一元流体动力学课件

一元流体动力学第二章一元流体动力学第二章1本章导读§2.1描述流体运动的基本概念§2.2恒定流连续性方程§2.3恒定流能量方程§2.4能量方程的应用§2.5气流的能量方程§2.6恒定流动量方程式本章小结主要内容本章导读主要内容2本章学习重点：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流体运动方程（连续性方程）；透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。掌握实际流体能量方程、动量方程；本章学习重点：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流31、流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应用。不涉及任何力2、解决的问题——建立流体运动的基本关系式，即研究运动要素随时间和空间的变化及其之间的关系。学习内容：3、流体动力学——研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。4、遵循的规律牛顿第二定律5、实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。1、流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应4一、拉格朗日(Lagrange)法质点系法1、研究方法——以流场中每一个流体质点作为描述对象的方法，它以个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动，进而得出整个流体的运动规律。“跟踪”的描述方法。研究对象:质点§2.1描述流体运动的基本概念一、拉格朗日(Lagrange)法质点系法1、研究方法——以52、表达式：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)a，b，c，t——被称作拉格朗日变量。其中：2、表达式：z=z(a，b，c，t)x=x(a6优点：拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。缺点：由于流体质点的运动复杂，此方法描述流体运动，在数学上存在困难。优点：拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。缺点7二、欧拉（Euler)法流场法1、研究方法——在流场中任取固定位置，研究流体通过该固定点时的运动情况。此法是以流动的空间作观察对象。流场——流体运动时所占据的空间。以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各个空间点上流体质点的运动参数，将各时刻的情况汇总起来，就描述了整个流动过程。研究对象:流场二、欧拉（Euler)法流场法1、研究方法——在流场中任取固82、表达式：（1）压强场：p=p(x,y,z,t)（2）密度场：ρ=ρ(x,y,z,t)x，y，z，t欧拉变量（3）速度场：ux=ux

(x,y,z,t)uy=uy(x,y,z,t)uz=uz(x,y,z,t)

由于欧拉法以流动空间作为研究对象，每时刻各空间点都有确定的物理量，这样的空间区域称为流场，包括速度场、压强场、密度场等，表示为2、表达式：（1）压强场：p=p(x,y,z9（4）加速度场：当地加速度（时变导数）：表示流体通过某固定点时速度随时间的变化率。迁移加速度（位变导数）：表示某一时刻流体流经不同空间点时速度的变化率。（4）加速度场：当地加速度（时变迁移加速度（位变导数）：表103、特点：——欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对象，故相对于拉格朗法简便，在工程中具有实用意义，故一般可采用欧拉法研究流体的运动规律。例如气象预报、洪水预报、水文水量预报。3、特点：——欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对象，11三、迹线、流线描述流体的运动，除可用数学表达式表述外，还可用更直观的图形来描述。1、迹线——表示某质点在一段时间内的运动轨迹。迹线可以反映出同一质点在不同时刻的速度方向。三、迹线、流线描述流体的运动，除可用数学表达式1、迹线——表12迹线方程：（1）用拉格朗日法表示的迹线方程：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)方程组联立，并消去t，即可得迹线方程。迹线方程：（1）用拉格朗日法表示的迹线方程：z=z(a13（2）用欧拉法表示的迹线方程：dtdx＝uxdtdy＝uydtdz＝uz将各方程分别积分，再将方程组联立，并消去式中的t

，即可得直角坐标系中的迹线方程。（2）用欧拉法表示的迹线方程：dtdx＝uxdtdy＝uy142、流线流场——是由无数流线构成的，各空间点的流速均与其所在流线相切。——某一瞬时，流场中各点流动趋势的曲线，曲线上任何一点的速度均与该曲线相切。2、流线流场——是由无数流线构成的，各空间点的流速均与其——15（1）流线的特点：因为同一时刻、同一质点只有一个速度矢量。1>流线互不相交，且为光滑曲线；驻点、奇点除外（1）流线的特点：因为同一时刻、同一质点只有一个速度矢量。162>流线充满整个流场,每个质点都位于一条流线上；3>某断面上流线的疏密，可反映该断面流速的大小。11222>流线充满整个流场,每个质点都位于一条流线上；3>17（2）流线微分方程：

其中t是参变量，在积分过程中可作为常量。将上式积分即可得流线方程。根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。所以即

图3-4（2）流线微分方程：其中t是参变量，在积分18四、流动的分类——按流体各点的运动要素是否随时间改变而划分。——流体各点的运动要素均不随时间改变的流动。（1）、恒定流1、恒定流与非恒定流四、流动的分类——按流体各点的运动要素是否随19其当地加速度为零：函数关系：p=p(x，y，z)

