含绝对值的不等式教案1

|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式教案教学目标1．通过对|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式的教学，学生不仅要掌握其解法，更要抓住其化归转化的基本思想及解题过程中的等价关系．注重对学生思维能力的培养，提高解题能力．2．教学中加强学生对|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)型不等式直观意义的理解，培养学生数形结合的能力．教学重点与难点教学重点是|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式的解法和对其解集的直观意义的理解．难点是求解过程中的等价关系．教学过程设计一、复习提问及揭示课题师：在初中，我们学过一元一次不等式及一元一次不等式组．下面请同学们解不等式并注明每步的依据．(要求学生写在课堂练习本上．)师：通过此题的求解，请说出解不等式的主要依据及依据的内容．生：主要依据是不等式的基本性质，它的内容是：(1)不等式两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．师：在初中，我们还学过实数的绝对值，那么|a|的意义是什么？(学生口述，老师在黑板上给出符号表示，即同时要求学生说出其几何意义，即|a|表示数a在数轴上对应的点到原点的距离．)师：请同学回答下列问题：(出示小黑板，由学生口述，教师板书．)(1)当x______时，|2x－3|=2x－3；(2)若|2x－3|=3－2x，则x_______；(3)若|2x－3|=1，则x=______，并说明其几何意义．(在说明|2x－3|=1的几何意义时，教师可先引导学生画数轴，标出P(1)，P(2)|2x－3|=1的几何意义是：数轴上表示数x的点P(x)(其中P(x)=P(1)或P(x)=P(2))到表师：我们若将|2x－3|=1中的“=”号改为“＜”或“＞”号，则这时x又将为何值呢？|2x－3|＜1或|2x－3|＞1的几何意义又是什么呢？这就是我们今天要学习的内容．(板书课题：|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式)三、讲述新课1．|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式．师：为了寻找|ax+b|＜c，|ax+b|＞c型不等式的解法，我们先从寻找最简单的不等式|x|＜a，|x|＞a的解法入手．看下面具体例题．(板书)例解不等式|x|＜2．师：请谈你的想法．生：我考虑要先去掉绝对值符号．师：怎样去掉绝对值符号，绝对值符号去掉后，不等式|x|＜2将转化成怎样的不等式？请同学自己动笔试着写写．(教师巡视，主要看第一步的逻辑表述是否等价(同解)，这是一个难点，应使学生特别注意这一点．可分别将学生中书写正确的，或带有问题的做实物投影，给出分析指导．)不等式组(2)的解．因为，满足不等式组(1)，即满足0≤x＜2的任意x的值，都是原不等式|x|＜2的解；满足不等式组(2)，即满足－2＜x＜0的任意x的值，也都是原不等式|x|＜2的解，所以|x|＜2的解集等于不等式0≤x＜2与不等式－2＜x＜0的解集的并，即|x|＜2的解集为{x|0≤x＜2}∪{x|－2＜x＜0}={x|－2＜x＜2}．(板书)所以，原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．(如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式叫做同解不等式．一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式师：请同学将|x|＜2的解集在数轴上表示出，并试着解释其几何意义．生：|x|＜2的几何意义为表示数x的点到原点的距离小于2，从数轴(图2)可看出，表示|x|＜2的解集的线段(端点除外)，就是数轴上到原点的距离小于2的所有点的集合．师：若上述解不等式|x|＜2，改为解不等式|x|＞2，你能很快求出解集，并在数轴上表示出来吗？(学生基本都能得到正确答案，教师可根据学生实际情况略做说明，或选学生所做的情况进行一下实物投影．)师：通过解不等式|x|＜2，|x|＞2，你能总结归纳出规律吗？请同学完成下列表格：(做成投影幻灯片，或抄写在小黑板上，让学生完成在笔记本上．)2．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式师：现在我们来解不等式|2x－3|＜1．请问哪位同学有解决的办法？＜a，即可解决．(分别由这两位学生板演，要求写出每步依据．)解法1|2x－3|＜1所以，原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．解法2|2x－3|＜1所以，原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．师：请同学们把解集在数轴上表示出来(图4)．对照此图，说说|2x－3|＜1的解集的几何意义．生：|2x－3|＜1的解集的几何意义是：|2x－3|＜1的解集在数轴上对应的是数线段上所有的点(端点除外)．师：若将解不等式|2x－3|＜1改为解不等式|2x－3|≥1呢？请同学们自己写在笔记本上．师：现在我们一起回顾一下解不等式|2x－3|＜1的思路．