数学中的美学方法课件

第六章数学中的美学方法近两个世纪以来，数学美的研究在一些数学方法著述中已占有一席之地，已有更多的科学家在工作中由于运用了数学美方法而取得了创造性的成果。人们对美的本质、美的规律的探讨远在古代就已经产生。但究竟什么是美？长期以来，哲学家、美学家、文艺评论家们各抒己见，异说纷纭，至今尚没有普遍认可的“定义”。第六章数学中的美学方法近两个世纪以来，数学1科学美学的发展经历了兴衰交替的若干阶段，从古希腊到18世纪的中叶，在两千余年的漫长的时期中，科学家、哲学家常统于一人，他们在论及自然科学理论的同时常常发表科学美的有关见解，这一时期，人们对科学美的追求显著地促进了科学研究，18世纪中叶，美学开始从科学中分化出来，1750年德国哲学家鲍姆嘉通的《美学》第一卷出版，标志着美学成为一门独立的学科。科学美学的发展经历了兴衰交替的若干阶段，从古希腊2在古代、近代或现代，数学美就像科学的绿色草坪中的一朵盛开的红花，它是那样鲜艳、引人注目，那样历久不谢，事实证明，现代科学发展的主要特征之一，是在研究中运用数学工具，并借助数学来表达它的重大成果。数学家哈尔莫斯指出:“数学是创造性的艺术，因为数学创造了美好的新概念，数学家象艺术家们一样的生活，一样的工作，一样的思索。”在古代、近代或现代，数学美就像科学的绿色3人们是如何认识数学美的呢？研究数学美有什么意义？数学美的表现有哪些特征？数学美学方法对数学发展有何促进作用？本章将结合数学发展的史实来讨论这些问题。

人们是如何认识数学美的呢？研究数学美有什么意4人们对数学美的认识，有其历史的发展过程。远在公元前6世纪，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就提出了“万物皆数”的观点。他认为宇宙间的万物是由数生成的，宇宙的结构遵循数的规律，数是主宰万物的神，并造成“宇宙的和谐”。毕达哥拉斯学派提出了数的和谐原则是数学美的一条原则。还认为，一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形，这里又包含了对称美的思想。人们对数学美的认识，有其历史的发展过程。5古希腊的哲学家柏拉图曾把他渴望建立的“理想国”看作完美的世界。柏拉图特别推崇数学的功用，相传柏拉图学园的大门口悬挂着“不懂几何者不准入内的”题词，他曾接受过许多有数学专长的人进入学园从事数学与研究。柏拉图指出：“算术有很伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象。”古希腊的哲学家柏拉图曾把他渴望建立的“理想国6柏拉图把数学的抽象性看成与人类的实践经验无关的特性，而且把数学作为一种抽象美来赞颂，这与他所谓的“理念世界”是不变的、完美的、真实的、永恒的世界的客观唯心主义哲学观是分不开的。柏拉图的学生亚里斯多德指出了数理科学中存在着美，它以秩序、匀称等形式表现出来，认为美是自然科学发展的动力之一，美与善是统一的。柏拉图把数学的抽象性看成与人类的实践经验7亚里斯多德强调数理等自然科学与美学有着重要联系，他在《形而上学》一书中指出：“那些人认为数理诸学全不涉及美或善是错误的。因为数理于美与善说得好多，也为之做过不少实证，它们倘未直接提到这些，可是它们曾为美善有关的定义或其影响所及的事情作过实证，这就不能说数理全没涉及美与善了。美的主要形式‘秩序、匀称与明确’这些唯有数理诸学优于为之作证。又因为这些（例如秩序与明确）显然是许多事物的原因，数理诸学自然也必须研究到以美为因的这一类因果原理。”亚里斯多德强调数理等自然科学与美学有着重要联8古希腊人把数学当作一门艺术加以珍视，M.克莱因：“无疑是由于这门学科在美学上的吸引力，才使得希腊数学家把有些项目探索到超出为理解自然所必需的程度。”欧几里得《几何原本》就是留给后世的数学美的一个结晶，它的美集中表现在它的严格完整的演绎体系上，显示出一幅秩序井然、清晰明确、内涵丰富、逻辑严密的美的画图；它的美还表现在简洁性上，它从少量的公理、定义出发，导出了涉及平面几何、立体几何与数论方面的众多的命题；它的美还表现在方法上，如证明命题“圆与圆之比如同直径上正方形之比”时，应用了“穷竭法”。问题的解决犹如无限的深渊被逼近加反证所填平。古希腊人把数学当作一门艺术加以珍视，M.9几何原本》建立了包括可公度量与不可公度量在内的一般比例论，使几何学的航船避开无理数的“暗礁”，驶向可信与可靠的彼岸。《几何原本》所表现的数学的统一美、简洁美与方法美，像吹奏着的魔笛一样，诱惑着世代无数学子跃进欧几里得所开辟的几何学的深流之中。经过漫长的死气沉沉的中世纪，欧洲迎来了文艺复兴时期。1543年，哥白尼的《天体运行论》发表，他所创立的“日心说”沉重地打击了宗教神权的统治。1619年，开普勒在《宇宙的和谐》一书中公布了行星运动三大定律中的最后一个，他们认为上帝用数学设计安排了世界。几何原本》建立了包括可公度量与不可公度量在内的一10哥白尼说：“我们发现，在这有次序的安排之下，宇宙有一种奇妙的对称性，天体运动的位置和大小的协调有确定的关系，”“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。”这就是说，数学中的次序、和谐、协调、对称是现实世界天体运动固有特征的反映。反之，对“秩序井然而美好的宇宙”的理性发现又往往借助于数学的揭示。哥白尼说：“我们发现，在这有次序的安排之下，宇11康德在《宇宙发展史概论》（1755）中赞扬了数学方法美，他说：“按照眩人耳目的数学方法的方式——这往往要比自然界范围内通常所显示的更为眩人耳目。”在数学发展史上，17世纪是个创造的世纪，而18世纪是个丰收的世纪，特别是形成了数学分析的广阔领域，分析方法深入到力学各分支，结出了累累硕果。数学方法的简洁，数学语言的流畅，数学的内涵的奥秘，得到了人们的赞美。康德在《宇宙发展史概论》（1755）中赞121796年，拉普拉斯发表了总结性的名著《宇宙系统论》，他写道：“数学是一个卓绝的工具，假如没有它，人类思维更不能深入一个如此复杂的理论，它并可作为一个有效方法用以去发现宇宙的奥秘。它的可靠性能和观测本身相比拟。”他和康德一样称赞分析方法的优越性，其中不乏对统一性、简单性等美学表征的赞赏。1796年，拉普拉斯发表了总结性的名著《13罗素也认为：“数学，如果正确地看待它，则它不但拥有真理，而且具有至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美既不投合人类之人性的微弱方面，也不具有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完善的境地。”罗素也认为：“数学，如果正确地看待它，则它不但1419世纪，数学出现了突飞猛进的发展，哈密顿的四元数代数（1843）、以创始人名字命名的伽罗华理论（1846）、非欧几何、康托尔的集合论等全新的数学理论的建立，希尔伯特重建欧几里得公理体系（1899）、F.克莱因用变换群观点完成几何学的统一，这些具有划时代意义的事件，都蕴涵着巨大的美学意义。19世纪，数学出现了突飞猛进的发展，哈密顿15第六章数学中的美学方法课件16到了20世纪，历史发展进入了现代数学阶段，人们对于数学美学方法的认识更为全面深刻，数学家在对数学成果评价与数学创造中的美学方法的运用更为自觉，并认为对数学美的追求是进行数学创造的驱策力。作为一个伟大的科学家，庞加莱对于数学美（更为一般地说，就是科学美）也有着强烈的感受。他写道：“一个名符其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”这种“伟大的东西”就是与艺术美相提并论的科学美（数学美）。”