u=u(x，y，z)恒定流时，运动要素仅是坐标的函数，与时间无关。其当地加速度为零：函数关系：p=p(x，y，z20（2）非恒定流——流体空间各点只要有一个运动要素随时间改变即为非恒定流。u=u(x，y，z，t)p=p(x，y，z，t)函数关系：（2）非恒定流——流体空间各点只要有一个运动要素随时间改变21（3）、恒定流与非恒定流的判别标准可据当地加速度（时变导数）是否为零加以判断。恒定流与非恒定流相比，在欧拉变量中少了一个变量t，从而使问题变得相对简单，故在工程中通常可将非恒定流问题简化为恒定流来处理（运动要素随时间变化不太大，不影响计算精度）。在实际工程中，绝对的恒定流几乎不存在。（3）、恒定流与非恒定流的判别标准可据当地加速度（时变导数）22（1）、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁移加速度为零；特点：2>流线是平行的直线；——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。2、均匀流与非均匀流（1）、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体23（2）、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。（3）、均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。（2）、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而24注意：（1）恒定流与均匀流的概念区别；（2）据以上对流体流动的两种分类方法，可将流动分为四种形式，即：恒定均匀流非恒定均匀流恒定非均匀流非恒定非均匀流注意：（1）恒定流与均匀流的概念区别；（2）据以上对流体流动253、有压流、无压流、射流按总流边界的限制情况划分（1）、有压流——流体的流动边界全部是固体的流动。——具有自由表面的液体流动。（2）、无压流（3）、射流——流体经孔口或管嘴喷射到空间的流动如给水管路如明渠、无压涵管等3、有压流、无压流、射流按总流边界的限制情况划分（1）、有压264、一元、二元、三元流按空间位置坐标变量的个数划分（1）、一元流——运动要素是一个空间坐标及时间的函数。（2）、二元流——运动要素是两个空间坐标及时间的函数。——运动要素是三个空间坐标及时间的函数。（3）、三元流4、一元、二元、三元流按空间位置坐标变量的个数划分（1）、一27五、流管、流束、过流断面、元流、总流1、流管——在流场中作一非流线且不相交的封闭曲线，然后由曲线上的各点作流线，所构成的管状面。特点：流体的质点不能穿越流管；若流动为恒定流，则流管的形状、位置不变。五、流管、流束、过流断面、元流、总流1、流管——在流场中作282、流束——流管内所包容的流体。u过流断面u过流断面3、过流断面——横断流束并和其中所有流线都正交的横断面。过流断面可以是曲面，也可以是平面。2、流束——流管内所包容的流体。u过流断面u过流断面3、过流29——过流断面面积无限小的流束。4、元流特点：若流动为恒定流，则元流的形状、位置不变；同一过流断面上，各点的运动要素可认为相等。5、总流——过流断面面积为有限大的流束。总流可看成无数多元流之和，其过流断面面积等于各元流过流断面积的积分。——过流断面面积无限小的流束。4、元流特点：若流动为恒定流，30六、流量、断面平均流速（2）计算式：Q=∫AdQ=∫AudA可用于可压缩流体——单位时间内通过过流断面的流体的量。1、流量Q重量流量kN/sN/s体积流量m3/sl/s质量流量kg/s（1）表示方法：一般用于不可压缩流体。六、流量、断面平均流速（2）计算式：Q=∫AdQ=∫312、断面平均流速v计算式：——假想的均匀分布在过流断面上的流速，以它通过的流量与以实际流速分布通过的流量相等。即过流断面上各点流速的加权平均值。以符号v表示，单位为

m/s。vu2、断面平均流速v计算式：——假想的均匀分布在过流断面上的32恒定、均匀、不可压缩流体方程的推导依据是：质量守恒及恒定流的特性。一、公式推导连续性方程是不涉及任何作用力的方程。§2.2恒定流连续性方程恒定、均匀、不可压缩流体方程的推导依据是：质量守恒及恒定流的33取控制体，考虑到条件

1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变；2）不可能有流体经流管侧面流进或流出；3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙；4）忽略质量转换成能量的可能。根据质量守恒原理

（1）有固定边界域的总流连续方程式

物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于密度变化在单位时间里所增加的质量相等。适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、理想流体、实际流体。取控制体，考虑到条件（1）有固定边界域的总流连续方程式34（2）恒定流的总流连续性方程

对于恒定流，有，则上式为

适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可压缩流体、理想流体、实际流体。

（3）不可压缩流的总流连续性方程对于不可压缩流体有：ρ=const，则或物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集的地方流速大

，而流线疏展的地方流速小。适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。

（2）恒定流的总流连续性方程对于恒定流，有35Q1Q3Q2（4）分叉流的总流连续性方程

或：

Q1Q3Q2（4）分叉流的总流连续性方程或：36例输水管道经三通管分流（图下），已知管径d1=d2=200mm，d3=100mm，断面平均流速v1=3m/s，v2=2m/s，试求断面平均流速v3。解：例输水管道经三通管分流（图下），已知管径d1=d2=20037公式推导1.取微元体在某一瞬时在运动无黏性流体中取出棱边为dx，dy，dz的一微小平行六面体。基本思路:(1)取微元体(2)受力分析(3)导出关系(4)得出结论一、无黏性流体运动微分方程§2.3恒定流能量方程公式推导1.取微元体基本思路:(1)取微元体(2382.受力分析作用在流体上力：(1)表面力；(2)质量力(1)表面力（以X方向为例）包括压应力和剪应力左表面右表面(2)质量力X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的质量为ρdxdydz，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：

Xρdxdydz、Yρdxdydz、Zρdxdydz

2.受力分析(2)质量力393.导出关系

由牛顿第二运动定律，x方向有：

化简得：4.结论——无黏性流体运动微分方程——Euler运动微分方程3.导出关系化简得：4.结论——无黏性流体运动微分方程——E40无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程41（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度。（2）适用条件：a.无黏性流体。b.可压缩流体及不可压缩流体c.恒定流及非恒定流单位质量流体的质量力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的惯性力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和42二、无粘性流体运动微分方程的伯努利积分dxdxdydydzdzEuler方程三式分别乘以流线上微元线段的投影dx、dy、dz，则相加后得：1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间dt的比为速度分量，即有：则：①二、无粘性流体运动微分方程的伯努利积分dxdxdydydzd43