第一种，将2x－3看成整体，化归转化成|x|＜a或|x|＞a的形式；第二种，利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，转化成一元一次不等式或一元一次不等式组．第三种，利用两数差的绝对值的几何意义，借助数轴的直观，得到不等式的解集．但此种方法不适用于解答题，是解答选择填空题的捷径．师：上述三种思路方法，对一般的|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式适用吗？若适用，试写出每种方法的第一步．(可将下列解法1，解法2，解法3写在投影幻灯片上，待学生写一会儿后打出投影，再做进一步强调和说明．)解法3先将不等式变形为：再画数轴用直观表示的方法解之．师：解法1主要体现化归转化的思想，解题较简捷；解法2体现了解绝对值不等式的一般思路方法，具有指导性；解法3应用的是两数差的绝对值的几何意义，但要注意找好中心点和距离．下面我们举几个例题．例1解不等式|2－3x|＞7．(学生口述．老师板书．)解|2－3x|＞7(先由学生谈谈自己的解法思路，选择较有代表性的解法让学生板演．)例3解不等式|x+2|+|x－1|＜5．师：观察不等式形式特征，你对解此不等式有何思考？生甲：这个不等式的形式是两个绝对值的和小于5，所以不能直接套用|ax+b|＜c或|ax+b|＞c的公式形式，我想还是用绝对值的定义，去掉绝对值符号来解．生乙：|x+2|+|x－1|＜5的几何意义是不是就是：到－2那点与到1那点的距离和小于5的点集，我想画数轴直接找出解集．(按两位同学提供的思路方法，先让学生自己动笔解．老师巡视，主要看看代数方法第一步，几何方法中的数的表示，然后根据实际情况引导．)师：同学请注意，这里x的取值全集是实数集R．要想去掉|x+2|中的绝对值符号，就要看x是小于－2还是大于－2；要想去掉|x－1|中的绝对值符号，就要看x是小于1还是大于1．这样，－2，1这两个数将x取值全集R分成(－∞，－2)，[－2，1]，(1，+∞)三个子集．由于x在每个子区间上都可能取值，故原不等式|x+2|+|x－1|＜5(以下步骤学生自己完成，最后给出答案，原不等式的解集为{x|－3＜x＜－2}∪{x|－2≤x≤1}∪{x|1＜x＜2}={x|－3＜x＜2}．)师：刚才×××同学已给出了|x+2|+|x－1|＜5的几何意义，那么，同学先在数轴上标出与数－2，1所对应的点P(－2)，P(1)，然后找出P(－2)，P(1)两点距离之和是5的点．一个是数－3对应的点P(－3)，一个是数2对应的点P(2)则线段P(－3)P(－2)(除去端点)上的所有点到p(－2)，P(1)的距离和都小于5．所以原不等式解集为{x|－3＜x＜2}，如图5．3．小结师：今天这节课的重点是掌握解含绝对值符号的不等式的思路方法，而正确求得解集的关键是求解变化过程的等价变形．具体解|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式，要根据不等式的形式特征决定采取我们前面总结的三种方法中的某一种，要注意，第三种方法适用于选择填空题，不能作为解答的说理过程．四、作业1．课本P26～P27习题二第2．(2)，(4)；3．(3)，(4)题．2．补充题(1)若|x+1|+|x－2|＞3，则x的取值范围是________．(2)不等式4＜|3x－5|＜7的解集是________．(3)若|x－3|＜a的解集为{x|2＜x＜4}，则a的取值是_______．课堂教学设计说明1．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式这节课的教学，是在学生上初中时学过的一元一次不等式及绝对值概念的基础上进行的．因此在教学中，我们各通过一道练习题，复习有关的知识和方法，这为学生学习最简的|x|＜a，|x|＞a(a＞0)的不等式做了铺垫．学生有了|x|＜a，|x|＞a(a＞0)的解法后，通过换元转化的思想，得到|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)的解法．也可按一般思路方法去掉绝对值符号，转化成一元一次不等式或一元一次不等式组．这部分题不宜增加对字母系数的讨论，因为初中学生对分类讨论没有什么接触，这又是学生的一个难点，难点不宜集中，而且解不等式的内容高二还要继续学习，故例题只到例3、例4的难度．2．教学的整个过程，主要想体现对思维和方法的落实上．思维上，就是让学生落实在“转化”二字上；方法上，就是让学生落实两种方法，第一种方法是通过绝对值的意义去掉绝对值符号，使|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式转化成一元一次不等式或一元一次不等式组，第二种方法是通过换无法使|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式转化成最简单的|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式．第一种方法是解绝对值不等式的最一般的方法，为了加以重视，教学过程中写出了解不等式|2x－3|＜1的解法2，补充了例题3，目的是加强一般方法的使用．对例3再说明一点，对x取值情况分成(－∞，－2)，[－2，1]，(1，+∞)三部分时，就按|x+2|，|x－1|的意义说，这里虽然渗透了对x取值全集的分类讨论，但这节课上不讲分类讨论这个词，避免难点过多，扰乱学生思维．3．为了加强学生对|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)的不等式的解集的直观意义的认识，在绝对值知识的复习中有意识地问了一下|2x－3|=1的几何意义，这对学生思考|x－a|