到了20世纪，历史发展进入了现代数学阶段，人17庞加莱并对数学美（科学美）的性质作了具体说明：“我在这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表现美。并显而易见我小看上述那种美，完全不是，而是这种美与科学无关。我的意思是那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它，正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，这些倏忽即逝的梦幻之美其结果就不是完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身”。显然，与罗素的论述相比，庞加莱关于数学美性质的这一分析是更为深刻的。庞加莱并对数学美（科学美）的性质作了具体说18数学家是如何去作出所说的选择的呢？庞加莱认为：“数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感……正是这样特殊的美感，起着我已经说过和微妙的筛选作用。”因此，“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。”

按照庞加莱的观点，所说的审美感主要地是在无意识（或下意识）的状态下进行工作的。这就如同阿达玛在对庞加莱的有关观点进行总结时所指出的：“庞加莱认为，无意识不仅要担负起构造各种各样的思想组合的复杂任务，而且还要根据我们的审美原则去作最细微和最本质的选择。”数学家是如何去作出所说的选择的呢？庞加莱认为：“19所谓数学中的美学中的美学方法，并非是指与数学研究并无直接联系的纯粹美学（“数学美学”）的研究，如关于主体的审美机制的讨论等，而是指在数学研究中可以自觉的运用美学的考虑去决定可能的研究方向或对理论的意义作出判断。所谓数学中的美学中的美学方法，并非是指与数20著名数学家冯·诺意曼曾指出：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要地都是美学的。”又，“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受（或近乎不受）经验的影响。”著名数学家冯·诺意曼曾指出：“我认为数学家无论21著名数学家、非标准分析的创建者鲁滨逊也曾写道：“这是一个事实，就是组织起来的纯粹数学的世界在很大程度上是由我们关于数学美及纯粹数学的重要性的含糊的直觉来调整的。”阿达玛则更写道：“若要问及研究工作的未来是否能产生卓有成效的结果，严格地说，我们对此真是一无所知，但审美感是可以告诉我们的。除了美感以外，就看不出有任何东西能够帮助我们去作预见了。”由此可见，对数学中的美学方法作出深入的研究就是一项十分重要的任务。著名数学家、非标准分析的创建者鲁滨逊也曾写道：22§6.2数学中的美学方法一、数学美的客观内容及美的追求对于数学发展的促进作用为了对数学中的美学方法作出具体说明，必须首先对数学美的客观内容作出分析。和任何美感一样，人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩，而且，不同的人关于数学美的标准也是各不相同的；但是，从整体上说，数学美感又不是什么虚无飘渺、忽有忽无的东西，数学美也不是什么纯粹主观、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容的。§6.2数学中的美学方法一、数学美的客观内容及美的追求对于23由于数学的发展及人类文明的进步，数学美的概念也必然有一定的发展和演变；但是，它的基本内容又是相对稳定的，这就是：统一性（对称性）、简单性、奇异性和抽象性。由以下的实例又可看出，对于统一美、简单美、奇异美和抽象美的追求的确在很大程度上促进了数学的发展。由于数学的发展及人类文明的进步，数学美的概念也24（1）统一性（对称性）所谓统一性，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。显然，按这样的理解，对称性也就可以看成统一的一个基本内容。在原始的意义上，对称性是指组成一事物或对象的两个部分的对等性。从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本形式。（1）统一性（对称性）所谓统一性，是指部分与部分、25随着数学的发展，对称性的概念也得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的几何概念（包括双侧的、旋转的、平移的对称等），直到更为一般的现代概念（指元素的构形在自相变换群下的不变性）；另外，由数学历史可以看出，以于对称性的追求的确在具体的数学研究中发挥了重要的作用。随着数学的发展，对称性的概念也得到了不断的发展26在初等数学中也可以找到很多体现数学统一性的具体例子。例如，在体积计算中就有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算：在初等数学中也可以找到很多体现数学统一性的具体例子。例如，在27高等数学中更充满了表明数学统一性的例子。例如，在看到泰勒公式时，我们就会深切地感到数学的统一性：各种彼此完全不同的函数（只要它们在某一包含x0在内的开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数）居然都能表示成如下的“统一形式”：高等数学中更充满了表明数学统一性的例子。例如28德国著名数学家F.克莱因的几何研究的成果也说明了对统一性的追求对于数学发展的意义。F.克莱因的几何观以《爱尔朗根纲要》闻名于世的，这是他于1872年在爱尔朗根大学的一次讲演中提出的。F.克莱因指出：“几何学尽管本质上是一个整体，可是，由于最近期间所取得的飞速发展，却被分割成为许多几乎互不相干的分科，其中每一个分科几乎都是独立地继续发展着，于是，公开发表旨在建立几何学的这样一种内在联系的各种考虑，就显得更加必要了。德国著名数学家F.克莱因的几何研究的成果也说29具体地说，F.克莱因提出了如下的关于几何的新观点：各种几何（欧氏几何、仿射几何、射影几何等）都是由变换群所决定的，因为，它们所研究的事实上就是各种变换群之下的不变量。例如，欧氏几何所研究的就是刚体变换群（平移、旋转、反射）下的不变量；射影几何研究的则是射影变换下的不变量；等等。这样，原先被分割开来的几何学在群的观念下就重新被统一起来了。F.克莱因的这一工作在数学史上得到了很高的评价。具体地说，F.克莱因提出了如下的关于几何的新观30（2）简单性和统一性一样，简单性也是数学美的一个基本内容。例如，在日常的数学活动中经常可以听到这样的谈论：“这个证明很美”，而所说的“美”则往往包含了简单性的涵义。狄德罗曾经指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答。”（2）简单性31一般地说，数学家常常以简单性作为自己的追求目标。