+(-1+Ar)-2 ].ca\aj(-1)=lim——= =lim(3-Ax)=34r—0Ax Ax 0例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x〃时，原油的温度(单位：C)为/(x)=x2-7x+15(04x48)，计算第2人时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2〃时和第6万时，原油温度的瞬时变化率就是.尸(2)和/'(6)根据导数定义，V=/(2+Ax)-/(x0)Ax Ax(2+Ax)2-7(2+Ax)+15-(22-7x2+15),、= =Ax-3所以/'(2)=limV=lim(Ax-3)=-3△xAr->0同理可得:八6)=5在第2〃时和第6人时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2〃附近，原油温度大约以3C//?的速率下降，在第6〃附近,原油温度大约以5C/〃的速率上升.注：一般地，f(七)反映了原油温度在时刻.“附近的变化情况.四.课堂练习.质点运动规律为5=产+3,求质点在f=3的瞬时速度为..求曲线片4M=*在*=1时的导数..例2中，计算第3〃时和第5〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

.瞬时速度、瞬时变化率的概念.导数的概念六.布置作业课题：导数的几何意义教学目标：.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；.理解曲线的切线的概念；.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题;教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：1、函数f(x)在x=xo处的导数的含义是什么？Vv*"。）=”吗古=VxVv*"。）=”吗古=Vx/(X。)2、求函数f(x)在x=xo处的导数有哪几个基本步骤？3、导数f'(xo)表示函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.-.知识探究探究一：导数的几何意义1,曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当匕(x,J(x“))(〃4,2,3,4) 沿着曲线/(x)趋近于点尸(Xo，/(X。))时，割线的变化趋势是什么？

我们发现，当点，，沿着曲线无限接近点尸即Ax-O时，割线PPn趋近于确定的位置,这个眄定位置的直线尸厂称为曲线在点尸处的切线.问题：⑴割线的斜率kn与切线尸7■的斜率k有什么关系？⑵切线尸7■的斜率k为多少？容易知道，割线P《的斜率是左=〃&）_/（乜）,当点斜沿着曲线无限接近点尸时,心无X"一%限趋近于切线尸7■的斜率k，即k=lim八%+"一/心）=f\x0）说明：⑴、设切线的倾斜角为a,那么当Ax-O时，割线PQ的斜率，称为曲线在点尸处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在X=%处的导数.⑵、曲线在某点处的切线：①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；③、曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.2,导数的几何意义：函数万AM在片刖处的导数等于在该点(%,/(%))处的切线的斜率，即：/'■)=lim 竺)二八型=k说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①、求出尸点的坐标；②、求出函数在点无。处的变化率/'(X。)=lim/(♦+Ar)一八』)=k，得到曲线在点Ax->0 Ax(x0,/(%))的切线的斜率；③、利用点斜式求切线方程.探究二；导函数概念：1、导函数定义：由函数何在x=/处求导数的过程可以看到，当x=xo时,八与)是一个确定的数，那么,当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为人力的导函数.记作：/‘(X)或y,即：/f(x)=y=lim/('V+Av)-/(-注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.2、函数f(x)在点/处的导数/'(/)、导函数尸(X)、导数之间的区别与联系。

1)函数在一点处的导数/'(不)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2)函数的导数，是指某一区间任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3)函数/(x)在点/处的导数/'(%)就是导函数r(x)在x=x0处的函数值，这也是求函数在点无。处的导数的方法之一。例1:(1)求曲线万人才=j+1在点片1,2)处的切线方程.(2)求函数尸在点(1,3)处的导数.解：(1)y'L=!解：(1)y'L=!叫AxtO[(1+Ax)2+1]-(12+1)Ax-2Ax+A%2=lim =2,加to Ax所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为丁一2=2(工一1)即2x-y=03x2-3-12 3(x2-I2)(2)因为yi-=lim^~--=lim- -=lim3(x+1)=6g—ix-\ — x-\ 3所以所求切线的斜率为6,因此所求的切线方程为y-3=6(x-l)即6x—y—3=0练习：求函数4m=-1+%在》=_1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：”=-(―(一1+词一2=3…Axa,八..Ay-(-l+zkr)2+(-l+Ar)-2/(-1)= ——=lim(3-Ax)例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数〃。)=-4.9/+6.5*+10,根据图像，请描述、比较曲线/;«)在九、4、〃附近的变化情况.

