控制88-36.4离散系统数学模型

自动控制原理西北工业大学自动化学院自动控制原理教学组课程回顾（1）n0

e(nT)

znE(z)

Ζ[e*(t)]

E*(s)zeTst

(

t

)e

(

t

)

(

t

)1(

t

)Tta

Te

a

ts

i

n

tc

o

s

tE

(

z

)1z

(

z

1)z

(

z

1)Tz

(

z

1)

2z

(

z

a

)z

(

z

e

a

T

)z

sin

T

(

z

2

2

cos

T

1)z

(

z

cos

T

)

(

z

2

2cos

T

1)§6.3.1

z变换定义§6.3.2

z变换方法(1)级数求和法(2)查表法(3)留数法lTszResE(s)s

si⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻E(z)

z

ei

1

2

12**1Za

e

(t

)

b

e

(t

)

a

E

(z)

b

E

(z)1.线性性质课程回顾（2）§

6.3.3 z变换的基本定理2.实位移定理n1k

0kZe(t

nT

)

z

n

E(z)ne(kT)

zZ

e(t

nT

)z

E(z)

延迟定理超前定理

Z

e(t)

e

a

t

Ez

e

aT

lime(nT

)

lim

E(z)n0

z复位移定理初值定理终值定理卷积定理lime(nT

)

lim(z

1)

E(z)n

z1c*

(t

)

e*

(t

)*

g*

(t

)

C(z)

E(z)

G(z)课程回顾（3）§

6

.

3

.

4Z

反变换§

6.3.5

Z

变换的局限性只反映采样点上的信息一定条件下，输出的连续信号在采样点处会有跳变自动控制原理（第31

讲）§

6

线性离散系统的分析与校正§

6.1

离散系统§

6.2

信号采样与保持§

6.3 Z变换§

6.4

离散系统的数学模型§

6.5

稳定性分析§

6.6

稳态误差计算§

6.7

动态性能分析§

6.8

离散系统的模拟化校正§

6.9

离散系统的数字校正自动控制原理（第31

讲）§

6.4

离散系统的数学模型§

6

.

4离散系统的数学模型（1）§

6.4.1

线性常系数差分方程及其解法(1)

差分定义

e(kT)

简记为

e(k)前向差分e(k

)

e(k

1)

e(k

)2e(k

)

e(k

1)

e(k

)

e(k

2)

2e(k

1)

e(k

)1阶前向差分2阶前向差分n阶前向差分ne(k)

n1e(k

1)

n1e(k)T

dte(k)

de(t

)limT

01阶后向差分后向2阶后向差分差分n阶后向差分

e(k

)

2e(k

1)

e(k

2)ne(k

)

n1e(k

)

n1e(k

1)T

dtlim

e(k)

de(t

)T

01e(k

)

e(k

)

e(k

1)2e(k)

e(k)

e(k

1)n1

n

e(k

n)

a0e(k

n

1)

a0e(k

1)

a0e(k)

e(k)

a0e(k

1)

a0

e(k

n

1)

a0e(k

n)1

n1

n§

6.4

离散系统的数学模型（2）(3)

差分方程的解法：迭代法

Z变换法(2)

差分方程离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式n阶线性定常离散系统(前向)差分方程c(k

n)

a1c(k

n

1)

a2c(k

n

2)

an1c(k

1)

anc(k)

b0r(k

m)

b1r(k

m

1)

bm1r(k

1)

bmr(k)n阶线性定常离散系统(后向)差分方程c(k)

a1c(k

1)

a2c(k

2)

an1c(k

n

1)

anc(k

n)

b0r(k

n

m)

b1r(k

n

m

1)

bm1r(k

n

1)

bmr(k

n)§

6.4

离散系统的数学模型（3）(

t

0

)

e(t)

4e(t)

3e(t

)

r(t

)

1(t

)T

Te(t

)e(k)

e(k

1)

e(k)

T

1

e(k

1)

e(k)解．例1已知连续系统微分方程：

e(t

)