冯•诺意曼就指出：“人们要求一个数学定理或数学理论，不仅能用简单和优美的方法对大量的先天彼此无联系的个别情况加以描述，并进行分类，而且也期望它和探讨它在‘建筑’结构上‘优美’。在陈述这个问题时平易轻松，然后在解决它和探讨它的所有尝试中遇到巨大困难，然后再出现某种非常惊人的转折，使探讨或一部分探讨一下子容易起来，等等。同样，如果推演是冗长或复杂的话，那么就应该包含某种简单的一般原理，用以‘说明’各种复杂和曲折的情况，把明显的武断化为少数几条简单的指导性的推动因素，等等。”一般地说，数学家常常以简单性作为自己的追求目标。32对于简单美的追求也曾在一定程度上促进了数学的发展。例如，对数计算法显然就是这方面的一个典型例子。事实上，不仅对数计算法是这样，就是乘法、幂等概念的产生也可看成追求简单性的产物。应当注意的是，数学中所说的简单性并不只是纯粹数学方面的考虑，如证明、计算的简单性，而且也包括了逻辑方面的考虑，即要求数学理论在逻辑结构方面也应是简单的。对于简单美的追求也曾在一定程度上促进了数学的发展33例如，由于数学理论是逻辑地展开的，因此，出于简单性的考虑，数学家们就提出了公理的独立性问题，即认为如果一条公理能由其他的公理推导出来，这一公理在逻辑上就是不必要的；类似地，如果一个初始概念能借助于其他的初始概念得到明确的定义，这一概念在逻辑上也是不必要的。另外，就每一个公理及初始概念而言，数学家们又认为它们应当是简单的、清晰的，而不应当是复杂的、难以捉摸的。这样，（逻辑）简单性的考虑就直接促进了公理化方法及数学的发展。例如，由于数学理论是逻辑地展开的，因此，出于34还应指出的是，对于简单美的追求事实上已渗透到了数学研究的各个方面，例如，数学理论与问题的表述而言，希尔伯特就曾转引一位法国数学家的话说：“要使一种数学理论变得这样清晰，以致你能向大街上遇到的第一人解释它。在此之前，这一数学理论不能被认为是完善的。”又，“这里对数学理论所坚持的清晰性易懂性，我想更应以之作为对一个堪称完善的数学问题的要求。”还应指出的是，对于简单美的追求事实上已渗透到了35希尔伯特并对“简单化”与“严格性”的关系进行了分析，他指出：“把证明的严格化与简单化绝然对立起来是错误的。相反，我们可以通过大量例子来证实：严格的方法同时也是比较简单、比较容易理解的方法。正是追求严格化的努力驱使我们去寻求比较简单的推理方法。”对于简单性的追求事实上导致了数学符号包括记数方法的历史发展的演变。例如，现今人们之所以普遍地使用了“进位制”的记数方法，就是因为这种记数方法使运算得到了极大的简化。希尔伯特并对“简单化”与“严格性”的关系进行了分36（3）奇异性。奇异性是数学美的另一基本内容。所谓奇异是指所得的结果或有关的发展是如此地出人预料，从而引起了极大惊愕和诧异；然而，这种发展有时又赢得了人们的赞赏与叹服，从而，在这样的意义上，奇异也就是一种美，而奇异到了极度则更是一种美。（3）奇异性。37在代数学的发展史上，挪威数学家阿贝尔关于“五次及五次以上的方程不可能有一般形式的根式解”的结论无疑是一个令人难以置信的结果，因为，尽管人们始终未能找到这样的求解公式，但大部分数学家仍然认为这样的公式是存在的，而且，只要坚持作深入的研究，人们最终又总能发现所说的公式。然而，阿贝尔却证明了这种公式是根本不存在的在代数学的发展史上，挪威数学家阿贝尔关于“五次及38这一奇异的结论并没有使代数学的研究陷入困境；恰恰相反，数学家们却因此开始了新的研究。例如，他们更为集中地研究了代数方程何时存在有根式解的问题，而又正是通过这种研究，伽罗华（E.Galois）创立了群论，从而使代数学的研究进入了一个新的时代，即从局部性的研究转向了系统结构的整体性分析。这一奇异的结论并没有使代数学的研究陷入困境；恰39奇异性结果会对数学发展产生这样的影响是不足为奇的，因为，奇异性结果的获得事实上就意味着旧的观念（例如，“任何代数方程必然有根式解”）的崩溃，从而，只要敢于面对现实，善于分析研究，人们的认识就可能因此而产生新的飞跃。作为又一个例子，我们再来看著名的哥德尔不完备性定理。奇异性结果会对数学发展产生这样的影响是不足为奇的40在具有传统观点的人看来，美藉奥地利逻辑学家哥德尔于1931年发表的“不完备性定理”也是一个奇异性的结果，因为，甚至从古希腊的时代起，人们即已建立了这样的信念：只要作出足够的努力，我们就可在任一特定的数学领域内建立起这样的公理系统，它是相容的，同时也是完备的，也即在这一系统中可以把所说领域内的所有数学真理都作为定理推演出来。在具有传统观点的人看来，美藉奥地利逻辑学家哥德尔41然而，哥德尔的不完备性定理却表明了这样的事实，对任何足够丰富的形式数学理论来说（即只要足以在其中开展出形式算术理论），如果它是相容的，就一定是不完备的，从而，相容性与完备性就是两个不可能同时实现的目标。从不完备性定理还可推出如下的结论：为了证明一个足够丰富的形式系统的相容性，必须利用另一更大、更为丰富的系统；为了证明后者的相容性，又必须利用第三个更大、更丰富的系统……从而，我们在此事实上就陷入了某种“无穷倒退”，而这种无穷倒退则从一个侧面清楚地表明了数学的局限性。然而，哥德尔的不完备性定理却表明了这样的事实，42但是，不完备性定理不应被看做一个纯粹消极性的结论；恰恰相反，这一定理具有十分重要的数学意义和哲学意义。例如，纽曼(I.Newman)和耐格尔(E.Nagel)就曾把这一定理称为“数学与逻辑学发展史中的里程石碑”。著名物理学家惠勒则更认为：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍然把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”从而，这也就是由于奇异美的追求而导致数学重大发展的一个典型例子。但是，不完备性定理不应被看做一个纯粹消极性的43一般地说，奇异性结果的获得往往是自觉或不自觉地运用悖向思维的结果，反之，悖向思维则可以说是对于奇异美的一种追求，从而，由悖向思维在数学中的重要性，我们也就可以更为清楚地看出奇异美的追求对于数学研究的意义。一般地说，奇异性结果的获得往往是自觉或不自觉44又如；康托尔关于无穷集合与超穷数论的研究，简单地说，就是把数（基数与序数）的概念由有限扩展到无限性对象。由于（实）无限的概念似乎包含了明显的矛盾，因此，在康托尔以前，占主导地位的一直是这样一种观点：（实）无限性对象不能成为数学的研究对象。例如，伽利略在《两门新科学》这一著作中指出，在自然数与其平方数的集合（后者显然是前者的一个部分）之间可以建立一一对应的关系。由于这是与“整体大于部分”的原则直接相抵触的，而后者在当时被认为是无可怀疑的真理，因此，在伽利略看来，上述的事实就表明无限是“不可理解的”。又如；康托尔关于无穷集合与超穷数论的研究，简单45由于康托尔的研究是与当时的传统观念直接相违背的，因此，他所得出的一些结论在当时看来是十分“奇异的”。例如，按照康托尔关于基数的定义（如果在两个集合的元素之间能够建立一一对应，就称这两个集合具有相同的基数），一个集合与它的一个部分（子集）具有相同的基数就是“经常会出现的”，因为，这事实上正是无穷集合的特征性质。另外，康托又证明了如下的结论：•自然数集与有理数集具有相同的基数；•一条直线的点集与n维空间中的点集具有相同的基数。由于康托尔的研究是与当时的传统观念直接相违背的，46康托尔对于自己所采取的立场，一度也曾感到犹豫和不安，如他所说：“我是经过多年科学上的努力和研究，几乎违背我的意愿……逻辑地被迫承认（实无限）的。”