ch5-dt变换lec信号与系统

Autumn

2015信号与系统Chapter

5The

D-T

FourierTransform离散时间傅里叶变换Lecture

5-2于源，yu

回顾: DTFT

vs.

CTFT𝒙[𝒏]单元信号𝒆𝒋𝝎𝒏时域周期、频域周期(𝟐𝝅)分析公式∞𝑿(𝒆𝒋𝝎)

=

𝒙[𝒏]𝒆−𝒋𝝎𝒏𝒏=−∞频域连续、周期(𝟐𝝅)𝒙(𝒕)𝒆𝒋𝝎𝒕时域周期、频域非周期∞𝑿(𝒋𝝎)

=

𝒙(𝒕)𝒆−𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎−∞频域连续、非周期(一般)综合公式𝒙[𝒏]

=𝟏𝟐𝝅𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒏𝒅𝝎𝟐𝝅𝒙(𝒕)

=𝟏1信号与系统课程组©2015𝟐𝝅∞𝑿(𝒋𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎−∞2信号与系统课程组©2015离散时间非周期信号的傅里叶变换典型D-T非周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的卷积和相乘性质对偶性线性差分方程描述D-T

LTI系统3.1

周期信号频域描述:

从DTFS

到DTFT周期信号的D-T傅里叶级数周期信号的D-T傅里叶变换把周期信号与非周期信号的频域分析方法

起来：用”幅度密度”和”相位”表征频率分量信息𝒙

𝒏

=𝒂𝒌

=𝟏𝑵𝒂𝒌𝒆𝒋𝒌𝝎𝟏𝒏

=𝒂𝒌𝒆𝒋𝒌(𝟐𝝅

𝑵)𝒏𝒌=

𝑵𝒌=

𝑵𝒙

𝒏

𝒆−𝒋𝒌(𝟐𝝅

𝑵)𝒏𝒏=

𝑵3信号与系统课程组©2015回顾:

连续时间周期信号的CTFT∞𝓕

𝒙𝑻

𝒕

=

𝟐𝝅𝑭𝒌

𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏)𝒌=−∞∞4信号与系统课程组©2015=𝒌=−∞连续时间周期信号傅里叶变换是：一系列位于谐波频率的离散冲激序列，冲激的“复振幅”包络等于非周期中心脉冲傅里叶变换乘以频谱间隔𝑿𝟎(𝒋𝒌𝝎𝟏)𝝎𝟏

𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏)3.2

周期复指数信号𝒆𝒋𝝎𝟏𝒏

的DTFT𝒆𝒋𝝎𝟏𝒏

⟷

𝟐𝝅𝜹(𝝎

−

𝝎𝟏

−

𝟐𝝅𝒍)𝒍=−∞= 𝛿(𝜔

−

𝝎𝟏)𝑒𝑗𝝎𝟏𝑛𝑑𝜔

=

𝒆𝒋𝝎𝟏𝒏2𝜋∞⟹ℱ−1∞𝟏2𝜋

𝛿 𝜔

−𝝎

−2𝜋𝑙𝑙=−∞2𝜋2𝜋𝟏1= 2𝜋𝛿(𝜔

−

𝝎

)𝑒𝑗𝜔𝑛

𝑑𝜔信号与系统课程组©20155𝒙𝑵[𝒏]

=𝒂𝒌𝒆𝒋𝒌𝝎𝟏𝒏𝒌=

𝑵3.3

一般离散时间周期信号的DTFT𝓕{𝒙𝑵[𝒏]}

=𝒂𝒌𝓕

𝒆𝒋𝒌𝝎𝟏𝒏𝒌=

𝑵∞𝒌=

𝑵=𝒂𝒌𝟐𝝅𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏

−

𝟐𝝅𝒍)𝒍=−∞∞𝒌=

𝑵

𝒍=−∞∞𝟐𝝅𝒂𝒌𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏)𝒌=−∞=𝟐𝝅𝒂𝒌𝜹(𝝎

−

(𝒌

+

𝒍𝑵)𝝎𝟏)=𝑵𝝎𝟏

=

𝟐𝝅𝒂𝒌

=

𝒂𝒌+𝑵𝒆𝒋𝝎𝟏𝒏∞⟷

𝟐𝝅𝜹(𝝎

−

𝝎𝟏

−

𝟐𝝅𝒍)𝒍=−∞6信号与系统课程组©2015CTFT

for

C-T

Periodic

Signals∞𝓕

𝒙𝑻

𝒕

=

𝟐𝝅𝑭𝒌

𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏)𝒌=−∞DTFT

for

D-T

Periodic

Signals∞𝓕

𝒙𝑵[𝒏]