解：我们用曲线〃（r）在小、乙、〃处的切线，刻画曲线/?（。在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当，=小时，曲线加。在八处的切线平行于x轴，所以，在/=小附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当，=4时，曲线在八处的切线4的斜率/储）＜0,所以，在，=4附近曲线下降，即函数//（犬）=-4.9/+6.5犬+10在，=4附近单调递减.（3）当时，曲线入”）在处的切线4的斜率“。2）＜0，所以，在，=，2附近曲线下降，即函数/z（x）=T.9x2+6.5x+10在，附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在4附近比在〃附近下降的缓慢.例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=/（r）（单位：mg/他）随时间/（单位：min）变化的图象.根据图像，估计『=0.2,04,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/⑺在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线/（力在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作，=0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率为：0.48-0.911.0-0.7b-1.40.48-0.911.0-0.7b-1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率/〃)0.40-0.7-1.4.课堂练习.求曲线片］才=/在点(1,1)处的切线；.求曲线y=«在点(4,2)处的切线..回顾总结.曲线的切线及切线的斜率；.导数的几何意义.布置作业课后记课题：几个常用函数的导数教学目标：.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数？=。、y=x、y=x\y=—x的导数公式；.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数v=c、y=x、y=f、y 的导数公式及应用X教学难点：四种常见函数v=c、y=x、y=f、y=L的导数公式X教学过程：

1、导数/电%)的几何意义是什么？2、如何求函数f(x)的导函数？3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=/(x),如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.二.知识探究函数A上.函数y=f(x)=c的导数⑴根据导数定义，因为包=/(X+—―/(X)===o,△xAx Ax所以y'=lim'=limO=Oziv->oA,Ax->o⑵y=O表示函数y=c图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=O可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态..函数y=/(x)=x的导数Ayf(x+Ax)—f(x)x+Ar—x,(1)因为==八 = =lo△xAx Ax所以y'=lim包=lim1=1AxtOA,Atto⑵y'=l表示函数y=x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=l可以解释为某物体做瞬时速度为1的勺速运动..函数y=/(x)=x2的导数所以y=lim=lim(2x+Ax)=2xAttOAxAjr->0⑵y'=2x表示函数y=V图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着I的增加，函数y=/减少得越来越慢；当%>0时，随着、的增加，函数y=Y增加得越来越快.若y=/表示路程关于时间的函数，则/=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x..函数y=f(x)=-的导数x1 ]_因为竺=/(x+Ax)-/(x)=x+Ax；=x(x+Ax)= 1ArAx Axx(x+Ax)Axx2+x-Ax所以y'=lim-=lim(——； )=--V心->oArx+x-^xx函数导数1y=-X/=J 2厂(2)推广：若y=f(x)=xn(neQ"),贝U/(尤)=nxn-'三,课堂练习1.课本Pi3探究1；2.课本Pi3探究2;3.求函数y=4的导数四.回顾总结课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：-.复习引入1、四种常见函数y=c、y=x、y=Y、y=■的导数公式及应用x-.知识探究探究一：基本初等函数的导数公式表函数导数y=cy=0

y=/(x)=x"(〃eQ*)y=nx"''y—sinxy=cosxy=cosxy=-sinxy=f(x)=a'y=ax-Intz(a>0)y=f(x)=exy=ex/(x)=loguX/(x)=——(a>0且a*1)x\na/(x)=Inx,1/U)=-X探究二：导数的运算法则导数运算法则.[/(x)±g(x)]=/(x)±g(x)."(x>g(x)]=fXx)g(x)±f(x)g(x)特别:[cf(x)]=cf'(x)联]=f(x)g(x)-./V)g'(x)(g“)/0)一g(x)」 [g(x)]三.典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价〃(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(f)=Po(l+5%)',其中Po为/=0时的物价.假定某种商品的p0=l,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有p'⑺=1.05'In1.05所以p(10)=1.05i°In1.05「0.08(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.,11(1)y=x-2x+3(2)y= 广 尸;(3)y=x•sinxTnx;1+Jx\-y/X(4)y=A；(5)y=[*nA.(6)y=(2*-5x+1)&4 1+lnxsinx—xcosx(7)y= ；—cosx+xsinx说明：①求导数是在定义域实行的.②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增5284加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用为：c(x)= (80<x<100)100-x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率:(1)90% (2)98%解：略.课本P92练习.已知曲线C:y=3x4_2/-9*+4,求曲线。上横坐标为1的点的切线方程；(y=-12x+8)五.回顾总结(1)基本初等函数的导数公式表(2)导数的运算法则六.布置作业课后记课题：复合函数的求导法则教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则.教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