则（1）式

变成（3）（4）因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二（3）（4）因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二44（5）（6）条件三：质量力仅为重力条件四：不可压缩流体（5）（6）条件三：质量力仅为重力条件四：不可压缩流体45对于任意两点1、2

——（6）、（7）式为无粘性流体沿流线的伯努利方程。（7）对于任意两点1、2（7）46（1）.公式适用条件：无粘性流体、恒定流动、质量力只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。（2）.几何意义和物理意义：

三、方程的适用条件和意义位置水头、比位能

单位重量流体所具有的位能

压强水头、比压能单位重量流体所具有的压能流速水头、比动能

单位重量流体所具有的动能三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。（1）.公式适用条件：无粘性流体、恒定流动、质量力只有重47四、实际液体元流能量方程实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有H1＞H2设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw'，按能量守恒原理，上式可写成即上式即恒定流、不可压缩实际液体能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。四、实际液体元流能量方程实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的48五、渐变流及其性质（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。（2）在非均匀流中，按流线是否接近平行直线，可将流动划分渐变流与急变流。五、渐变流及其性质（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划491、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁移加速度为零；特点：2>流线是平行的直线；——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。1、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁502、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。3、均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。2、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不3513、渐变流——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。特点：（1）过流断面近似平面；（2）同一过流断面上，流体各点的动压强分布符合静压强分布。（3）均匀流是渐变流的特例，同时具有以上两点。3、渐变流——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。特点52六、恒定总流能量方程1.方程的推导

设元流的流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则在上述等式两端同乘以ρgdQ。沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有则：

1122z1z2六、恒定总流能量方程1.方程的推导设元流的流量为dQ=u53（2）动能积分：（3）损失积分：

实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）式中：

z——比位能（位置水头）

——比压能（压强水头，测压管高度）

——比动能（流速水头）

——比势能（测压管水头）

——总比能（总水头）

——平均比能损失（水头损失）,单位重流体克服流动阻力所做的功。（2）动能积分：（3）损失积分：

实际流体恒定总流的能542.方程的物理意义和几何意义2.方程的物理意义和几何意义553.总流能量方程的限制条件（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能都相等。（×）2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。（√）判断：3.总流能量方程的限制条件（1）恒定流；（2）不可压缩流56（1）选择基准面：原则上可任选，一般可尽量使位置水头为零（即：Z=0）。（2）选择计算断面：1>渐变流过流断面；2>已知数较多的断面；3>包含未知数的断面。4.解题步骤（三选一列）（1）选择基准面：原则上可任选，一般可尽量使（2）选择计算断57（3）选择计算点：2>对明渠，可选择在液面上。1>对圆形管路，可选择在轴心处；（4）列方程解题注意：1）公式中的压强p可以是绝对压强，也可以是相对压强，只要方程前后统一即可（对气体必须是绝对压强）。2)公式中的γ是指计算流体的重度，各项单位要统一。简言之，分析流动，划分断面，选择基准面，写出方程。注意与连续性方程的联合使用。（3）选择计算点：2>对明渠，可选择在液面上。1>对圆形58例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g)，试求断面2的平均压强。解：取0-0，列断面1，2的能量方程（取α1=α2=1）而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量方程可得：代入式（a）中得：可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高（即吸出高），防止形成过大真空。(a)(b)例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别59例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。解:根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口，管中点2所在断面，都是渐变流断面；符合总流能量方程应用条件。水流不可压缩，只受重力作用。取渐变流断面1-1,2-2和3-3。因为1-1断面为水箱水面，较竖直管大得多，故流速水头

可近似取。取

，并将基准面O-O取在管子出口断面3-3上，写出断面1-1和断面3-3的总流能量方程

采用相对压强

。将已知数据代入上式，即得例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直60由连续性方程，可得因此有取断面3-3为基准面，取，写断面1-1和2-2的总流能量方程将已知数据代入上式可得

所以其真空值为0.98N/cm2，或绝对值压强为8.82N/cm2

。

上式说明点2压强小于大气压强，其真空度为1m水柱，或绝对压强相当于10-1=9m水柱。由连续性方程，可得因此有取断面3-3为基准面，取61思考题:

1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？2.恒定总流能量的限制条件有哪些？如何选取其计算断面、基准面、计算点、压强？3.总流能量与元流能量方程有什么不同点？思考题:1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹62三、水头线1.水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。2.总水头线是对应H=的变化曲线，它代表水头3.测压管水头线是对应Hp=的变化曲线，它代表总势能沿4.水力坡度J：指单位长流程的平均水头损失，即

5.测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。

损失沿流程的分布状况。

流程的变化状况。

注：1.理想流动流体的总水头线为水平线；2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。三、水头线1.水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变63例3：如图所示为一流动系统，各种损失如图中所示。AB段直径d1=100mm，BC段直径d2=150mm。试求：1）AB段流速v1；2）绘制总水头线和测压管水头线。解：写1-1和2-2断面能量方程，以O-O为基准面。取：由连续性方程知例3：如图所示为一流动系统，各种损失如图中所示。AB段直径d64总水头线断面值的计算：同理：测压管水头线断面值的计算：总水头线断面值的计算：同理：测压管水头线断面值的计算：651.设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水头线沿程下降、上升或水平的条件各是怎样的？2.什么是水头线？总水头线与测压管水头线有何区别？思考题：