=

𝟐𝝅𝒂𝒌

𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏)𝒌=−∞可以看出：周期信号的CTFT和DTFT具有相同的数学形式7信号与系统课程组©20153.3

一般离散时间周期信号的DTFT:

周期信号的幅度谱&

幅度密度谱傅里叶级数给出了C-T/D-T周期信号的谐波频率分量的幅度，其数值通常为非零有限值幅度@

𝒌𝝎𝟏:

𝑨𝒌

≡

𝑭𝒌

or

𝒂𝒌傅里叶变换给出的是各谐波分量“幅度密度”版本的幅度信息幅度密度

@

𝒌𝝎𝟏:𝑨𝒌𝐥𝐢𝐦

𝟐𝝅∆𝝎→𝟎∆𝝎=

𝟐𝝅𝑨𝒌𝜹(𝝎

−

𝒌𝝎𝟏)8信号与系统课程组©2015CTFS:CTFT:𝑭𝒌𝑿𝑻𝒋𝝎C-T:𝒙𝑻(𝒕)𝑿(𝟎)

=

𝟐𝝅𝑭𝟎𝜹(𝝎)𝑭𝟎

=

𝑬𝝉

𝑻𝝉

=

𝟎.

𝟒,

𝑻

=

𝟏𝝎𝝎:

周期信号的幅度谱&

幅度密度谱9信号与系统课程组©2015CTFS:CTFT:𝑭𝒌𝑿𝑻𝒋𝝎𝝎𝝎𝑭𝟎𝑭−𝟏𝑭𝟏𝑭𝟐𝑭−𝟐𝟐𝝅𝑭−𝟐𝟐𝝅𝑭−𝟏𝟐𝝅𝑭𝟎𝟐𝝅𝑭𝟏𝟐𝝅𝑭𝟐:

周期信号的幅度谱&

幅度密度谱10信号与系统课程组©2015DTFS:DTFT:𝒂𝒌𝑿𝑵(𝒆𝒋𝝎)D-T:𝒙𝑵[𝒏]𝑵𝟏

=

𝟐,

𝑵

=

𝟏𝟎𝒌𝝎𝒏:

周期信号的幅度谱&

幅度密度谱11信号与系统课程组©2015𝝎𝒌DTFS:DTFT:𝒂𝒌𝑿𝑵(𝒆𝒋𝝎)𝒂𝟎𝒂𝟏𝒂−𝟏𝒂−𝟑𝒂𝟑𝟐𝝅𝒂𝟎𝟐𝝅𝒂−𝟏

𝟐𝝅𝒂𝟏𝟐𝝅𝒂−𝟑𝟐𝝅𝒂𝟑:

周期信号的幅度谱&

幅度密度谱12信号与系统课程组©201513信号与系统课程组©2015离散时间非周期信号的傅里叶变换典型D-T非周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的卷积和相乘性质对偶性线性差分方程描述D-T

LTI系统4.1

Periodicity

&

LinearityLinearity

(线性)𝐃𝐓𝐅𝐓𝒂𝒙[𝒏]

+

𝒃𝒚[𝒏]

𝒂𝑿

𝒆𝒋𝝎+

𝒃𝒀

𝒆𝒋𝝎𝑿

𝒆𝒋(𝝎+𝟐𝝅)=

𝑿

𝒆𝒋𝝎Periodicity

(周期性)14信号与系统课程组©2015𝒙

𝒏

−

𝒏𝟎𝐃𝐓𝐅𝐓𝒆−𝒋𝝎𝒏𝟎𝑿

𝒆𝒋𝝎𝒙

𝒏

𝒆𝒋𝝎𝟎𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿

𝒆𝒋(𝝎−𝝎𝟎)4.2 Time

&

Frequency

Shifting

(时域/频域平移)𝒙(𝒕

−

𝒕

)𝐂𝐓𝐅𝐓𝒆−𝒋𝝎𝒕𝟎𝑿

𝒋𝝎𝟎𝐂𝐓𝐅𝐓𝒙(𝒕)𝒆𝒋𝝎𝟎𝒕𝑿 𝒋(𝝎

−

𝝎𝟎)一致CT

vs.