教学过程:-.复习引入1、基本初等函数的导数公式表函数导数y=cy=0y=f(x)=x"(neQ，)y=nr"-1y=sinxy=cosxy=cosxy=-sinxy=f(x)=axy=ax-Ina(4Z>0)y=/(X)=exy=exf(x)=log“Xf(x)=log“xf(x)= (a>。且a*1)xlna/(x)=Inx1/(幻=一X2、导数的运算法则导数运算法则1.[f(x)±g(x)]=f'(x)±g(x)2.[/(x)-^(x)]=f(x)g(x)±f(x)g(x)特别：0(x)]=</(x)Qrf(x)]_f(x)g(x)-/(x)g'(x).g(x)」 [g(x)]二、知识探究1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=/(〃)和〃=g(x)，如果通过变量〃，丁可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=/(〃)和“=g(x)的复合函数，记作y=/(g。))。2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？(1)y=ln(x2+3) (2)y=(2x+3)3 (3)y=sin(ax+1)3、复合函数的导数：复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/(“)和“=g(x)的导数间的关系为"'="'•"：，即y对x的导数等于y对〃的导数与"对x的导数的乘积.若y=/(g(x))，则y'=[/(g(x))]=r(g(x)>g'(x)三.典例分析例1求下列函数的导数：(1)y=(2x+3)3； (2)y=d-(3)y=sin(px+j) (4)y=ln(3x+2).X—n例2求y，/的导数.yjx2-lax例3求y=sin4x+cosJ的导数.【解法一】y=sin4x+cosAx=(sin2x+cos2a)2-2sin2cos2x=1--^-sin22x1 3 1=1—(1-cos4x)=—十—cos4x.y=-sin4x.4 44【解法二】/=(sin4a)z+(cos4=4sin3A(sin+4cos3x(cosa)'=4sin3zcosx+4cos3x(-sina)=4sinxcosx(sin2x-cos2M二-2sin2xcos2x--sin4x例4曲线y=x(x+1)(2・x)有两条平行于直线y 的切线，求此二切线之间的距离.【解】y=・x3+x2+2x /=-3%2+2x+2令p=1即3*・2x-1:0,解1 1 14得x二•一或x=1.于是切点为尸(1,2),Q(・一，・石)，过点尸的切线方程为，y・2:x・1即x-y+1=0.114一I——+—+11 ]£显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为 3父一=—V2.V227四.课堂练习Cip0V.求下列函数的导数 ⑴；/=5访川+5访33*;(2)y= ;(3)logu(x2-2)2x-l.求ln(2/+3x+l)的导数五.回顾总结课题：函数的单调性与导数教学目标：.了解可导函数的单调性与其导数的关系；.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：-.情景导入函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用.二.知识探究.问题：图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度〃随时间，变化的函数〃(力=-4.£+6,冬的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度1•随时间/变化的函数iC)="(f)=-9.8Z+6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：⑴、运动员从起点到最高点，寓水面的高度〃随时间/的增加而增加，即〃(。是增函数.相应地，v(r)=A(/)>0.⑵、从最高点到入水，运动员离水面的高度〃随时间，的增加而减少，即//(。是减函数.相应地，v(0=A(/)<0..函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.(1)(1) (2) (3) (4)如图3.3-3,导数/(%)表示函数/(x)在点(%,%)处的町卷附为隼在尤=%处，/(x0)>0,切线是“左下右上”式的，这时y=/W喈；结论：函数的单调性与导数的关系在x=x处，/'(x0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，y=/W喈；结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b),如果f'(x)>Q,那么函数y=/(x)在这个区间单调递增；如果/(x)<0,那么函数y=/(x)在这个区间单调递减.说明：(1)特别的,如果/'(x)=0,那么函数y=/(x)在这个区间是常函数..求解函数y=/(x)单调区间的步骤:(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求导数y=f(x);(3)解不等式f(x)>0，解集在定义域的部分为增区间;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数/(X)的下列信息：当l<x<4时，f'(x)>0;当x>4,或x<l时，f'(x)<0;当x=4,或x=l时，f(x)=O,试画出函数y=/(x)图像的大致形状.解：当1<x<4时，f(x)>0,可知y=f(x)在此区间单调递增;当x>4,或x<l时，/(x)<0;可知y=/(x)在此区间单调递减；当x=4,或x=l时，/(x)=0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.综上，函数y=/(x)图像的大致形状如图3.3-4所示.例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=x2-2x-3y. y=/(x)TOC\o"1-5"\h\z(3)/(x)=sinx-xxg(0, ; (4)f(x)= \卜解：(1)因为/(x)=V+3x,所以，/(x)=3x2 ： \, ~o~ii\*x因此，/(x)=x3+3x在/?上单调递增，如图3.3-5，、__L_ _(2)因为/")=》2—2工一3，所以，/(x)=2x-2=2(x-l)当f(x)>0,即x>l时，函数/(x)=f-2x-3单调递增；当f(x)<0,即x<l时，函数/(x)=x2-2x-3单调递减；函数/(*)=/-2*-3的图像如图3.3-5(2)所示.(3)因为/(x)=sinx-xxe(O,^-),所以，/(x)=cosx-l<0因此，函数f(x)=sinx—x在(0,%)单调递版,如图335(3)所示(4)因为/(x)=2x3+3x2-24x+1,所以.当了'(X)>0,即时，函数/(x)=x2-2x-3;当f(x)<0,即时，函数f(x)=x2-2x-3;函数/(大)=2/+3/-24%+1的图像如图3.3-5(4)所示.注：（3\（4）生练例3如图3.3-6,水以常速（即单位时间注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度/?与时间r的函数关系图像.(1)<2>(4)(1)<2>(4)解：⑴-5),(2)-(A),(3)一(0,(4)f(C)思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一围导数的绝对值较大，那么函数在这个围变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示,函数y=f(x)在(O,b)或(a,0)的图像“陡峭”,在他,+8)或(yo,a)的图像“平缓”.例4求证：函数y=2d+3x2-12x+l在区间(—2,1)是减函数.证明：因为y'=6f+6x-12=6(%2+x-2)=6(x-1)(x+2)当xe(-2,l)即-2<x<1时，y<0，所以函数y=2d+3/-12x+l在区间(一2,1)是减函数.说明：证明可导函数/(可在(a,3的单调性步骤：(1)求导函数/(X)；(2)判断f(x)在(a,3的符号；(3)做出结论:/(x)>0为增函数,/'(力<0为减函数.例5、已知函数/(幻=4》+0?_±丁在区间卜口］上是增函数，求实数。的取值围.解：f'(x)=4+2ax-2x2，因为f(x)在区间卜14上是增函数，所以f(x)N0对