0现将其离散化，采用数字控制方式(T=1)，求相应的前向差分方程并解之。TT

2T

1

e(k

2)

2e(k

1)

e(k

)e(t)

2e(k

)

e(k

1)

T

e(k

)

Te(k

2)

6e(k

1)

8e(k

)

1(k

)

e(k

2)

6e(k

1)

8e(k)

1(k)

e(k)

0 (

k

0

)e(k

2)

2e(k

1)

e(k

)e(k

1)

e(k

)]e(k

)]

4

[

3

[解．k

1:k

0

:k

1:k

2

:e(k

2)

6e(k

1)

8e(k

)

1(k

)e(1)

6e(0)

8e(1)

1(1)

0e(2)

6e(1)

8e(0)

1(0)

0

0

1

1e(3)

6e(2)

8e(1)

1(1)

6

0

1

7e(4)

6e(3)

8e(2)

1(2)

6

7

8

1

1

35e*

(t

)

(t

2)

7

(t

3)

35

(t

4)

§

6.4

离散系统的数学模型（4）差分方程解法I

——

迭代法

e(k

2)

6e(k

1)

8e(k)

1(k)

e(k)

0 (

k

0

)§

6.4

离散系统的数学模型（5）

lim

lim

limz

zn1z

zn1z

zn1z

1z(z2

6z

8)E(z)

Z[1(k

)]

e(k

2)

6e(k

1)

8e(k)

1(k)

e(k)

0 (

k

0)差分方程解法II—z

变换法解．e(k

2)

6e(k

1)

8e(k

)

1(k

)Z

:(z

1)(z

2)(z

4)zE(z)

Z

1

:

e(n)

Res

E(z)

zn1

3

2

612n

4n

*e

(t

)

n0

z2

(z

1)(z

4)z4

(z

1)(z

2)z1

(z

2)(z

4)n0

1

2n

4n

(t

nT

)3

2

6e(nT

)

(t

nT

)

z2

[E(z)

e(0)z0

e(1)z1

]6

z

[

E(z)

e(0)z0

]8

[

E(z)]k

-

1-nn=0Z

e(t

+

kT)=

z

k

E(z)-e(nT)z§

6.4

离散系统的数学模型（6）§

6

.

4

.

2

脉冲传递函数

——

离散系统复域数学模型1.定义：零初始条件下离散系统输R(z)G(z)

C(z)k

0

k

0

i

0C(z)

c(k

)

z

k

g(k

i)

r(i)

z

k

m

k

i(

m

i

)

g(m)

r(i)

zm

0

i

0

G(z)

R(z)R(z)出z变换对输入z变换之比卷积公式c(k)

g(k

i)

r(i)i0im0mr(i)zi

0

g(m)zG(z)

g(k)zkk

0

C(z)

Zg(k)—

单位脉冲响应序列的z变换脉冲传递函数的性质：G(z)

~

z的复函数；G(z)

~

系统的结构参数；G(z)

~

系统差分方程；G(z)

~ Z[

k*(t)

]；G(z)

~

z平面零极点图。脉冲传递函数的局限性：原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息；一般只适合描述单输入单输出离散系统；只适合用于描述线性定常离散系统。§

6.4

离散系统的数学模型（7）例2

离散系统结构图(T=1),试确定系统的脉冲传递函数；系统在

z平面的零极点分布图；系统的差分方程。s

K

Z

1

K1

s

1R(z)

s(s

1)

解.(1)G(z)

C(z)

Z

z

z(1

eT

)Kz(1

eT

)KzK

z

1

z

e

T

T

2

T(z

1)(z

e

)

z

(1

e

)z

eT0.632Kz

11

1.368z1

0.368z2系统z平面零极点图1

1.368z1

0.368z2

C(z)

0.632Kz

1

R(z)c(k

)

1.368c(k

1)

0.368c(k

2)

0.632Kr(k

1)§

6.4

离散系统的数学模型（8）§

6.4.3

开环系统脉冲传递函数(1)

环节之间有开关时11

2s

1

s

G(z)

G

(z)G

(z)

Z

K

Z

2Kz

z

Kzz

1

z

eT

(z

1)(z

eT

)(2)

环节之间无开关时G(z)

ZG

(s)

G

(s)

G

G

(z)1

2

1

2z

zT(1

eT

)Kz

K

1

1

1

Z

K

Z

K

T

(z

1)(z

e

)

s s

1

s s

1

z

1

z

e§

6

.