DT

:15信号与系统课程组©20154.3

共轭与共轭对称性𝑿

−∙ =

𝑿∗

∙when

𝒙

is

realIf

𝒙

is

real,

then

𝑿(∙)

is

conjugate

symmetric.i.e.𝑿(∙)here

is

a

Hermitian

function(厄米函数)∗𝒙

𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿∗

𝒆−𝒋𝝎𝐂𝐓𝐅𝐓∗𝒙

(𝒕)𝑿∗−𝒋𝝎一致CT

vs.

DT

:16信号与系统课程组©2015𝐂𝐓𝐅𝐓𝒙(𝒕)Real

-

EvenImaginary

-

EvenReal

-

OddImaginary

-

Odd𝑿

𝒋𝝎实偶

实偶虚偶

虚偶实奇

虚奇虚奇

实奇Real

-

EvenImaginary

-

EvenImaginary

-

OddReal

-

Odd4.5

Odd-Even

Imaginary-Real

Symmetry(奇偶虚实性)𝒙[𝒏]𝑿

𝒆𝒋𝝎CT

vs.

DT

𝐃𝐓𝐅𝐓一致17信号与系统课程组©20154.4 Time

Differencing

(时域差分)𝒙

𝒏 −𝒙 𝒏

−

𝟏𝐃𝐓𝐅𝐓(𝟏

−𝒆−𝒋𝝎)𝑿

𝒆𝒋𝝎𝒅𝒅𝒕𝒙

𝒕𝐂𝐓𝐅𝐓𝒋𝝎𝑿

𝒋𝝎𝐃𝐓:𝟏

−𝒆−𝒋𝝎18信号与系统课程组©2015⟺

𝐂𝐓:𝒋𝝎4.5

Accumulation

(累加)𝒏𝒙[𝒎]𝒎=−∞𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿

𝒆𝒋𝝎𝟏

−

𝒆−𝒋𝝎

+

𝝅𝑿

𝒆𝒋𝟎

𝜹(𝝎

−

𝟐𝝅𝒌)∞𝒌=−∞Corresponding

to

DC

oraverage

value𝒕𝒙

𝝉

𝒅𝝉−∞𝐂𝐓𝐅𝐓

𝑿

𝒋𝝎𝒋𝝎+

𝝅𝑿(𝟎)𝜹(𝝎)𝐃𝐓:𝟏

−𝒆−𝒋𝝎⟺

𝐂𝐓:𝒋𝝎DTFT

的周期性19信号与系统课程组©20154.6

Differentiation

in

Frequency(频域微分)−𝒋𝒏𝒙

𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓𝒅𝝎𝒅𝑿

𝒆𝒋𝝎−𝒋𝒕𝒙(𝒕)𝐂𝐓𝐅𝐓𝒅𝒅𝝎𝑿

𝒋𝝎CT

vs.DT:

一致20信号与系统课程组©20154.7 Time

Reversal(时域反褶)𝒙

−𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿

𝒆−𝒋𝝎𝒙(−𝒕)𝐂𝐓𝐅𝐓𝑿

−𝒋𝝎CT

vs.DT:

一致21信号与系统课程组©20154.8 Time

Expansion(时域扩展)𝒙(𝒌)

𝒏=𝒙

𝒏/𝒌

,𝟎,22信号与系统课程组©2015𝒏/𝒌

∈

ℤothers𝒌:扩展系数，𝒌=𝟏,𝟐,

𝟑,…𝒙[𝒏]𝒙(𝟐)[𝒏]𝒙[𝒏]𝒙(𝟐)[𝒏]Padding

zeros

(补零)4.8 Time

Expansion(时域扩展)23信号与系统课程组©2015𝒙(𝒌)𝒏

=𝒙

𝒏/𝒌

,𝟎,𝒏/𝒌

∈

ℤothers(𝒌)𝒙

𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿

𝒆𝒋𝒌𝝎4.8 Time

Expansion(时域扩展)𝒌-fold

time

expansion,

𝒌-fold

frequency

compression(

水平方向：时域扩展

𝒌

倍，频域压缩

𝒌

倍

)CT

vs.DT:

一致24信号与系统课程组©2015𝒌

=

𝟐𝒌

=

𝟑4.8 Time

E低频:

数值为偶数倍

𝝅

附近的频率高频:

数值为奇数倍

𝝅

附近的频率25信号与系统课程组©20154.9

Parseval’s

relation(帕斯瓦尔定理)𝟐𝝅𝟐𝝅𝟏𝒙[𝒏]

=𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒏𝒅𝝎=𝝎=

𝟐𝝅𝟐𝝅𝑿(𝒆𝒋𝝎)

𝒅𝝎

𝒆𝒋𝝎𝒏频率分量幅度𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝒅𝝎𝟐𝝅对频率分量𝟐𝝅𝑿

𝒆𝒋𝝎

𝒅𝝎

∙

𝒆𝒋𝝎𝒏平均功率：𝑷(𝒆𝒋𝝎)=𝑿

𝒆𝒋𝝎𝒅𝝎𝟐𝝅𝟐(通常趋零)𝑬

𝒆𝒋𝝎𝑵→∞= lim

𝑵𝑷

𝒆𝒋𝝎= lim

𝑵𝑵→∞𝑿

𝒆𝒋𝝎𝒅𝝎𝟐𝝅𝟐=𝑿

𝒆𝒋𝝎𝟐

𝒅𝝎26信号与系统课程组©2015𝟐𝝅能量：4.9

Parseval’s

relation(帕斯瓦尔定理)∞𝒙

𝒏𝒏=−∞𝟐𝝅𝟏𝟐𝝅𝟐

=

𝑿

𝒆𝒋𝝎𝟐𝒅𝝎把𝝎=𝟐𝝅

范围内所有频率分量的能量相加，即为能量信号的总能量27信号与系统课程组©2015Check

Yourself𝒚[𝒏]𝒚(𝟐)[𝒏]𝟐𝒚(𝟐)[𝒏

−

𝟏]例

5.9:

试求

𝓕{𝒙[𝒏]}𝑦

𝑛 =

rect4[𝑛

−

2]𝑦[𝑛]

↔

𝑒−𝑗2𝜔

sin(5𝜔/2)sin(𝜔/2)𝒚(𝟐)[𝒏]

↔

𝑒−𝑗4𝜔

sin(5𝜔)sin(𝜔)𝟐𝒚(𝟐)[𝒏

−

𝟏]

↔

2𝑒−𝑗𝜔𝑒−𝑗4𝜔

sin(5𝜔)sin(𝜔)𝒙[𝒏]𝒙

𝒏=

𝒚(𝟐)

𝒏 +

𝟐𝒚(𝟐)[𝒏

−𝟏]𝑥

𝑛28信号与系统课程组©2015↔

(1

+

2𝑒−𝑗𝜔)𝑒−𝑗4𝜔

sin(5𝜔)sin(𝜔)29信号与系统课程组©2015离散时间非周期信号的傅里叶变换典型D-T非周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的卷积和相乘性质对偶性线性差分方程描述D-T

LTI系统5.1 DTFT

时域卷积性质𝒚

𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓=

𝒙[𝒏]

∗

𝒉[𝒏]

𝒀

𝒆𝒋𝝎=

𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝑯

𝒆𝒋𝝎∞𝒙

𝒌

𝒉[𝒏

−

𝒌]𝒌=−∞𝒉[𝒏]𝑯(𝒆𝒋𝝎)𝑿(𝒆𝒋𝝎)30信号与系统课程组©2015𝒙[𝒏]

𝒚[𝒏]𝒀(𝒆𝒋𝝎)时域卷积，频域乘积例

5.11:

时移系统输入输出关系：𝒚[𝒏]

⟷

𝒙[𝒏]

?𝒙[𝒏]𝒉[𝒏]𝒚[𝒏]𝒉

𝒏 =

𝜹[𝒏

−

𝒏𝟎]系统频响特性：𝑯

𝒆𝒋𝝎

=

𝓕 𝜹

𝒏

−

𝒏𝟎=

𝒆−𝒋𝝎𝒏𝟎=

𝑿

𝒆𝒋𝝎𝒀

𝒆𝒋𝝎

𝑯

𝒆𝒋𝝎=

𝒆−𝒋𝝎𝒏𝟎𝑿

𝒆𝒋𝝎𝒚

𝒏=

𝓕−𝟏𝒆−𝒋𝝎𝒏𝟎𝑿

𝒆𝒋𝝎=

𝒙[𝒏

−

𝒏𝟎]⟹⟹5.1 DTFT

时域卷积性质𝜹[𝒏]