恒成立，即》2-以-240对恒成立，解之得：-iWaWl所以实数a的取值围为［一1,1］.说明：已知函数的单调性求参数的取值围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则/(x)>0;若函数单调递减，则f(x)WO”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四.课堂练习.求下列函数的单调区间 ](1)<幻=2/-6解+7 2.《幻=X+2x 3.《M=sinx,xe[0,2^] 4.y=xlnx.课本练习.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y=/(x)单调区间(3)证明可导函数/(x)在(a,。)的单调性.布置作业课后记课题：函数的极值(-)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入.函数f(x)在区间(a,b)的单调性与其导数的正负有什么关系？.利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？二、知识探究探究一；函数的极值的概念a点的函数值《a)a点的函数值《a)比它临近点的函数值都大.b点的函数值乂①比它临近点的函数值都小.函数y=2a3-6a2+7的一个极大值：/(0); 一个极小值：f(2).函数y=2/-6*+7的一个极大值点：(0,f(0));一个极小值点:(2,f(2)).3、极值的概念：一般地，设函数《用在点Ab附近有定义，如果对刖附近的所有的点，都有《用＜4网)我们就说4小)是函数4m的一个极大值，记作：y极大值=*%)；如果对出附近的所有的点，都有《耳＞《府),我们就说外&)是函数4m的一个极小值，记作：y极小值=《府).极大值与极小值统称为极值.探究二：函数极值的求解1、观察下图中的曲线