4离散系统的数学模型（9）§

6.4

离散系统的数学模型（10）(3) 有ZOH

时K

s s(s

1)

G(z)

Z

1

eTs1s s

1z

K

z

1

Z

1

1

K

T

1

z

1

z

1

z

eT

12s

(s

1)

K

(1

z1

)Z

T

z

z(z

1)z

es2

K

z

1

Tz

zz

12(T

1

e

T

)z

(1

TeT

eT

)(z

1)(z

eT

)

K注：加ZOH

不改变系统的阶数，不改变开环极点，只改变开环零点。G(z)

Kz2(z

1)(z

eT

)G(z)

(1

e

T

)Kz(z

1)(z

eT

)§

6.4

离散系统的数学模型（11）1

GH

(z)C(z)

G(z)R(z)G(z)1

GH(z)(z)

C(z)

§

6.4.4

闭环系统脉冲传递函数(z)(求(z)一般不能用Mason公式)例3.

C

(z)

G(z)

E(z)E(z)

R(z)

B(z)

R(z)

GH

(z)

E(z)1

GH(z)E(z)

R(z)R(z)1

GH(z)R(z)E(z)

§

6.4

离散系统的数学模型（12）G1

H1

(z)1

G

H

(z)G1

(z)

E(z)

E(z)

1

1

1

1

1

1

G

H

(z)

G

(z)

1

R(z)1

G1

H1

(z)

G1

(z)H2

(z)(z)

C(z)

1

11

11G

H

(z)

E(z)1

G

H

(z)E

(z)

E(z)

R(z)

B(z)

R(z)

H2

(z)

C(z)C(z)

G1

(z)

[R(z)

H2

(z)

C(z)]1

1G1

(z)1

G1

H1

(z)G1

(z)H

2

(z)

G1

(z)

R(z)

1

1

1

1

G

H

(z)

C(z)

1

G

H

(z)例4.C(z)

G1

(z)[E(z)

E1

(z)]E1

(z)

G1H1

(z)[E(z)

E1

(z)][1

G1H1

(z)]

E1

(z)

G1H1

(z)

E(z)§

6.4

离散R(z)(z)

C(z)

C(z)

G2G3

(z)

E(z)

G0

H2G3

(z)

R(z)E(z)

G0G1

(z)

R(z)

G1

H1G3G2

(z)

E(z)

G1

H1G3

H2G0(z)

R(z)[1

G1G2G3

H1

(z)]E(z)

[G0G1

(z)

G0G1G3

H1

H2

(z)]R(z)E(z)

G0G1

(z)

G0G1G3

H1

H2(z)

R(z)1

G1G2G3

H1

(z)1

2

3

1[G2G3

(z)

G0G1

(z)

G2G3

(z)

G0G1G3

H1

H2

(z)

G0G3

H

2

(z)

G0G3

H

2

(z)

G1G2G3

H1

(z)]1

G1G2G3

H1

(z)2

3

0

3

21

G

G

G

H

(z)C(z)

G

G

(z)

G0G1

(z)

G0G1G3

H1

H2

(z)

R(z)

G

G

H

(z)

R(z)R(z)

N

(z)n

(z)

C(z)

。例5.求(z)

C(z)

,§

6.4

离散系统的数学1

2

3

1n1

G

G

G

H

(z)

(z)

G2G3

(z)

G1G3

H

1

H

3

(z)

G3

H

3

(z)[1

G1G2G3

H