↔

𝟏31信号与系统课程组©2015𝒙[𝒏]𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)𝒚[𝒏]𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)例

5.14: Find

the

frequency

response

𝑯

𝒆𝒋𝝎(−𝟏)𝒏

(−𝟏)𝒏𝝅

𝟒−

𝝅

𝟒𝟐𝝅−𝟐𝝅where

𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)

is

a

ideal

loss

filter

with

𝝎𝒄

=

𝝅/𝟒𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)𝝎5.1 DTFT

时域卷积性质32信号与系统课程组©2015𝒙[𝒏]𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)𝒚[𝒏]𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)(−𝟏)𝒏𝒘𝟏[𝒏](−𝟏)𝒏𝒘𝟐[𝒏]

𝒘𝟑[𝒏]𝒘𝟒[𝒏]𝒆𝒋𝝎𝑾𝟒(𝒆𝒋𝝎)

=

𝑯𝒍𝒑

𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝒘𝟏

𝒏 =

(−𝟏)𝒏𝒙[𝒏]

=

𝒆𝒋𝝅𝒏𝒙[𝒏]𝑾𝟏(𝒆𝒋𝝎)

=

𝑿(𝒆𝒋(𝝎−𝝅))𝑾𝟐(𝒆𝒋𝝎)

=

𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)𝑾𝟏(𝒆𝒋𝝎)𝑾𝟑(𝒆𝒋𝝎)

=

𝑾𝟐(𝒆𝒋(𝝎−𝝅))

=

𝑯𝒍𝒑=

𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋

𝝎−𝝅𝒆𝒋

𝝎−𝝅𝑿(𝒆𝒋(𝝎−𝟐𝝅))𝑿(𝒆𝒋𝝎)(−𝟏)𝒏=

𝒆𝒋𝝅𝒏Frequency

shift33信号与系统课程组©2015𝒙[𝒏]𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)𝒚[𝒏]𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)(−𝟏)𝒏𝒘𝟏[𝒏](−𝟏)𝒏𝒘𝟐[𝒏]

𝒘𝟑[𝒏]𝒘𝟒[𝒏]𝒀

𝒆𝒋𝝎=

𝑾𝟑𝒆𝒋𝝎+

𝑾𝟒𝒆𝒋𝝎=

𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋

𝝎−𝝅𝑿

𝒆𝒋𝝎=𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋

𝝎−𝝅+

𝑯𝒍𝒑+

𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋𝝎𝒆𝒋𝝎

𝑿

𝒆𝒋𝝎𝑿

𝒆𝒋𝝎𝑯

𝒆𝒋𝝎=𝒀

𝒆𝒋𝝎𝑿

𝒆𝒋𝝎=

𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋

𝝎−𝝅+

𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋𝝎34信号与系统课程组©2015−

𝝅

𝝅𝟒

𝟒𝟐𝝅−𝟐𝝅𝑯𝒍𝒑(𝒆𝒋𝝎)⋯𝝎−

𝝅

𝝅𝟒

𝟒𝟐𝝅−𝟐𝝅𝑯(𝒆𝒋𝝎)𝝅𝝅⋯𝝎⋯𝑯

𝒆𝒋𝝎𝒆𝒋𝝎=

𝑯𝒍𝒑

+

𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋

𝝎−𝝅Lo ss

+Highpass

=Bandstop(带阻)⋯35信号与系统课程组©20155.2 DTFT

时域相乘性质𝒓

𝒏=

𝒔

𝒏

𝒑

𝒏𝐃𝐓𝐅𝐓𝑹

𝒆𝒋𝝎𝟐𝝅𝟏=𝟐𝝅𝑺

𝒆𝒋𝜽𝑷

𝒆𝒋(𝝎−𝜽)𝒅𝝎Periodic

convolution(周期卷积)36信号与系统课程组©2015例

5.15: Find

𝓕

𝒙[𝒏]𝒙

𝒏 =

𝒙𝟏

𝒏

𝒙𝟐

𝒏𝐬𝐢𝐧

𝐬𝐢𝐧=

𝟐

∙

𝟒

𝝅

𝒏

𝟑𝝅

𝒏𝝅𝒏

𝝅𝒏𝒙𝟏

𝒏𝐬𝐢𝐧𝝅𝒏=

𝟐

𝝅𝒏𝒆𝒋𝝎↔

𝑿𝟏=

𝑯𝒍𝒑𝟏(𝒆𝒋𝝎)