考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况.上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0,极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正.2、、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地,当函数4用在点aO处连续时，判别心0）是极大（小）值的方法是：⑴如果在初附近的左侧,右侧,那么，4即）是极大值；⑵如果在府附近的左侧/（A）<0,右侧/（A）>0,那么，4刖）是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？（导数为0的点不一定是极值点.）如函数=/,x=0点处的导数是0，但它不是极值点.说明：⑴、函数的极值点x是区间［a,0部的点，区间的端点不能成为极值点.⑵、函数的极大（小）值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.⑶、函数在［a,0上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点.3、函数/Xx）的定义域为开区间（a,b）,导函数f'（x）在（a,份内的函数图像如图，则函数/（x）在开区间（a,b）内存在极小值点几个.

例1求函数例1求函数1丁_以+4的极值.-3解：y=*-4=(x+2)(x-2).令y=0,解得X1=-2,及=2.当x变化时，"，'的变化情况如下表.XMB—)一—2)2(2,，9+0■0+y/*28*28 4因此，当x=-2时，y极大值=三，当x=2时，y极小值=-；.总结：求可导函数，(月的极值的步骤：⑴求导函数f'(4;⑵求方程〃(M=o的根；(3)检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么久必在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.例2.求函数｝，=炉6-，的极值例3求函数y=(/-1)3+1的极值.解：定义域为R,)/=6**-1)2.由/=0可得必=-1，&=0,&=1当X变化时，，，J/的变化情况如下表:X―1)-1(-1»0)0■0■0y、X(，i)1(1.■0♦y/MB/当x=0时，y有极小值，并且y极小值=0.例4.y=_r=2的极值2(1)2例5.y=(x-l)4F的极值练习：求函数y=x)-'的极值四、课堂小结1.函数的极值的定义。2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数f'(xH解方程f'(x)=O-判断在根附近左右两侧f'(x)的符号一作出结论.五、课后作业课后记课题：函数的极值(二)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法进一步体验导数的作用.教学・点：求函数的极值教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入1.函数的极值的定义。略(1)函数的极值点为是区间［a,切部的点，区间的端点不能成为极值点.(2)函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.(3)函数在［a,向上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点.2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数f'(x)一解方程f'(x)=O-判断在根附近左右两侧f'(x)的符号一作出结论.二、讲授新课例1.已知/(幻="3+"2+次3*0)在彳=±1时取得极值，且/(1)=-1,(1)求常数a、b、照值；(2)判断x=±l分别是极大值点还是极小值点？练习：(1)已知函数“M=*+a*+bx+c,且知当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值，试求函数，(6的极小值，并求a、b、c的值(2)已知/"(x)=+b?-2x在x=-2,x=1处取得极值.1)求/'(x)的解析式；2)求/Xx)的单调区间.例2已知/(幻="3+版2+5在点々处取得极大值10,其导函数/(幻的图像经过点(1,0),(2,0).如图，求⑴X。的值；(2)a、b、曲值. y例3.若/(x)=Q+3o?+3(。+2次+1既有极大值， O x又有极小值.求。的取值范围.例4.函豺(x)=x2e*7+如3+嬴2已矢曲=-2和x=19(x)的极值点.(1)求a和做值；(2)讨论/'(制的单调性.例5、设a为实数,函数/'(M=/-*-x+a.,(1)求/'(M的极值；(2)当a在什么围取值时，曲线y=f⑻与x轴仅有一个交点.例2.已知函数.f(x)=x3—x.(1)求曲线y=/(x)在点/«))处的切线方程；(2)设a>0,如果过点(。，份可作曲线y=/(x)的三条切线，证明：一。<力</(。).例3.已知/(x)=ax3+bx2+cx在区间［0,1］上是增函数,在区间(-00,0),(1,+oo)上是减函数，又/'(g)="|.(I)求/(X)的解析式；(II)若在区间［0,加］(/77>0)上恒有f(X)SX成立,求6的取值围.例4,设函数，(*)=以2+61nx,其中ab00.证明：当">0时，函数/(x)没有极值点；当"<0时，函数/(x)有且只有一个极值点，并求出极值.例5.设函数八幻=炉+Z>ln(x+1),其中bwO.(I)当方>；时，判断函数/(x)在定义域上的单调性；(II)求函数/(%)的极值点；(川)证明对任意的正整数〃，不等式坨(工+1］〉与一二都成立.I〃 )nn解：略四、小结五、作业：见资料课题：函数的最大（小）值与导数教学目标：1、使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f（x）在闭区间［a,b］上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：-.创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.也就是说，如果/是函数y=/（x）的极大（小）值点，那么在点附近找不到比毛）更大（小）的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上,哪个值最大，哪个值最小.如果.％是函数的最大（小）值，那么/（毛）不小（大）于函数y=/（x）在相应区间上的所有函数值.二.知识探究 4吧1、观察图中一个定义在闭区间口,”上的函数/（X）的图象.图中/（为）与/（X。是极小值，/（X,）NX/O9F一?是极大值.函数/（X）在［a，U上的最大值是f（b），最小值是/(七).2、结论：一般地，在闭区间上函数y=/(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y=/(x)在\a,b］上必有最大值与最小值.说明：⑴、如果在某一区间上函数y=/(x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数y=/(x)在这个区间上连续.(可以不给学生讲)⑵、给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)连续的函数/(x)不一定有最大值与最小值.如函数〃x)=,在(0,+oo)连续，但没有最大值与最小值；X⑶、在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷、函数在闭区间［a,U上连续，是/(X)在闭区间［a,以上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)3、“最值”与“极值”的区别和联系⑴、最值”是整体概念，是比较整个定义域的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.⑵、从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.⑷、极值只能在定义域部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.3.利用导数求函数的最值步骤：由上面函数/(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.一般地，求函数/(x)在［a,U上的最大值与最小值的步骤如下：⑴、求)(X)在(。,〃)的极值；⑵、将/(x)的各极值与端点处的函数值/(a)、/S)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数/(X)在［a,U上的最值.三.典例分析例1.(课本例5)求〃力=；/一叙+4在［0,3］的最大值与最小值.4解：由例4可知，在［0,3］上，当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为/⑵=一］,又由于/(0)=4,/(3)=1因此，函数/(月=：/一4尤+4在［0,3］的最大值是4,最小值是-；.例2求函数y=X，-2x2+5在区间［0,2］上的最大值与最小值.答案:f(x)max=f(2)=13,f(x)min=f(1)=4.例3求函数f(x)=sin2x-x在区间［-上的最大值与最小值.答案：/)皿=/(-9=§作).=/(§=-%例4求函数0(x)=(1+x)2-ln(l+x『在l,e-1］上的最大值.e例5已知msl为常数，求证：xiln(x+m).元2例6、若对任意xe［-1,2］,不等式/.—-2x+a</恒成立，求实数a的取值围.答案：a?(?,1)U(2,+?)4/-7 , ,例7、已知集合A={yIy= },B={y|y=x-3a_x-2a},其中a>1为常2-x数，若当XG［0,1］时，Ai8,求a的取值围.