1.设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水66一、毕托管AhuA图：AhuA原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。测量点流速的仪器§2.4能量方程的应用一、毕托管AhuA图：AhuA原理：利用无粘性元流流体伯努利67VBAZZ图皮托管测速原理VBAZZ图皮托管测速原理68公式：理论流速：实际流速：μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ

=0.97

；h：为两管水头差。公式：理论流速：实际流速：μ：修正系数，数值接近于1，由实验69二.文丘里流量计为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同（图a），或不同（图b），测量大压差常用水银作为工作液体（图b）。（a）（b）取管轴0-0为基准面，测压管所在断面1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形心点为计算点，对断面1,2写能量方程，由于断面1，2间的水头损失很小，可视，取α1=α2=1，得二.文丘里流量计为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量70由此得：故可解得：因此：式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流量计常数。实际流量：μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管道收缩的几何形状而不同。对水银压差计有：由此得：故可解得：因此：式中,K对给定管径是常量，称71三、能量方程的扩展1.分叉恒定流

1）有流量分出时，如图所示，有2）有流量汇入时，如图所示，有三、能量方程的扩展1.分叉恒定流1）有流量分出时，如图所722.能量的输入与输出

在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮机），或输入（如泵或风机），则能量方程形式为：式中：+Hs——输入流体的比能，

Np——泵输入功率（轴功率），单位：N·m；η——泵效率。

-Hs——输出流体的比能

Np——水轮机输出功率，单位：N·m；η——水轮机效率。2.能量的输入与输出在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮73例：一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30l/s，水管内径d=150mm。泵的效率ηp=0.76。设已知管路损失（泵损除外）为10v2/(2g)，试求轴功率。解：取基准面0-0及断面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。设泵输入单位重水流的能量为hp，取α1=α2=1，则能量方程有：因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且过水断面很大，v1≈v2≈0而管中流速：故有：得：hp=16.47N·m/N所需轴功率Np为：例：一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高74总流的伯努利方程是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。设恒定气流如图，气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa

，过流断面上计算点的绝对压强为p1abs,p2abs

，列1-1和2-2断面的能量方程方程式，且取α1=α2=1：进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式式中pw为压强损失，pw

=ρghw

（a）§2.5气流的能量方程总流的伯努利方程是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但75将上式中的压强用相对压强p1,p2表示则式（b）就是以相对压强计算的气流能量方程。式中pa为z1处的大气压，为z2高程处的大气压，代入式（a），整理得

（b）将上式中的压强用相对压强p1,p2表示则式（b）就是以76其中：——动压。单位体积气体所具有的动能。

p

——静压。单位体积气体所具有的压能全压g(ρa－ρ)(z2－z1)——位压。单位体积气体所具有的位能。势压总压1122z1z2其中：——动压。单位体积气体所具有的动能。p——静压。单77当气流的密度和外界空气的密度相同ρa=ρ，或两计算点的高度相同z2=z1时，位压项为零，式（b）简化为式中静压与动压之和称为全压当气流的密度远大于外界空气的密度（ρ>>ρa），此时相当于液体总流，式（b）中ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式（b）化简为除以ρg，即由此可见，对于液体总流来说，压强p1,p2不论是绝对压强，还是相对压强，能量方程的形式不变。当气流的密度和外界空气的密度相同ρa=ρ，或两计算点的高度相78例4：自然排烟锅炉如图，烟囱直径d=1m，烟气流量Q=7.135m3/s，烟气密度ρ=0.7kg/m3

，外部空气密度ρa

=1.2kg/m3，烟囱的压强损失

，为使烟囱底部入口断面的真空度不小于10mm水柱。试求烟囱的高度H。解：选烟囱底部断面为1-1断面，出口断面为2-2断面，因烟气和外部空气的密度不同，则其中1-1断面：2-2断面：代入上式得H=32.63m。烟囱的高度须大于此值。由此可见：自然排烟锅炉烟囱底部压强为负压p1<0，顶部出口压强p2=0，且z1<z2，这种情况下，是位压（ρa-ρ）g（z2-z1）提供了烟气在烟囱内向上流动的能量。因此，自然排烟需要有一定的位压，为此烟气要有一定的温度，以保持有效浮力（ρa-ρ）g，同时烟囱还需要有一定的高度（z2-z1），否则将不能维持自然排烟。例4：自然排烟锅炉如图，烟囱直径d=1m，烟气流量Q=7.179§2.6恒定流动量方程式

动量定理：质点系的动量对时间的变化率等于作用于该质点系的所有外力之矢量和，即：如图右从恒定总流中任取一束元流为控制体，dt时间内，流体从1-2处流至1'-2'处。dt时间内元流的动量变化（恒定流）为由动量定律得：§2.6恒定流动量方程式

动量定理：质点系的动量对时间的80(1)

不可压缩流体恒定元流动量方程不可压缩流体恒定流，有,且，则有（2）不可压缩流体恒定总流动量方程

或

计算时β可取为1.0。式中：——作用于控制体内流体的所有外力矢量和。该外力包括：（1）作用在该控制体内所有流体的质量力；（2）作用在该控制体面上的所有表面力（动水压力、切力）；（3）四周边界对水流的总作用力。(1)