with

𝝎𝒄

=𝝅𝟐𝒙𝟐

𝒏𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅𝒏=

𝟒

𝝅𝒏𝒆𝒋𝝎↔

𝑿𝟐=

𝑯𝒍𝒑𝟐(𝒆𝒋𝝎)

with

𝝎𝒄

=𝟑𝝅𝟒𝑯𝒍𝒑𝒆𝒋𝝎∞=𝒍=−∞𝒄𝐫𝐞𝐜𝐭𝟐𝝎

(𝝎

−𝟐𝝅𝒍)

↔37信号与系统课程组©2015𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒄𝒏)𝝅𝒏理想低通滤波器5.2 DTFT

时域相乘性质𝑿

𝒆𝒋𝝎𝟐𝝅𝟐𝝅𝟏=𝒆𝒋𝜽𝑿𝟐

𝑿𝟏𝒆𝒋(𝝎−𝜽)𝒅𝜽𝝅𝟐𝟐𝟐𝝅−𝟐𝝅𝝎⋯⋯𝝅−𝝅

−

𝝅𝑿𝟏𝒆𝒋𝝎𝟑𝝅𝟒−

𝟑𝝅𝟒𝟐𝝅−𝟐𝝅𝝎⋯⋯−𝝅𝑿𝟐𝒆𝒋𝝎𝝅如果能把

𝟏

式的周期卷积转化为求常规卷积(积分上下限为±∞)，可以简化计算。38信号与系统课程组©2015(𝟏)周期卷积转换为

常规卷积39信号与系统课程组©2015令𝒋𝝎𝑿𝟏

𝒆

=𝑿𝟏,

−𝝅

<

𝝎

<

𝝅其他𝑿

𝒆𝒋𝝎=𝟏𝟐𝝅𝟏𝒆𝒋𝜽𝑿𝟏𝒆𝒋𝜽(𝝎−𝜽)𝒅𝜽𝝅𝟐𝟐−𝟐𝝅𝝎⋯⋯𝝅

𝟐𝝅−𝝅

−

𝝅𝑿𝟏𝒆𝒋𝝎𝑿𝟏𝒆𝒋𝝎𝒆𝒋𝝎𝟎,𝝅𝑿𝟐−𝝅∞𝑿𝟐−∞=𝟐𝝅𝒆𝒋𝜽𝑿𝟏𝒆𝒋

(𝝎−𝜽)𝒅𝜽±∞区间积分常规卷积𝟐𝝅𝝎−𝟐𝝅

−𝝅𝝅0.50.25𝑿

𝒆𝒋𝝎40信号与系统课程组©2015𝝅𝟐𝟐𝟐𝝅−𝟐𝝅𝝎𝝅−𝝅

−

𝝅𝑿𝟏𝒆𝒋𝝎𝟑𝝅𝟒−

𝟑𝝅𝟒𝟐𝝅−𝟐𝝅𝝎⋯⋯−𝝅𝑿𝟐𝒆𝒋𝝎𝝅𝟐𝝅𝝎−𝟐𝝅

−𝝅𝝅0.50.25𝑿

𝒆𝒋𝝎41𝝅𝟒𝝅𝟐−

𝝅

−

𝝅𝟐

𝟒𝟑𝝅𝟒−

𝟑𝝅𝟒𝝅−𝝅𝝎𝜽𝑿

𝒆𝒋𝝎=𝟏𝟐𝝅∞𝑿𝟐−∞𝒆𝒋𝜽𝑿𝟏𝒆𝒋

(𝝎−𝜽)𝒅𝜽𝑿

𝒆𝒋𝝎𝟑𝝅𝟒−

𝟑𝝅

−

𝝅𝟒

𝟒𝝅𝟒5.2 DTFT

时域相乘性质421.离散时间非周期信号的傅里叶变换典型D-T非周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的卷积和相乘性质对偶性线性差分方程描述D-T

LTI系统信号与系统课程组©20156.1

对偶性情况CTFT连续时间傅里叶变换DTFS离散时间傅里叶级数分析公式∞𝑿(𝒋𝝎)