但是，出于数学研究的实际需要，康托尔最终坚定地迈出了这“艰难的一步”。康托尔写道：“我不仅希望而且坚信，到了适当时机，这个扩展就会被承认是十分简单，适宜而又自然的一步。”康托尔的期望并没有落空。在现代，集合论事实上已经成为整个数学的基础，从而，就如希尔伯特所说：“在弗雷格、戴德金和康托尔的全力扶持下，无限的观念可谓盛极一时，并终于被推上了皇位，无限在它的扶摇直上的发展中达到了令人眩晕的高度的成功。”康托尔对于自己所采取的立场，一度也曾感到犹豫和47在几何学中，我们学过“黄金分割”，即把线段a分成x和a-x两段，使其比满足：中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”。黄金分割与勾股定理曾被德国科学家开卜勒赞为几何学中的两大瑰宝。顾名思义，黄金数当有着黄金一样的价值，人们喜欢它。一些著名的艺术佳作处处体现了黄金比值——许多名画的主题都是在画面的黄金分割点处，不少著名的乐章的高潮在全曲的0.618处。在几何学中，我们学过“黄金分割”，即把线段a分48黄金比值还一直统治着中世纪西方的建筑艺术，无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的他侬神庙：无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金比值（这显然展示了数学美感）。德国科学家开卜勒再研究植物叶序问题（即叶子在茎上的排列顺序）时发现：叶子在茎上的排列也遵循黄金比值。黄金比值还一直统治着中世纪西方的建筑艺术，无4920世纪50年代，人们又在最优化方法中找到了黄金数的应用，比如优选学中的0.618法。我国学者还曾以0.618为尺度，提出过一个“小康型购物公式”，即：小康型消费价格=0.618×（高档消费价格-低档消费价格）+低档消费价格这个公式对指导商品生产也有实际价值。20世纪50年代，人们又在最优化方法中找到了黄50“黄金分割”除了具有自身直觉的美感外，还有一种奇异美（即它的许多美妙性质），比如，人们还发现黄金数与其它一些数有密切联系：斐波那契数列中前后两项之比的极限是0.618…等等。这些看上去是风马牛不相及的东西，却有着耐人寻味的奇妙联系。“黄金分割”除了具有自身直觉的美感外，还有一种奇异美（即它的51（4）抽象性抽象性是数学最基本的性质：数学家所研究的是抽象的事物，他们所采取的研究方法也是抽象的方法。正是在这种研究活动中，数学家们感受到了数学的美：它的极度的纯洁性、清晰性、严密性、深刻性、精巧性、宏伟性等等，从而，在这样的意义上，我们也就应当把抽象美看成是数学美的一个基本内容。（4）抽象性抽象性是数学最基本的性质：数学家所研究52从数学的历史看，古希腊人已明确地强调了数学的抽象性。与古希腊的数学研究相比，现代数学达到了更高的抽象程度，而这事实上就可看成“抽象美”这一概念的历史发展或演变。具体地说，尽管古希腊数学的研究对象并非是真实的事物或现象，而是抽象的概念，但是，当时所谓的抽象性事实上主要是指对象的“理想化”，从而，相应的数学理论也就被认为是对于真实事物或现象本质的精确描述。一般地说，正如M.克莱因所指出的：“直到1800年左右，所有数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质的正确理想化。”从数学的历史看，古希腊人已明确地强调了数学的抽象性。与古希腊53从19世纪中期开始，特别是由于非欧几何与四元数代数的建立，数学家的研究思想发生了很大变化：数学不再被认为是对于依附于真实事物或现象的数学模型的研究，而是以相对独立的数学模式作为直接的研究对象，这样，数学与真实世界的联系在形式上就被切断了，从而就达到了更高的抽象程度。现代数学的这种高度抽象性是与公理化方法的现代发展，也即由实质的公理化方法到形式的公理化的发展直接相联系的：在形式的公理系统中，我们已不是由已给出的、具有明显直观意义的对象出发去建立相应的公理系统，而是借助于所谓的“假设一演绎方法”去从事可能的对象的研究，从而，这也就为现代数学的高度抽象提供了现实的可能性。从19世纪中期开始，特别是由于非欧几何与四元54一般地说，现代数学的高度抽象性也就意味着更大的一般性。例如，就形式的公理系统而言，由于其并不从属于任何特定的对象，因此，就具有最大的普遍性：任何对象只要满足系统中的公理，就一定满足系统中的各个定理，从而，所说的公理系统也就可以看成关于这一对象的理论。一般地说，现代数学的高度抽象性也就意味着更大的一般性。例如，55由于数学的高度抽象性，人类的本质力量，或者说，人类的理性或智慧，或人类的创造性力量，在数学中就有着最为纯粹的表现。这就如同庞加莱所指出的：“数学……是一种活动，在这种活动中，人类精神似乎从外部世界所取走的东西最少，在这种活动中，人类精神起着作用，或者似乎只是自行起作用和按照自己的意志起作用，以致在研究几何学思维的步骤时，我们可以期望达到人类精神的最本质的东西。”又“数学科学必须反省自身；由于反省自身就是反省创造它的人类精神，因而是有用的；因为数学科学是人类精神从外界借取的东西最少的创造物之一，所以它就更加有用了。……它充分地向我们表明，当人类精神越来越多地摆脱外部世界的羁绊时，它能够创造出什么东西，因此它们就愈加充分地度我们在本质上了解人类精神。”由于数学的高度抽象性，人类的本质力量，或者说，56二、对于数学美的自觉追求的方法论意义为了更深刻地认识对于数学美的自觉追求的意义，下面再从方法论的角度对此作进一步的分析。•（1）美学的考虑在现代数学研究中具有重要的作用有其必然性。具体地说，数学抽象是一种重新建构的过程，而且，现代数学的研究对象在很大程度上又可被看成自由想象的产物，即往往并无明显的直观意义，从而，在纯粹的数学研究中，我们就不可能依据实用的考虑来选择可能的研究方向或对理论的意义作出判断；二、对于数学美的自觉追求的方法论意义为了更深刻地57英国著名数学家哈代则更认为数学研究的根本意义也就在此。他写道：“我的生活真相，或者任何一位曾成为像我一样的数学家的生活真相乃是：我曾对知识稍有贡献，并曾帮助别人去作出更大贡献；这些东西的价值，和那些死后受人怀念的伟大数学家，或任何其他大大小小的艺术家的贡献比起来，只有大小之分，没有本质的区别。”英国著名数学家哈代则更认为数学研究的根本意义也58（2）作为问题的另一方面，我们应清楚地看到所说的美学方法的合理性。首先从认识的角度去进行分析。正如前面所指出的，数学美的基本内容是统一性、简单性、奇异性与抽象性。而由所列举的例子又可以清楚地看出，对于统一性、简单性、奇异性与抽象性的追求事实上也就是认识不断深化和发展的过程。（2）作为问题的另一方面，我们应清楚地看到所说的美学方法的合59例如，对统一性的追求提示了对象的内在联系，奇异性结果的获得又往往意味着冲破了原来的认识框架。对于数学美的追求的这种认识论意义有不少数学家也是明确指出的。英国数学家阿蒂亚就曾写道：“数学中统一性简单性的考虑都是极为重要的。因为研究数学的目的之一，就是尽可能的用简洁而基本的词汇去解释世界。归根结蒂，数学研究是人类智力活动，而不是计算机的程序。如果我们希望能把人类所积累起来的知识一代一代地传下去，我们就必须努力地去把这些知识加以简化和统一。”