不可压缩流体恒定元流动量方程不可压缩流体恒定流，81适用范围：（1）理想流体、实际流体的不可压缩恒定流。（2）选择的两个过水断面应是渐变流过水断面，而过程可以不是渐变流。（3）质量力只有重力（4）沿程流量不发生变化；若流量变化，则方程为：动量方程的解题步骤1.选控制体

根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为控制体；

2.选坐标系

选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；3.作计算简图

分析控制体受力情况，并在控制体上标出全部作用力的方向；4.列动量方程解题

将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强计算。

注意与能量方程及连续性方程的联合使用。适用范围：（1）理想流体、实际流体的不可压缩恒定流。（282例1：如图所示，喷水推进船，从前舱进水，然后用泵及直径为d=15cm的排水管从后舱排向水中。已知船速v1=36km/h，推进力F=2kN。试求水泵的排水量及推进装置的效率。解：取船内流管的全部内壁轮廓为控制体，已知进水速度为v1=36km/h=10m/s，设相对于船艇的排水速度为v2，排水量为Q，则由动量方程得代入已知数据，得推进装置的输出有效功率为（作用于船体）：由发动机输入到水力推进装置的输入功率为：故推进装置的效率为例1：如图所示，喷水推进船，从前舱进水，然后用泵及直径为d=83例2：一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流分为两股，如图所示。已知d=40mm，Q=0.0252m3/s，水头损失不计，求水流对光滑壁面的作用力R。解

1.取控制面：在楔体前后取渐变流断面1与断面2,3之间的水体为控制体，作用于控制体上的力有：（1）断面1,2,3及控制体表面上的动水压力P1,P2,P3及P均等于零（作用在大气中）（2）重力G，铅垂向下（3）楔体对水流的反力R，待求。

2.取坐标，列动量方程：3.令β1=β2=β3=1.0，α1=α2=α3=1。列能量方程：（1）例2：一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流84代入（1）式可得：水流对壁面的作用力R=-R´，大小相等，方向相反。当θ=60°时

R=252N

θ=90°时

R=504N

θ=180°时

R=1008N代入（1）式可得：水流对壁面的作用力R=-R´，大小相等85例3

图右为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得断面1-1的水深为1.5m，下游断面2-2水深为0.6m。略去水头损失，求水流对1m坝宽（垂直纸面方向）的水平作用力F。解

在坝前一段距离处，取渐变流断面1-1；在坝下游水流较平直处，取断面2-2。以坝基底部为基准面0-0，设α1=α2=1，写出总流能量方程：（1）利用连续方程：取宽度为1m，得代入（1）式：

1m坝宽的单宽流量作用在断面1-1上的水压力作用在断面2-2上的水压力例3

图右为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得断面186坝对水流作用力的合力为R，取断面1-1和2-2之间的水流为控制体(图b),写出总流动量方程得：则水流对1m坝宽的作用力，方向与R相反。返回本章坝对水流作用力的合力为R，取断面1-1和2-2之间的水流为控87一元流体动力学第二章一元流体动力学第二章88本章导读§2.1描述流体运动的基本概念§2.2恒定流连续性方程§2.3恒定流能量方程§2.4能量方程的应用§2.5气流的能量方程§2.6恒定流动量方程式本章小结主要内容本章导读主要内容89本章学习重点：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流体运动方程（连续性方程）；透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。掌握实际流体能量方程、动量方程；本章学习重点：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流901、流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应用。不涉及任何力2、解决的问题——建立流体运动的基本关系式，即研究运动要素随时间和空间的变化及其之间的关系。学习内容：3、流体动力学——研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。4、遵循的规律牛顿第二定律5、实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。1、流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应91一、拉格朗日(Lagrange)法质点系法1、研究方法——以流场中每一个流体质点作为描述对象的方法，它以个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动，进而得出整个流体的运动规律。“跟踪”的描述方法。研究对象:质点§2.1描述流体运动的基本概念一、拉格朗日(Lagrange)法质点系法1、研究方法——以922、表达式：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)a，b，c，t——被称作拉格朗日变量。其中：2、表达式：z=z(a，b，c，t)x=x(a93优点：拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。缺点：由于流体质点的运动复杂，此方法描述流体运动，在数学上存在困难。优点：拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。缺点94二、欧拉（Euler)法流场法1、研究方法——在流场中任取固定位置，研究流体通过该固定点时的运动情况。此法是以流动的空间作观察对象。流场——流体运动时所占据的空间。以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各个空间点上流体质点的运动参数，将各时刻的情况汇总起来，就描述了整个流动过程。研究对象:流场二、欧拉（Euler)法流场法1、研究方法——在流场中任取固952、表达式：（1）压强场：p=p(x,y,z,t)（2）密度场：ρ=ρ(x,y,z,t)x，y，z，t欧拉变量（3）速度场：ux=ux

(x,y,z,t)uy=uy(x,y,z,t)uz=uz(x,y,z,t)