3答案：a1［1,-］例8、若存在正实数x,使不等式生一3m」9一成立，求a的取值围.1+x1+x答案:ae(O,2).例9已知函数/(x)= ，其中a<0为常数，求函数f(x)在区间［0,1］上的最大值.答案：略.课堂练习.下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值.函数片《必在区间［a,b］上的最大值是M,最小值是m,若例=6,则f⑻()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能.函数y=^x4+-xi+g/,在【一1,1］上的最小值为()13A.O B.-2C.-1 D.—12.求函数y=x-2/+5在区间［—2,2］上的最大值与最小值..回顾总结.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；.函数/(工)在闭区间上连续，是/(x)在闭区间［a,“上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；.闭区间［a,A］上的连续函数一定有最值；开区间(a,力的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值..利用导数求函数的最值方法..布置作业课题：生活中的优化问题举例（-）教学目标：.使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学过程一、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具.这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题.二.新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4,效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路：三.典例分析例1.海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要贴海报进行宣传。现让你设计一如图1.4-1所示的竖向贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？192解：设版心的高为xdm,则版心的宽为一dm,此时四周空白面积为xTOC\o"1-5"\h\z5(x)=(淤4-^+2)£28#立>8ox x512 512求导数，得S(x)=2---o令S(x)=2---=0,解得x=16(x=-16舍去卜X XIng1OR于是宽为一=——=8o当xe(0,16)时，S(x)<0;当XG(16,+oo)时，S(x)>0.x16因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2.在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为Acm,则箱高〃= ，得箱子容积2