例如，对统一性的追求提示了对象的内在联系，奇异性60一般地说，无论是对于统一性、简单性、奇异性或抽象性的追求，事实上都体现了数学家的这样一种特性：他们永不满足于已取得的成果，而总是希望能将复杂的东西予以简单化，将分散、零乱的东西予以统一，也总是希望能开拓新的研究领域……正是在这样的过程中，数学家们感受到了数学的美，而这事实上也就是认识不断得到发展和深化的过程。一般地说，无论是对于统一性、简单性、奇异性或抽61其次，从更深的层次上说，我们又应看到在实际的数学研究中美学的考虑往往与其他的因素联系在一起。这就如同波雷尔所指出的：“我们称之为美学的东西，实际上往往是各种观点的聚合。”这也就是说：“我们的美学并不总是那么纯净而奥秘，也包含几条较为世俗的检验标准，例如意义、后果、适用、用途——不过是在数学科学的范围内。”更为一般地说，前面的实例事实上已清楚地说明了以下的拉丁格言的真理性：“美是真理的光辉”，从而，我们也就应当在这样的意义上去肯定数学中的美学方法的意义。其次，从更深的层次上说，我们又应看到在实际的62最后，除去直接的方法论意义以外，我们还应看到，美感往往为数学家提供了必要的工作动力。具体地说，对于美的追求事实上就许多数学家致力于数学研究的一个重要原因。这就正如庞加莱所指出的：“科学家研究自然，并非因为它有用处，他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。”最后，除去直接的方法论意义以外，我们还应看到，美63由此可见，对于美的赞赏与追求事实上就是个人情感进入数学（科学）研究的地方，而如果没有这种情感，就不可能有持久的工作热情；而又正如爱因斯坦所说：“要是没有这种热情，就不会有数学，也不会有自然科学。”综上所述，我们就应明确肯定美的自觉追求对于数学研究的重要意义（也正是在这样的意义上，歌德写道：“数学家只有在他能领悟到真实的美时才是完美的。”）。由此可见，对于美的赞赏与追求事实上就是个人情感64从方法论的角度看，我们则可提出如下的“审美直觉选择性原则”：在种种数学模式的探索、设计与建构的过程中，应当力求按照统一性（对称性）、简单性、奇异性与抽象性等审美标准去选择目标和方法从方法论的角度看，我们则可提出如下的“审美直觉选65（3）在充分肯定对数学美的自觉追求的方法论意义的同时，我们也应清楚地看到所说的美学的相对性和局限性。所谓美学方法的相对性主要是指对于数学美的感受最终必然从属于各个具体的个人并带有强烈的感情色彩，即必然地建立在所谓的审美直觉之上，从而，所说的美学方法也就具有一定的相对性，即可能由于对象、时间等的不同表现出一定的差异。（3）在充分肯定对数学美的自觉追求的方法论意义的同时，我们也66所谓美学方法的局限性则是指我们不能从纯粹美学的角度去从事数学的研究，更不能以美学的考虑去完全代替真理性问题的分析。对于纯粹美学的研究可能对数学研究造成一定的危害，一些数学家也是明确指出了的。所谓美学方法的局限性则是指我们不能从纯粹美学的67冯·诺意曼就曾写道：“当一门数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，或者更进一步，如果它是第二代和第三代，仅仅间接的受到来自现实的思想所启发，它就会遭到严重危险的困扰。它变得越来越纯粹地美学化，越来越纯粹地‘为艺术而艺术’。如果在这个领域周围是互相联系并且依然与实践经验有密切关系的学科，或者这个学科处于具有非常卓越和发展健全的审美能力的人们的影响之下，那这种美学需要不一定是坏事。但是，仍然存在一种严重的危险，即这门学科沿着阻力最小的途径发展，使远离水源的小溪又分散成许多无足轻重的支流，使这个学科变成大量被搞混乱的琐碎枝节和错综复杂的末事。换句话说，在距离经验来源很远很远的地冯·诺意曼就曾写道：“当一门数学学科远离它的经验本源继续发展68最后，我们在此还应清楚地看到在数学与艺术之间存在的重要区别：从根本上说，艺术创造是为了激发人们的情感，满足感情的需要；数学创造的最终目的则是为了获得关于客观真理的认识，从而满足理性的追求。因此，我们就不应片面地强调数学是一门艺术，而应看到数学的双重性质，即数学既是一门科学，同时也是一门艺术。最后，我们在此还应清楚地看到在数学与艺术之间存在69培养审美能力对学生来说是极其重要的，而作为教师则应掌握较系统的数学美学方法，一个没有数学美感的教师是不大可能提高学生的审美能力的。以数学美方法指导数学研究与数学学习，使主体较为自觉地进行发现和创造，主要是原则的、观念性的，而不是具体操作性的，因而教学美学方法不同于数学中的直接证法、反证法、数学归纳法、RMI方法等可操作性较强的数学方法，当然我们也不排斥由于恰到好处地运用这些可操作的数学方法，在实现数学研究目标的过程中增强主体的数学美感，提高主体的数学审美能力。培养审美能力对学生来说是极其重要的，而作为70例1、给定平面上不全在同一直线上的n（n≥3）个点，求证：必有一条直线恰好通过这n个点中的两个点粗看本题似乎是容易，甚至是“不言而喻”的，其实不然，自西尔维斯特提出以后，长期得不到解决，对一般人来说，难就难在无从入手，经过半个世纪，才有一位名不见经传的人，突发奇想，他的证明是这样的。例1、给定平面上不全在同一直线上的n（n≥3）个点，求证：必71众所周知，直线外一点到该直线的距离是唯一的，连接这n个点得m条直线，必有m>1。因为n,m都是有限自然数，所以从n个点到m条直线的距离也是有限个数。设某点T到某一条直线的距离是所有这些距离中最小的一个（如果不唯一，也不影响下面的结论）。众所周知，直线外一点到该直线的距离是唯一的，连接这72b用反证法，如图10-6，DCABTR图10--6设TR⊥，R为垂足，又设上有不少于3个点b用反证法，如图10-6，DCABTR图10--673第六章数学中的美学方法课件74第六章数学中的美学方法课件75第六章数学中的美学方法近两个世纪以来，数学美的研究在一些数学方法著述中已占有一席之地，已有更多的科学家在工作中由于运用了数学美方法而取得了创造性的成果。人们对美的本质、美的规律的探讨远在古代就已经产生。但究竟什么是美？长期以来，哲学家、美学家、文艺评论家们各抒己见，异说纷纭，至今尚没有普遍认可的“定义”。第六章数学中的美学方法近两个世纪以来，数学76科学美学的发展经历了兴衰交替的若干阶段，从古希腊到18世纪的中叶，在两千余年的漫长的时期中，科学家、哲学家常统于一人，他们在论及自然科学理论的同时常常发表科学美的有关见解，这一时期，人们对科学美的追求显著地促进了科学研究，18世纪中叶，美学开始从科学中分化出来，1750年德国哲学家鲍姆嘉通的《美学》第一卷出版，标志着美学成为一门独立的学科。科学美学的发展经历了兴衰交替的若干阶段，从古希腊77在古代、近代或现代，数学美就像科学的绿色草坪中的一朵盛开的红花，它是那样鲜艳、引人注目，那样历久不谢，事实证明，现代科学发展的主要特征之一，是在研究中运用数学工具，并借助数学来表达它的重大成果。数学家哈尔莫斯指出:“数学是创造性的艺术，因为数学创造了美好的新概念，数学家象艺术家们一样的生活，一样的工作，一样的思索。”在古代、近代或现代，数学美就像科学的绿色78人们是如何认识数学美的呢？研究数学美有什么意义？数学美的表现有哪些特征？数学美学方法对数学发展有何促进作用？本章将结合数学发展的史实来讨论这些问题。