由于欧拉法以流动空间作为研究对象，每时刻各空间点都有确定的物理量，这样的空间区域称为流场，包括速度场、压强场、密度场等，表示为2、表达式：（1）压强场：p=p(x,y,z96（4）加速度场：当地加速度（时变导数）：表示流体通过某固定点时速度随时间的变化率。迁移加速度（位变导数）：表示某一时刻流体流经不同空间点时速度的变化率。（4）加速度场：当地加速度（时变迁移加速度（位变导数）：表973、特点：——欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对象，故相对于拉格朗法简便，在工程中具有实用意义，故一般可采用欧拉法研究流体的运动规律。例如气象预报、洪水预报、水文水量预报。3、特点：——欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对象，98三、迹线、流线描述流体的运动，除可用数学表达式表述外，还可用更直观的图形来描述。1、迹线——表示某质点在一段时间内的运动轨迹。迹线可以反映出同一质点在不同时刻的速度方向。三、迹线、流线描述流体的运动，除可用数学表达式1、迹线——表99迹线方程：（1）用拉格朗日法表示的迹线方程：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)方程组联立，并消去t，即可得迹线方程。迹线方程：（1）用拉格朗日法表示的迹线方程：z=z(a100（2）用欧拉法表示的迹线方程：dtdx＝uxdtdy＝uydtdz＝uz将各方程分别积分，再将方程组联立，并消去式中的t

，即可得直角坐标系中的迹线方程。（2）用欧拉法表示的迹线方程：dtdx＝uxdtdy＝uy1012、流线流场——是由无数流线构成的，各空间点的流速均与其所在流线相切。——某一瞬时，流场中各点流动趋势的曲线，曲线上任何一点的速度均与该曲线相切。2、流线流场——是由无数流线构成的，各空间点的流速均与其——102（1）流线的特点：因为同一时刻、同一质点只有一个速度矢量。1>流线互不相交，且为光滑曲线；驻点、奇点除外（1）流线的特点：因为同一时刻、同一质点只有一个速度矢量。1032>流线充满整个流场,每个质点都位于一条流线上；3>某断面上流线的疏密，可反映该断面流速的大小。11222>流线充满整个流场,每个质点都位于一条流线上；3>104（2）流线微分方程：

其中t是参变量，在积分过程中可作为常量。将上式积分即可得流线方程。根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。所以即

图3-4（2）流线微分方程：其中t是参变量，在积分105四、流动的分类——按流体各点的运动要素是否随时间改变而划分。——流体各点的运动要素均不随时间改变的流动。（1）、恒定流1、恒定流与非恒定流四、流动的分类——按流体各点的运动要素是否随106其当地加速度为零：函数关系：p=p(x，y，z)

u=u(x，y，z)恒定流时，运动要素仅是坐标的函数，与时间无关。其当地加速度为零：函数关系：p=p(x，y，z107（2）非恒定流——流体空间各点只要有一个运动要素随时间改变即为非恒定流。u=u(x，y，z，t)p=p(x，y，z，t)函数关系：（2）非恒定流——流体空间各点只要有一个运动要素随时间改变108（3）、恒定流与非恒定流的判别标准可据当地加速度（时变导数）是否为零加以判断。恒定流与非恒定流相比，在欧拉变量中少了一个变量t，从而使问题变得相对简单，故在工程中通常可将非恒定流问题简化为恒定流来处理（运动要素随时间变化不太大，不影响计算精度）。在实际工程中，绝对的恒定流几乎不存在。（3）、恒定流与非恒定流的判别标准可据当地加速度（时变导数）109（1）、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁移加速度为零；特点：2>流线是平行的直线；——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。2、均匀流与非均匀流（1）、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体110（2）、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。（3）、均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。（2）、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而111注意：（1）恒定流与均匀流的概念区别；（2）据以上对流体流动的两种分类方法，可将流动分为四种形式，即：恒定均匀流非恒定均匀流恒定非均匀流非恒定非均匀流注意：（1）恒定流与均匀流的概念区别；（2）据以上对流体流动1123、有压流、无压流、射流按总流边界的限制情况划分（1）、有压流——流体的流动边界全部是固体的流动。——具有自由表面的液体流动。（2）、无压流（3）、射流——流体经孔口或管嘴喷射到空间的流动如给水管路如明渠、无压涵管等3、有压流、无压流、射流按总流边界的限制情况划分（1）、有压1134、一元、二元、三元流按空间位置坐标变量的个数划分（1）、一元流——运动要素是一个空间坐标及时间的函数。（2）、二元流——运动要素是两个空间坐标及时间的函数。——运动要素是三个空间坐标及时间的函数。（3）、三元流4、一元、二元、三元流按空间位置坐标变量的个数划分（1）、一114五、流管、流束、过流断面、元流、总流1、流管——在流场中作一非流线且不相交的封闭曲线，然后由曲线上的各点作流线，所构成的管状面。特点：流体的质点不能穿越流管；若流动为恒定流，则流管的形状、位置不变。五、流管、流束、过流断面、元流、总流1、流管——在流场中作1152、流束——流管内所包容的流体。u过流断面u过流断面3、过流断面——横断流束并和其中所有流线都正交的横断面。过流断面可以是曲面，也可以是平面。2、流束——流管内所包容的流体。u过流断面u过流断面3、过流116——过流断面面积无限小的流束。4、元流特点：若流动为恒定流，则元流的形状、位置不变；同一过流断面上，各点的运动要素可认为相等。5、总流——过流断面面积为有限大的流束。总流可看成无数多元流之和，其过流断面面积等于各元流过流断面积的积分。——过流断面面积无限小的流束。4、元流特点：若流动为恒定流，117六、流量、断面平均流速（2）计算式：Q=∫AdQ=∫AudA可用于可压缩流体——单位时间内通过过流断面的流体的量。1、流量Q重量流量kN/sN/s体积流量m3/sl/s质量流量kg/s（1）表示方法：一般用于不可压缩流体。六、流量、断面平均流速（2）计算式：Q=∫AdQ=∫1182、断面平均流速v计算式：——假想的均匀分布在过流断面上的流速，以它通过的流量与以实际流速分布通过的流量相等。即过流断面上各点流速的加权平均值。以符号v表示，单位为