V(x)=x2h=—— (0<x<60)V，(x)=60x (0<x<6Q令V'(x)=60x =02解得x=0(舍去)，x=40,并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值.答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为Acm,则箱底长为(60-2Mcm,贝ij*“* 拗«-I-4 60 得箱子容积丫*)=(60-2x)2x(0<x<30)(后面同解法一，略)由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处.60尸_/事实上，可导函数^(幻=/〃= Z—、V(x)=(60-2x)2x在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.例3.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积V 2VS(R)=2ttR—+2ttR2=—+2ttR2兀R- R

即h=2R,因为S（R）只有一个极值，所以它是最小值.答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？例4.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-解在*轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长.【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x,y）,且x>0,y>0,则另一个在抛物线上的顶点为（-x,y）,在x轴上的两个顶点为（-x,0入（x,0）,其中0<x<2.设矩形的面积为S,则S=2x（4-*）,0<x<2.由S'（x）=8-6*=0,得x=，易知x=§是S在（0,2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为工和号.3 3【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件.应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值.四.课堂练习.把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？.把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？用总长为14.8m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.答案:（高为1.2m,最大容积1.8加3）五.回顾总结1.利用导数解决优化问思糠辅!路：2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六.布置作业1.4生活中的优化问题举例（二）教学目标1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学・点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学过程一、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具.这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题.二.新课讲授导致在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路：三.典例分析例1.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8万/分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是y=/(r)=0.2x^^r3—0.8^r2=0.8%(g——,0<r<6令/(r)=0.8乃(,一20=0解得/*=2(r=0舍去)当r«0,2)时,f'⑺<0；当re(2,6)时,⑺>0.当半径r>2时，f'(r)>0它表示f(r)单调递增,即半径越大，利润越高；当半径r<2时,/(r)<0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.(1)半径为2cm时，利润最小，这时/(2)<0,表示此种瓶饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.(2)半径为6cm时，利润最大.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当/*=3时，/(3)=0,即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当/*>3时，利润才为正值.当/•€((),2)时，r(r)<0,/(r)为减函数,其实际意义为：瓶子的半径小于2cm

时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小.例2.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x)o(1X如果C(x)=IO-6%3-O.OO3%2+5x+1000,那么生产多少单位产品时，边际C'(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)(2\如果C(x)=50x+10000,产品的单价P=100-0.01x,那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C与产量g的函数关系式为6>100+4q,价格「与产量q的函数关系式为p=25—,4.求产量q为何值时，利润Z.最大？8分析：利润Z•等于收入/?减去成本C,而收入/?等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量g的函数关系式，再用导数求最大利润.二,利润L=利润L=R—C= J_(io()_4q)=一q22lq-l00(0<^<100)8L'=--q+2l,令L'=0,即一Lq+21=0,求得唯一的极值点q=84.4 4答：产量为84时，利润L最大.四.课堂练习1、书店预计一年要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即土，故有2150y= *30+—x40,/=-x2令y,=0,得x=15,且/'=4500+20,警，片15)>0,所以当x=15时，y取得极小值，且极小值唯一，150故当x=15时，y取得最小值，此时进货次数为m=10(次).即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少.2、甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城寓岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂。点与乙城到岸的垂足8点之间的距篇为x千米，总费用为y元，贝CD=7x2+402.y=500(50-x)+700J/+1600=25000-500x+700VPT1600,7QQv/=-500+700--(X2+1600)2-2x=-500+z ,ylx2+1600令y=0,解得x=竺底.答：水厂距甲距离为50-竺匹千米时，总费用最省.33.某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3s骗5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9<a<11)时，一年的销售量为(12-»2万件.(1)求分公司一年的利润Z■(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Qa).五.回顾总结1.1.利用导数解决优化问晶圆鼎靠揭路：2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六.布置作业课题：生活中的优化问题举例（三）教学目标1使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学过程-.创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具.这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题.二.新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1,与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路：三.典例分析例1.磁盘的最大存储・问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit卜为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于〃？,每比特所占用的磁道长度不得小于〃。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于/•与R之间的环形区域.(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)「为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？解：由题意知：存储量=磁道数X每磁道的比特数。设存储区的半径介于「与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于机,且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达幺二。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存m储量，最一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达过。所以，磁盘总存储量n”、R-r 271f 、/(r)= x =——r(/?-r)mnmn(1)它是一个关于〃的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是，•越小，磁盘的存储量越大.(2)为求/⑺的最大值,计算/⑺=0,f(r)=—(R-2r}mnRR R令(厂)=0,解得r=~，当一<5时，/\r)>0;当r>5时，f'(r)<0.因此r=£时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为红且2 mn4例2.汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w(单位：L)与汽车的速度u(单位：km/h)之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度I，的函数.根据你的生活经验，思考下面两个问题：(1)是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？(2)'汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G=^，其中，卬表示汽油消耗量(单位：L),ss表示汽油行驶的路程(单位：km).这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问题.通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间有如图所示的函数关系g=/(v).