=𝒙(𝒕)𝒆−𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕−∞𝟏𝒂𝒌

=

𝑵𝒏=

𝑵𝒙

𝒏

𝒆−𝒋𝒌𝝎𝟏𝒏综合公式𝒙(𝒕)

=𝟏𝟐𝝅−∞∞𝑿(𝒋𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒕

𝒅𝝎𝒙[𝒏]

=𝑘=

𝑵𝒂𝒌𝒆𝒋𝒌𝝎𝟏𝒏对偶性𝒙

𝒕 ↔

𝑿

𝒋𝝎𝑿

𝒕 ↔

𝟐𝝅𝒙

−𝝎𝒙[𝒏]

↔

𝒂𝒌𝒏𝑵𝒂 ↔

𝟏

𝒙

−𝒌利用分析/综合公式的数学对偶性，通过变量代换即可获得时频域波形的对偶性6.1

对偶性情况DTFT离散时间傅里叶变换CTFS连续时间傅里叶级数分析公式∞𝑿(𝒆𝒋𝝎)

=𝒏=−∞𝒙[𝒏]𝒆−𝒋𝝎𝒏𝑻𝟏𝑭𝒌

=

𝑻𝒙

𝒕

𝒆−𝒋𝒌𝝎𝟏𝒕𝒅𝒕综合公式𝟐𝝅𝟐𝝅𝟏𝒙[𝒏]

=𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒏𝒅𝝎∞𝒙

𝒕

=𝒌=−∞𝑭𝒌𝒆𝒋𝒌𝝎𝟏𝒕两者各自的分析/综合公式间没有数学对偶性，时频域波形间不再有对偶性对偶性但是：DTFT

和CTFS

之间存在某种对偶性456.2 DTFT

与CTFS

间的对偶性∞𝑿(𝒆𝒋𝝎)

=

𝒙[𝒏]𝒆−𝒋𝝎𝒏𝒏=−∞是频域内以

𝟐𝝅

为周期的连续函数𝒌𝑭

=𝟐𝝅𝟐𝝅𝑿

𝒆𝒋𝒕𝒆−𝒋𝒌𝝎𝟏𝒕𝒅𝒕𝑿

𝒆𝒋𝒕𝒌=−∞=𝟏构造一个时域内以

𝟐𝝅

为周期的连续函数

𝑿(𝒆𝒋𝒕)其傅里叶级数(𝑻=𝟐𝝅,𝝎𝟏

=𝟏)：∞𝑭𝒌𝒆𝒋𝒌𝒕𝒙[𝒏]

=𝟐𝝅𝟏𝟐𝝅𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒏𝒅𝝎由DTFT可知：𝑿(𝒆𝒋𝝎)的时域波形为：𝑭𝒌

=

𝒙[−𝒌]466.2 DTFT

与CTFS

间的对偶性上述的分析表明：𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿(𝒆𝒋𝝎)若

𝒙

𝒏则𝑿

𝒆𝒋𝒕𝐂𝐓𝐅𝐒𝒙[−𝒌]利用这一对偶关系，可以将DTFT

的若干特性对偶到CFS

中去；或者反之。信号与系统课程组©201547小结：对偶性CTFT𝒙

𝒕

↔

𝑿

𝒋𝝎𝑿

𝒋𝒕

↔

𝟐𝝅𝒙

−𝝎连续非周期连续非周期CTFS𝒙

𝒕

↔

𝑭𝒌连续周期离散非周期DTFT𝒙[𝒏]

↔

𝑿(𝒆𝒋𝝎)离散非周期连续周期DTFS𝒙[𝒏]

↔

𝒂𝒌𝒂𝒏

↔

𝟏

𝒙

−𝒌𝑵离散周期离散周期𝑿

𝒋𝝎𝑻→∞=

𝐥𝐢𝐦

𝑭𝒌𝑻𝒙

𝒏𝑿

𝒆𝒋𝒕𝐃𝐓𝐅𝐓𝑿(𝒆𝒋𝝎)𝐂𝐓𝐅𝐒𝒙[−𝒌]𝑿

𝒆𝒋𝝎𝑵→∞=

𝐥𝐢𝐦

𝒂𝒌𝑵小结：对偶性信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：时域 频域周期性离散性非周期新连续性连续性周期性离散性非周期性48信号与系统课程组©2015离散时间非周期信号的傅里叶变换典型D-T非周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的卷积和相乘性质对偶性线性差分方程描述D-T

LTI系统

（

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LTI

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