m/s。vu2、断面平均流速v计算式：——假想的均匀分布在过流断面上的119恒定、均匀、不可压缩流体方程的推导依据是：质量守恒及恒定流的特性。一、公式推导连续性方程是不涉及任何作用力的方程。§2.2恒定流连续性方程恒定、均匀、不可压缩流体方程的推导依据是：质量守恒及恒定流的120取控制体，考虑到条件

1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变；2）不可能有流体经流管侧面流进或流出；3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙；4）忽略质量转换成能量的可能。根据质量守恒原理

（1）有固定边界域的总流连续方程式

物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于密度变化在单位时间里所增加的质量相等。适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、理想流体、实际流体。取控制体，考虑到条件（1）有固定边界域的总流连续方程式121（2）恒定流的总流连续性方程

对于恒定流，有，则上式为

适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可压缩流体、理想流体、实际流体。

（3）不可压缩流的总流连续性方程对于不可压缩流体有：ρ=const，则或物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集的地方流速大

，而流线疏展的地方流速小。适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。

（2）恒定流的总流连续性方程对于恒定流，有122Q1Q3Q2（4）分叉流的总流连续性方程

或：

Q1Q3Q2（4）分叉流的总流连续性方程或：123例输水管道经三通管分流（图下），已知管径d1=d2=200mm，d3=100mm，断面平均流速v1=3m/s，v2=2m/s，试求断面平均流速v3。解：例输水管道经三通管分流（图下），已知管径d1=d2=200124公式推导1.取微元体在某一瞬时在运动无黏性流体中取出棱边为dx，dy，dz的一微小平行六面体。基本思路:(1)取微元体(2)受力分析(3)导出关系(4)得出结论一、无黏性流体运动微分方程§2.3恒定流能量方程公式推导1.取微元体基本思路:(1)取微元体(21252.受力分析作用在流体上力：(1)表面力；(2)质量力(1)表面力（以X方向为例）包括压应力和剪应力左表面右表面(2)质量力X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的质量为ρdxdydz，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：

Xρdxdydz、Yρdxdydz、Zρdxdydz

2.受力分析(2)质量力1263.导出关系

由牛顿第二运动定律，x方向有：

化简得：4.结论——无黏性流体运动微分方程——Euler运动微分方程3.导出关系化简得：4.结论——无黏性流体运动微分方程——E127无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程128（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度。（2）适用条件：a.无黏性流体。b.可压缩流体及不可压缩流体c.恒定流及非恒定流单位质量流体的质量力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的惯性力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和129二、无粘性流体运动微分方程的伯努利积分dxdxdydydzdzEuler方程三式分别乘以流线上微元线段的投影dx、dy、dz，则相加后得：1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间dt的比为速度分量，即有：则：①二、无粘性流体运动微分方程的伯努利积分dxdxdydydzd130

则（1）式

变成（3）（4）因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二（3）（4）因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二131（5）（6）条件三：质量力仅为重力条件四：不可压缩流体（5）（6）条件三：质量力仅为重力条件四：不可压缩流体132对于任意两点1、2

——（6）、（7）式为无粘性流体沿流线的伯努利方程。（7）对于任意两点1、2（7）133（1）.公式适用条件：无粘性流体、恒定流动、质量力只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。（2）.几何意义和物理意义：

三、方程的适用条件和意义位置水头、比位能

单位重量流体所具有的位能

压强水头、比压能单位重量流体所具有的压能流速水头、比动能

单位重量流体所具有的动能三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。（1）.公式适用条件：无粘性流体、恒定流动、质量力只有重134四、实际液体元流能量方程实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有H1＞H2设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw'，按能量守恒原理，上式可写成即上式即恒定流、不可压缩实际液体能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。四、实际液体元流能量方程实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的135五、渐变流及其性质（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。（2）在非均匀流中，按流线是否接近平行直线，可将流动划分渐变流与急变流。五、渐变流及其性质（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划1361、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁移加速度为零；特点：2>流线是平行的直线；——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。1、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁1372、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。3、均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。2、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不31383、渐变流——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。特点：（1）过流断面近似平面；（2）同一过流断面上，流体各点的动压强分布符合静压强分布。（3）均匀流是渐变流的特例，同时具有以上两点。3、渐变流——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。特点139六、恒定总流能量方程1.方程的推导

设元流的流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则在上述等式两端同乘以ρgdQ。沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有则：