人们是如何认识数学美的呢？研究数学美有什么意79人们对数学美的认识，有其历史的发展过程。远在公元前6世纪，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就提出了“万物皆数”的观点。他认为宇宙间的万物是由数生成的，宇宙的结构遵循数的规律，数是主宰万物的神，并造成“宇宙的和谐”。毕达哥拉斯学派提出了数的和谐原则是数学美的一条原则。还认为，一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形，这里又包含了对称美的思想。人们对数学美的认识，有其历史的发展过程。80古希腊的哲学家柏拉图曾把他渴望建立的“理想国”看作完美的世界。柏拉图特别推崇数学的功用，相传柏拉图学园的大门口悬挂着“不懂几何者不准入内的”题词，他曾接受过许多有数学专长的人进入学园从事数学与研究。柏拉图指出：“算术有很伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象。”古希腊的哲学家柏拉图曾把他渴望建立的“理想国81柏拉图把数学的抽象性看成与人类的实践经验无关的特性，而且把数学作为一种抽象美来赞颂，这与他所谓的“理念世界”是不变的、完美的、真实的、永恒的世界的客观唯心主义哲学观是分不开的。柏拉图的学生亚里斯多德指出了数理科学中存在着美，它以秩序、匀称等形式表现出来，认为美是自然科学发展的动力之一，美与善是统一的。柏拉图把数学的抽象性看成与人类的实践经验82亚里斯多德强调数理等自然科学与美学有着重要联系，他在《形而上学》一书中指出：“那些人认为数理诸学全不涉及美或善是错误的。因为数理于美与善说得好多，也为之做过不少实证，它们倘未直接提到这些，可是它们曾为美善有关的定义或其影响所及的事情作过实证，这就不能说数理全没涉及美与善了。美的主要形式‘秩序、匀称与明确’这些唯有数理诸学优于为之作证。又因为这些（例如秩序与明确）显然是许多事物的原因，数理诸学自然也必须研究到以美为因的这一类因果原理。”亚里斯多德强调数理等自然科学与美学有着重要联83古希腊人把数学当作一门艺术加以珍视，M.克莱因：“无疑是由于这门学科在美学上的吸引力，才使得希腊数学家把有些项目探索到超出为理解自然所必需的程度。”欧几里得《几何原本》就是留给后世的数学美的一个结晶，它的美集中表现在它的严格完整的演绎体系上，显示出一幅秩序井然、清晰明确、内涵丰富、逻辑严密的美的画图；它的美还表现在简洁性上，它从少量的公理、定义出发，导出了涉及平面几何、立体几何与数论方面的众多的命题；它的美还表现在方法上，如证明命题“圆与圆之比如同直径上正方形之比”时，应用了“穷竭法”。问题的解决犹如无限的深渊被逼近加反证所填平。古希腊人把数学当作一门艺术加以珍视，M.84几何原本》建立了包括可公度量与不可公度量在内的一般比例论，使几何学的航船避开无理数的“暗礁”，驶向可信与可靠的彼岸。《几何原本》所表现的数学的统一美、简洁美与方法美，像吹奏着的魔笛一样，诱惑着世代无数学子跃进欧几里得所开辟的几何学的深流之中。经过漫长的死气沉沉的中世纪，欧洲迎来了文艺复兴时期。1543年，哥白尼的《天体运行论》发表，他所创立的“日心说”沉重地打击了宗教神权的统治。1619年，开普勒在《宇宙的和谐》一书中公布了行星运动三大定律中的最后一个，他们认为上帝用数学设计安排了世界。几何原本》建立了包括可公度量与不可公度量在内的一85哥白尼说：“我们发现，在这有次序的安排之下，宇宙有一种奇妙的对称性，天体运动的位置和大小的协调有确定的关系，”“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。”这就是说，数学中的次序、和谐、协调、对称是现实世界天体运动固有特征的反映。反之，对“秩序井然而美好的宇宙”的理性发现又往往借助于数学的揭示。哥白尼说：“我们发现，在这有次序的安排之下，宇86康德在《宇宙发展史概论》（1755）中赞扬了数学方法美，他说：“按照眩人耳目的数学方法的方式——这往往要比自然界范围内通常所显示的更为眩人耳目。”在数学发展史上，17世纪是个创造的世纪，而18世纪是个丰收的世纪，特别是形成了数学分析的广阔领域，分析方法深入到力学各分支，结出了累累硕果。数学方法的简洁，数学语言的流畅，数学的内涵的奥秘，得到了人们的赞美。康德在《宇宙发展史概论》（1755）中赞871796年，拉普拉斯发表了总结性的名著《宇宙系统论》，他写道：“数学是一个卓绝的工具，假如没有它，人类思维更不能深入一个如此复杂的理论，它并可作为一个有效方法用以去发现宇宙的奥秘。它的可靠性能和观测本身相比拟。”他和康德一样称赞分析方法的优越性，其中不乏对统一性、简单性等美学表征的赞赏。1796年，拉普拉斯发表了总结性的名著《88罗素也认为：“数学，如果正确地看待它，则它不但拥有真理，而且具有至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美既不投合人类之人性的微弱方面，也不具有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完善的境地。”罗素也认为：“数学，如果正确地看待它，则它不但8919世纪，数学出现了突飞猛进的发展，哈密顿的四元数代数（1843）、以创始人名字命名的伽罗华理论（1846）、非欧几何、康托尔的集合论等全新的数学理论的建立，希尔伯特重建欧几里得公理体系（1899）、F.克莱因用变换群观点完成几何学的统一，这些具有划时代意义的事件，都蕴涵着巨大的美学意义。19世纪，数学出现了突飞猛进的发展，哈密顿90第六章数学中的美学方法课件91到了20世纪，历史发展进入了现代数学阶段，人们对于数学美学方法的认识更为全面深刻，数学家在对数学成果评价与数学创造中的美学方法的运用更为自觉，并认为对数学美的追求是进行数学创造的驱策力。作为一个伟大的科学家，庞加莱对于数学美（更为一般地说，就是科学美）也有着强烈的感受。他写道：“一个名符其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”这种“伟大的东西”就是与艺术美相提并论的科学美（数学美）。”

到了20世纪，历史发展进入了现代数学阶段，人92庞加莱并对数学美（科学美）的性质作了具体说明：“我在这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表现美。并显而易见我小看上述那种美，完全不是，而是这种美与科学无关。我的意思是那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它，正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，这些倏忽即逝的梦幻之美其结果就不是完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身”。显然，与罗素的论述相比，庞加莱关于数学美性质的这一分析是更为深刻的。庞加莱并对数学美（科学美）的性质作了具体说93数学家是如何去作出所说的选择的呢？庞加莱认为：“数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感……正是这样特殊的美感，起着我已经说过和微妙的筛选作用。”因此，“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。”