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度□（单位:km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题.w解：因为6=叱=工=&,这样，问题就转化为求&的最小值.从图象上看，&表SsU V V示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小.在此切点处速度约为90Ian/h.因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90k/71/h.从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即/'（90）,约为L.例3.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周六最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高力和下底边长TOC\o"1-5"\h\z1 V3解：由梯形面积公式，得S=-(力必8。〃其中AD=2DB-BC,DE=^h,BC=b:.AD=^^-/nb,:.S=-(^^-h+2b)h=(—h+h)h①3 23 3h2. 2.:CD= =-f=hfAB=CD.:.U-j=hx2+d②cos30°v3 V3山〜a-sV3AJ46人sV3,S由①4(寻H 。，代入②,. h4 h=73hH—h3 3A3 h=0,:.h=-^-,当=0,:.h=-^-,当h<a 尺学时，/<°e学时，/>0-..斤/时，/取最小值，此时b=-y[S

V3 3请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示卜试问当帐篷的顶点。到底面中心力的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OOi为xm，贝ij1<x<4由题设可得正六棱锥底面边长为：732-(x-1)2=,8+2x-x2,(单位：m)故底面正六边形的面积为：6,—•(Vs+2x—x21= (8+lx-x~),(单位：wj-)4 2帐篷的体积为：V(%)=浮(8+23一一)[[(犬-1)+1]=*(16+12%--)丹求导得V(x)=1二(12-31)。令V(x)=O,解得x=—2(不合题意,舍去),x=2,2当l<x<2时，V(x)>0,V(x)为增函数；当2<x<4时，V(x)<0,V(x)为减函数。.,.当x=2时，V(x)最大。答：当0。1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为1673^o【点评】当要求的最大(小)值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x,然后再根据条件x来表示其他变量，并写出"的函数表达式，(x)..回顾总结1.利用导数解决优化问题的基本思路：2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。.布置作业课题：曲边梯形的面积教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法教学重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)教学难点：对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解

教学过程:.创设情景问题1:我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数y=/(x)在某一区间/上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数y=/(x)称为区间/上的连续函数.(不加说明，下面研究的都是连续函数).新课讲授问题2:如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 什y=/(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(aHb),y=O加)和曲线y=/(幻所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积？例1:求图中阴影部分是由抛物线y=V,直线x=l以及x轴所围成的平面图形的面TOC\o"1-5"\h\z积So /问题3：(1)曲边梯形与“直边图形”的区别？ /‘7s(2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为 Y j0 I-X求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形’的所有边都把区间［0,1］分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.(1).分割：在区间［Q(1).分割：在区间［Q］上等间隔地插入〃-1个点，将区间［0,1］等分成〃个小区间：分别过上述〃-1个分点作A轴的垂线，从而得到〃个小曲边梯形，他们的面积分别记作：ay,as,，…，,显然，s=Jas,.1=1(2)近似代替记y(x)=x2,如图所示，当〃很大，即Ax很小时，在区间—上，可以认为函数/'(x)=x2的值变化很小，近似的nn

等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点3处的函数值/-f—I,从图形上看，就n \ )是用平行于X轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲迦如图［这样在区间—上，nn用小矩形的面积AS：近似的代替AS,,即在局部围“以直代取”