1122z1z2六、恒定总流能量方程1.方程的推导设元流的流量为dQ=u140（2）动能积分：（3）损失积分：

实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）式中：

z——比位能（位置水头）

——比压能（压强水头，测压管高度）

——比动能（流速水头）

——比势能（测压管水头）

——总比能（总水头）

——平均比能损失（水头损失）,单位重流体克服流动阻力所做的功。（2）动能积分：（3）损失积分：

实际流体恒定总流的能1412.方程的物理意义和几何意义2.方程的物理意义和几何意义1423.总流能量方程的限制条件（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能都相等。（×）2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。（√）判断：3.总流能量方程的限制条件（1）恒定流；（2）不可压缩流143（1）选择基准面：原则上可任选，一般可尽量使位置水头为零（即：Z=0）。（2）选择计算断面：1>渐变流过流断面；2>已知数较多的断面；3>包含未知数的断面。4.解题步骤（三选一列）（1）选择基准面：原则上可任选，一般可尽量使（2）选择计算断144（3）选择计算点：2>对明渠，可选择在液面上。1>对圆形管路，可选择在轴心处；（4）列方程解题注意：1）公式中的压强p可以是绝对压强，也可以是相对压强，只要方程前后统一即可（对气体必须是绝对压强）。2)公式中的γ是指计算流体的重度，各项单位要统一。简言之，分析流动，划分断面，选择基准面，写出方程。注意与连续性方程的联合使用。（3）选择计算点：2>对明渠，可选择在液面上。1>对圆形145例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g)，试求断面2的平均压强。解：取0-0，列断面1，2的能量方程（取α1=α2=1）而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量方程可得：代入式（a）中得：可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高（即吸出高），防止形成过大真空。(a)(b)例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别146例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。解:根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口，管中点2所在断面，都是渐变流断面；符合总流能量方程应用条件。水流不可压缩，只受重力作用。取渐变流断面1-1,2-2和3-3。因为1-1断面为水箱水面，较竖直管大得多，故流速水头

可近似取。取

，并将基准面O-O取在管子出口断面3-3上，写出断面1-1和断面3-3的总流能量方程

采用相对压强

。将已知数据代入上式，即得例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直147由连续性方程，可得因此有取断面3-3为基准面，取，写断面1-1和2-2的总流能量方程将已知数据代入上式可得

所以其真空值为0.98N/cm2，或绝对值压强为8.82N/cm2

。

上式说明点2压强小于大气压强，其真空度为1m水柱，或绝对压强相当于10-1=9m水柱。由连续性方程，可得因此有取断面3-3为基准面，取148思考题:

1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？2.恒定总流能量的限制条件有哪些？如何选取其计算断面、基准面、计算点、压强？3.总流能量与元流能量方程有什么不同点？思考题:1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹149三、水头线1.水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。2.总水头线是对应H=的变化曲线，它代表水头3.测压管水头线是对应Hp=的变化曲线，它代表总势能沿4.水力坡度J：指单位长流程的平均水头损失，即

5.测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。

损失沿流程的分布状况。

流程的变化状况。

注：1.理想流动流体的总水头线为水平线；2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。三、水头线1.水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变150例3：如图所示为一流动系统，各种损失如图中所示。AB段直径d1=100mm，BC段直径d2=150mm。试求：1）AB段流速v1；2）绘制总水头线和测压管水头线。解：写1-1和2-2断面能量方程，以O-O为基准面。取：由连续性方程知例3：如图所示为一流动系统，各种损失如图中所示。AB段直径d151总水头线断面值的计算：同理：测压管水头线断面值的计算：总水头线断面值的计算：同理：测压管水头线断面值的计算：1521.设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水头线沿程下降、上升或水平的条件各是怎样的？2.什么是水头线？总水头线与测压管水头线有何区别？思考题：

1.设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水153一、毕托管AhuA图：AhuA原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。测量点流速的仪器§2.4能量方程的应用一、毕托管AhuA图：AhuA原理：利用无粘性元流流体伯努利154VBAZZ图皮托管测速原理VBAZZ图皮托管测速原理155公式：理论流速：实际流速：μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ

=0.97

；h：为两管水头差。公式：理论流速：实际流速：μ：修正系数，数值接近于1，由实验156二.文丘里流量计为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同（图a），或不同（图b），测量大压差常用水银作为工作液体（图b）。（a）（b）取管轴0-0为基准面，测压管所在断面1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形心点为计算点，对断面1,2写能量方程，由于断面1，2间的水头损失很小，可视，取α1=α2=1，得二.文丘里流量计为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量157由此得：故可解得：因此：式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流量计常数。实际流量：μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管道收缩的几何形状而不同。对水银压差计有：由此得：故可解得：因此：式中,K对给定管径是常量，称158三、能量方程的扩展1.分叉恒定流

1）有流量分出时，如图所示，有2）有流量汇入时，如图所示，有三、能量方程的扩展1.分叉恒定流1）有流量分出时，如图所1592.能量的输入与输出

在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮机），或输入（如泵或风机），则能量方程形式为：式中：+Hs——输入流体的比能，

Np——泵输入功率（轴功率），单位：N·m；η——泵效率。

-Hs——输出流体的比能

Np——水轮机输出功率，单位：N·m；η——水轮机效率。2.能量的输入与输出在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮160例：一抽水机管系（如图），要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30l/s，水管内径d=150mm。泵的效率ηp=0.76。设已知管路损失（泵损除外）为10v2/(2g)，试求轴功率。解：取基准面0-0及断面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。设泵输入单位重水流的能量为hp，取α1=α2=1，则能量方程有：因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且过水断面很大，v1≈v2≈0而管中流速：故有：得：hp=16.47N·m/N所需轴功率Np为：例：一抽水