按照庞加莱的观点，所说的审美感主要地是在无意识（或下意识）的状态下进行工作的。这就如同阿达玛在对庞加莱的有关观点进行总结时所指出的：“庞加莱认为，无意识不仅要担负起构造各种各样的思想组合的复杂任务，而且还要根据我们的审美原则去作最细微和最本质的选择。”数学家是如何去作出所说的选择的呢？庞加莱认为：“94所谓数学中的美学中的美学方法，并非是指与数学研究并无直接联系的纯粹美学（“数学美学”）的研究，如关于主体的审美机制的讨论等，而是指在数学研究中可以自觉的运用美学的考虑去决定可能的研究方向或对理论的意义作出判断。所谓数学中的美学中的美学方法，并非是指与数95著名数学家冯·诺意曼曾指出：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要地都是美学的。”又，“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受（或近乎不受）经验的影响。”著名数学家冯·诺意曼曾指出：“我认为数学家无论96著名数学家、非标准分析的创建者鲁滨逊也曾写道：“这是一个事实，就是组织起来的纯粹数学的世界在很大程度上是由我们关于数学美及纯粹数学的重要性的含糊的直觉来调整的。”阿达玛则更写道：“若要问及研究工作的未来是否能产生卓有成效的结果，严格地说，我们对此真是一无所知，但审美感是可以告诉我们的。除了美感以外，就看不出有任何东西能够帮助我们去作预见了。”由此可见，对数学中的美学方法作出深入的研究就是一项十分重要的任务。著名数学家、非标准分析的创建者鲁滨逊也曾写道：97§6.2数学中的美学方法一、数学美的客观内容及美的追求对于数学发展的促进作用为了对数学中的美学方法作出具体说明，必须首先对数学美的客观内容作出分析。和任何美感一样，人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩，而且，不同的人关于数学美的标准也是各不相同的；但是，从整体上说，数学美感又不是什么虚无飘渺、忽有忽无的东西，数学美也不是什么纯粹主观、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容的。§6.2数学中的美学方法一、数学美的客观内容及美的追求对于98由于数学的发展及人类文明的进步，数学美的概念也必然有一定的发展和演变；但是，它的基本内容又是相对稳定的，这就是：统一性（对称性）、简单性、奇异性和抽象性。由以下的实例又可看出，对于统一美、简单美、奇异美和抽象美的追求的确在很大程度上促进了数学的发展。由于数学的发展及人类文明的进步，数学美的概念也99（1）统一性（对称性）所谓统一性，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。显然，按这样的理解，对称性也就可以看成统一的一个基本内容。在原始的意义上，对称性是指组成一事物或对象的两个部分的对等性。从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本形式。（1）统一性（对称性）所谓统一性，是指部分与部分、100随着数学的发展，对称性的概念也得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的几何概念（包括双侧的、旋转的、平移的对称等），直到更为一般的现代概念（指元素的构形在自相变换群下的不变性）；另外，由数学历史可以看出，以于对称性的追求的确在具体的数学研究中发挥了重要的作用。随着数学的发展，对称性的概念也得到了不断的发展101在初等数学中也可以找到很多体现数学统一性的具体例子。例如，在体积计算中就有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算：在初等数学中也可以找到很多体现数学统一性的具体例子。例如，在102高等数学中更充满了表明数学统一性的例子。例如，在看到泰勒公式时，我们就会深切地感到数学的统一性：各种彼此完全不同的函数（只要它们在某一包含x0在内的开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数）居然都能表示成如下的“统一形式”：高等数学中更充满了表明数学统一性的例子。例如103德国著名数学家F.克莱因的几何研究的成果也说明了对统一性的追求对于数学发展的意义。F.克莱因的几何观以《爱尔朗根纲要》闻名于世的，这是他于1872年在爱尔朗根大学的一次讲演中提出的。F.克莱因指出：“几何学尽管本质上是一个整体，可是，由于最近期间所取得的飞速发展，却被分割成为许多几乎互不相干的分科，其中每一个分科几乎都是独立地继续发展着，于是，公开发表旨在建立几何学的这样一种内在联系的各种考虑，就显得更加必要了。德国著名数学家F.克莱因的几何研究的成果也说104具体地说，F.克莱因提出了如下的关于几何的新观点：各种几何（欧氏几何、仿射几何、射影几何等）都是由变换群所决定的，因为，它们所研究的事实上就是各种变换群之下的不变量。例如，欧氏几何所研究的就是刚体变换群（平移、旋转、反射）下的不变量；射影几何研究的则是射影变换下的不变量；等等。这样，原先被分割开来的几何学在群的观念下就重新被统一起来了。F.克莱因的这一工作在数学史上得到了很高的评价。具体地说，F.克莱因提出了如下的关于几何的新观105（2）简单性和统一性一样，简单性也是数学美的一个基本内容。例如，在日常的数学活动中经常可以听到这样的谈论：“这个证明很美”，而所说的“美”则往往包含了简单性的涵义。狄德罗曾经指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答。”（2）简单性106一般地说，数学家常常以简单性作为自己的追求目标。冯•诺意曼就指出：“人们要求一个数学定理或数学理论，不仅能用简单和优美的方法对大量的先天彼此无联系的个别情况加以描述，并进行分类，而且也期望它和探讨它在‘建筑’结构上‘优美’。在陈述这个问题时平易轻松，然后在解决它和探讨它的所有尝试中遇到巨大困难，然后再出现某种非常惊人的转折，使探讨或一部分探讨一下子容易起来，等等。同样，如果推演是冗长或复杂的话，那么就应该包含某种简单的一般原理，用以‘说明’各种复杂和曲折的情况，把明显的武断化为少数几条简单的指导性的推动因素，等等。”一般地说，数学家常常以简单性作为自己的追求目标。107对于简单美的追求也曾在一定程度上促进了数学的发展。例如，对数计算法显然就是这方面的一个典型例子。事实上，不仅对数计算法是这样，就是乘法、幂等概念的产生也可看成追求简单性的产物。应当注意的是，数学中所说的简单性并不只是纯粹数学方面的考虑，如证明、计算的简单性，而且也包括了逻辑方面的考虑，即要求数学理论在逻辑结构方面也应是简单的。对于简单美的追求也曾在一定程度上促进了数学的发展108例如，由于数学理论是逻辑地展开的，因此，出于简单性的考虑，数学家们就提出了公理的独立性问题，即认为如果一条公理能由其他的公理推导出来，这一公理在逻辑上就是不必要的；类似地，如果一个初始概念能借助于其他的初始概念得到明确的定义，这一概念在逻辑上也是不必要的。另外，就每一个公理及初始概念而言，数学家们又认为它们应当是简单的、清晰的，而不应当是复杂的、难以捉摸的。这样，（逻辑）简单性的考虑就直接促进了公理化方法及数学的发展。例如，由于数学理论是逻辑地展开的，因此，出于109还应指出的是，对于简单美的追求事实上已渗透到了数学研究的各个方面，例如，数学理论与问题的表述而言，希尔伯特就曾转引一位法国数学家的话说：“要使一种数学理论变得这样清晰，以致你能向大街上遇到的第一人解释它。在此之前，这一数学理论不能被认为是完善的。”又，“这里对数学理论所坚持的清晰性易懂性，我想更应以之作为对一个堪称完善的数学问题的要求。”还应指出的是，对于简单美的追求事实上已渗透到了110希尔伯特并对“简单化”与“严格性”的关系进行了分析，他指出：“把证明的严格化与简单化绝然对立起来是错误的。相反，我们可以通过大量例子来证实：严格的方法同时也是比较简单、比较容易理解的方法。正是追求严格化的努力驱使我们去寻求比较简单的推理方法。”对于简单性的追求事实上导致了数学符号包括记数方法的历史发展的演变。例如，现今人们之所以普遍地使用了“进位制”的记数方法，就是因为这种记数方法使运算得到了极大的简化。希尔伯特并对“简单化”与“严格性”的关系进行了分111（3）奇异性。奇异性是数学美的另一基本内容。所谓奇异是指所得的结果或有关的发展是如此地出人预料，从而引起了极大惊愕和诧异；然而，这种发展有时又赢得了人们的赞赏与叹服，从而，在这样的意义上，奇异也就是一种美，而奇异到了极度则更是一种美。（3）奇异性。112在代数学的发展史上，挪威数学家阿贝尔关于“五次及五次以上的方程不可能有一般形式的根式解”的结论无疑是一个令人难以置信的结果，因为，尽管人们始终未能找到这样的求解公式，但大部分数学家仍然认为这样的公式是存在的，而且，只要坚持作深入的研究，人们最终又总能发现所说的公式。然而，阿贝尔却证明了这种公式是根本不存在的在代数学的发展史上，挪威数学家阿贝尔关于“五次及113这一奇异的结论并没有使代数学的研究陷入困境；恰恰相反，数学家们却因此开始了新的研究。例如，他们更为集中地研究了代数方程何时存在有根式解的问题，而又正是通过这种研究，伽罗华（E.Galois）创立了群论，从而使代数学的研究进入了一个新的时代，即从局部性的研究转向了系统结构的整体性分析。这一奇异的结论并没有使代数学的研究陷入困境；恰114奇异性结果会对数学发展产生这样的影响是不足为奇的，因为，奇异性结果的获得事实上就意味着旧的观念（例如，“任何代数方程必然有根式解”）的崩溃，从而，只要敢于面对现实，善于分析研究，人们的认识就可能因此而产生新的飞跃。作为又一个例子，我们再来看著名的哥德尔不完备性定理。奇异性结果会对数学发展产生这样的影响是不足为奇的115在具有传统观点的人看来，美藉奥地利逻辑学家哥德尔于1931年发表的“不完备性定理”也是一个奇异性的结果，因为，甚至从古希腊的时代起，人们即已建立了这样的信念：只要作出足够的努力，我们就可在任一特定的数学领域内建立起这样的公理系统，它是相容的，同时也是完备的，也即在这一系统中可以把所说领域内的所有数学真理都作为定理推演出来。在具有传统观点的人看来，美藉奥地利逻辑学家哥德尔116然而，哥德尔的不完备性定理却表明了这样的事实，对任何足够丰富的形式数学理论来说（即只要足以在其中开展出形式算术理论），如果它是相容的，就一定是不完备的，从而，相容性与完备性就是两个不可能同时实现的目标。从不完备性定理还可推出如下的结论：为了证明一个足够丰富的形式系统的相容性，必须利用另一更大、更为丰富的系统；为了证明后者的相容性，又必须利用第三个更大、更丰富的系统……从而，我们在此事实上就陷入了某种“无穷倒退”，而这种无穷倒退则从一个侧面清楚地表明了数学的局限性。然而，哥德尔的不完备性定理却表明了这样的事实，117但是，不完备性定理不应被看做一个纯粹消极性的结论；恰恰相反，这一定理具有十分重要的数学意义和哲学意义。例如，纽曼(I.Newman)和耐格尔(E.Nagel)就曾把这一定理称为“数学与逻辑学发展史中的里程石碑”。著名物理学家惠勒则更认为：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍然把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”从而，这也就是由于奇异美的追求而导致数学重大发展的一个典型例子。但是，不完备性定理不应被看做一个纯粹消极性的118一般地说，奇异性结果的获得往往是自觉或不自觉地运用悖向思维的结果，反之，悖向思维则可以说是对于奇异美的一种追求，从而，由悖向思维在数学中的重要性，我们也就可以更为清楚地看出奇异美的追求对于数学研究的意义。一般地说，奇异性结果的获得往往是自觉或不自觉119又如；康托尔关于无穷集合与超穷数论的研究，简单地说，就是把数（基数与序数）的概念由有限扩展到无限性对象。由于（实）无限的概念似乎包含了明显的矛盾，因此，在康托尔以前，占主导地位的一直是这样一种观点：（实）无限性对象不能成为数学的研究对象。例如，伽利略在《两门新科学》这一著作中指出，在自然数与其平方数的集合（后者显然是前者的一个部分）之间可以建立一一对应的关系。由于这是与“整体大于部分”的原则直接相抵触的，而后者在当时被认为是无可怀疑的真理，因此，在伽利略看来，上述的事实就表明无限是“不可理解的”。又如；康托尔关于无穷集合与超穷数论的研究，简单120由于康托尔的研究是与当时的传统观念直接相违背的，因此，他所得出的一些结论在当时看来是十分“奇异的”。例如，按照康托尔关于基数的定义（如果在两个集合的元素之间能够建立一一对应，就称这两个集合具有相同的基数），一个集合与它的一个部分（子集）具有相同的基数就是“经常会出现的”，因为，这事实上正是无穷集合的特征性质。另外，康托又证明了如下的结论：•自然数集与有理数集具有相同的基数；•一条直线的点集与n维空间中的点集具有相同的基数。由于康托尔的研究是与当时的传统观念直接相违背的，121康托尔对于自己所采取的立场，一度也曾感到犹豫和不安，如他所说：“我是经过多年科学上的努力和研究，几乎违背我的意愿……逻辑地被迫承认（实无限）的。”但是，出于数学研究的实际需要，康托尔最终坚定地迈出了这“艰难的一步”。康托尔写道：“我不仅希望而且坚信，到了适当时机，这个扩展就会被承认是十分简单，适宜而又自然的一步。”康托尔的期望并没有落空。在现代，集合论事实上已经成为整个数学的基础，从而，就如希尔伯特所说：“在弗雷格、戴德金和康托尔的全力扶持下，无限的观念可谓盛极一时，并终于被推上了皇位，无限在它的扶摇直上的发展中达到了令人眩晕的高度的成功。”康托尔对于自己所采取的立场，一度也曾感到犹豫和122在几何学中，我们学过“黄金分割”，即把线段a分成x和a-x两段，使其比满足：中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”。黄金分割与勾股定理曾被德国科学家开卜勒赞为几何学中的两大瑰宝。顾名思义，黄金数当有着黄金一样的价值，人们喜欢它。一些著名的艺术佳作处处体现了黄金比值——许多名画的主题都是在画面的黄金分割点处，不少著名的乐章的高潮在全曲的0.618处。在几何学中，我们学过“黄金分割”，即把线段a分123黄金比值还一直统治着中世纪西方的建筑艺术，无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的他侬神庙：无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金比值（这显然展示了数学美感）。德国科学家开卜勒再研究植物叶序问题（即叶子在茎上的排列顺序）时发现：叶子在茎上的排列也遵循黄金比值。黄