电工电子-电路暂态分析

第3章 电路的暂态分析Page

110--125换路定则与电压和电流初始值的确定RC电路的响应一阶线性电路暂态分析的三要素法微分电路和积分电路教学要求：理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义。掌握换路定则及初始值的求法。掌握一阶RC线性电路分析的三要素法。稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。第3章电路的暂态分析电路暂态分析的内容暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。影响暂态过程快慢的电路的时间常数。研究暂态过程的实际意义利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。直流电路、交流电路都存在暂态过程,

讲课的重点是直流电路的暂态过程。激励是电路从电源输入的信号在动态电路中，激励可以是独立电源，也可以是储能元件的初始值，或者是两者皆有。响应是电路在外部激励的作用下，或者在储能的作用下产生的电压或电流。如果电路的响应纯由储能元件的初始值引起，那么这样的响应，称为零输入响应。在储能元件初始储能为零的条件下，仅由外加激励引起的响应，称为零状态响应当零输入响应和零状态响应二者同时作用时所产生的响应成为（完）全响应。研究过渡过程的方法有很多，主要介绍经典的:1、时域分析法”（列微分方程）2、三要素法。暂态电路1.理解电路的换路、暂态、稳态、响应的概念，以及时间常数的物理意义。

2.掌握换路定则及电量初始值f（0+）、稳态值f（∞）、时间常数的求法。

3.掌握一阶RC线性电路的相应的三要素分析法并画出函数曲线。暂态难点：换路定则及根据它确定电路中其它电量的初始值（画t=0+时刻的电路）电感：

L

(0

)

L

(0

)电容：

uC

(0

)

uC

(0

)换路瞬间，uC、

iL

不能跃变,

但其它电量均可以跃变。项目-RC电路（4-rc）电阻电压（4-3）3.1

换路定则与电压和电流初始值的确定一.电路中产生暂态过程的原因图(a)：合S前：

i

0

uR2

uR2

uR3

0合S后：电流i

随电压u

比例变化。所以电阻电路不存在暂态过程(R耗能元件)。例：tI(a)S+-UR2

R3u2+-

O合S后：uC

由零逐渐增加到U所以电容电路存在暂态过程C-CiC(b)+U+-

uSR

0iC

0

,

uC图(b)合S前:暂态稳态otuCU2L12L∵

L储能：W

Li不能突变C

uLi

不能突变212CCCu∵C

储能：W若uc

发生突变，

dt

duCC一般电路不可能！由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变则i产生暂态过程的必要条件：电路中含有储能元件(内因)电路发生换路(外因)换路:电路状态的改变。如：电路接通、切断、短路、电压改变或参数改变产生暂态过程的原因：设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)t=0-—表示换路前的终了瞬间t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）电感电路：L

(0

)

L

(0

)电容电路：uC

(0

)

uC

(0

)注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC、iL初始值。二.换路定则三.初始值的确定初始值：电路中各

u、i

在t=0+时的数值。求解要点：(1)

uC(0+)、iL

(0+)的求法。先由t

=0-的电路求出

uC

(0–)、iL

(0–)；根据换路定律求出

uC(0+)、iL

(0+)。(2)其它电量初始值的求法。由t

=0+的等效电路求其它电量的初始值；在t

=0+时的电压方程中

uC

=uC(0+)、t=0+时的电流方程中iL

=iL

(0+)。换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。换路前,若uC(0-)0,换路瞬间(t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);换路前,若iL(0-)0

,在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。此时，t=0+电路就是一直流电路，可按要求求出所需要的电量。注意四、过渡过程稳态解的求法：画出电路达到新稳态时的等效电路，此时，电容视为开路，电感视为短路；计算稳态值f

()解：(1)由换路前电路求

uC

(0

),

iL

(0

)由已知条件知uC

(0

)

0,

iL

(0

)

0根据换路定则得：uC

(0

)

uC

(0

)

0L

(0

)

L

(0

)

0已知：换路前电路处稳态，C、L

均未储能。试求：电路中各电压和电流的初始值。例1．暂态过程初始值的确定S(a)CR2R1t=0+U-LRC

1

(0

)

(0

)

U(0

)

0)C

(u2

(0

)

0uL

(0

)

u1

(0

)

U(uL

(0

)

0)C

Li

、u

产生突变SCUR2R1t=0+-LL

+i

(0

)C

+C例1:

暂态过程初始值的确定i

(0 )

u

(0

)

u

(0

)i1(0+

)R2R1+++

+

2

+__u1(0+)

_

uL(0+)+U-(a)

电路

(b)

t

=

0+等效电路(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值uC

(0

)

0,

换路瞬间，电容元件可视为短路。L

(0

)

0,

换路瞬间，电感元件可视为开路。例2：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。t

=0

-等效电路解：(1)由t

=0-电路求uC(0–)、iL

(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t

=0-电路可求得：4

44

42

4

4

1

A4

UR1

R331R

RR1

UiL

(0

)

R

RR

1

3

+_R+2

iU8V1iC+1

uCuL4R2

i

R34LC2+_R

RR2R1U8Vt

=0++i4iC1

4

_

4

_uCu_

L

_

LiLR34解：(1)

iL

(0

)

1AuC

(0

)

R3iL

(0

)

41

4

V由换路定则：iL

(0

)

iL

(0

)

1AuC

(0

)

uC

(0

)

4

V+R1++2

iU_

8V1icu4

_cu_

LL4R2

i

R34LCt

=0

-等效电路2+_例2：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。R

RR2R1U8Vt

=0++i4icu1

4

_cu_

LiLCR34L例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(2)由t=0+电路求iC(0+)、uL

(0+)uc

(0+)由图可列出U

Ri(0

)

R2iC

(0

)

uC

(0

)i(0

)

iC

(0

)

iL

(0

)8

2i(0

)

4iC

(0

)

4i(0

)

iC

(0

)

1带入数据iL

(0+)C2+_R2R1U8V++i14t=0iC4

u_Cu_

LiLR34Lt

=0+时等效电路1A2+_R

RR2U8V+4R1

4V_iC

iLR34i例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。t

=0+时等效电路4V1A2+_RR21U8VR+4ic_iLR34i3C

解：解之得

i

(0 )

1

A并可求出uL

(0

)

R2

iC

(0

)

uC

(0

)

R3

iL

(0

)V13

4

1

4

4

1

132+_RR2R1U8Vt

=0++i4iCu1

4

_Cu_

LiLR34计算结果：电量uC

/

ViL

/

AiC

/

AuL

/

Vt

04100t

041131

13LC换路瞬间，u

、iL不能跃变，但iC、u

可以跃变。2+_RR1U8V++i1R24t

=0iC4

u_Cu_

LiLR34结论换路瞬间，uC、

iL

不能跃变,

但其它电量均可以跃变。换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。换路前,若uC(0-)0,换路瞬间(t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);换路前,若iL(0-)0

,在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。例：开关S

在t=0

瞬间闭合，则i

(0

)为( )。S

i

FS+U6

V—C0A3.2

RC电路的响应2.

三要素法

初始值求

稳态值时间常数（三要素）且由一阶微仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,分方程描述，称为一阶线性电路。一阶电路一阶电路暂态过程的求解方法1.

经典法:

根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。RC响应（充放）4-4）代入上式得dtRC

duCC

u

0

CCdtduCRu

RC

换路前电路已处稳态

u

(0

)

U一阶线性常系数齐次微分方程(1)列KVL方程uR

uC

0t

=0时开关S

1

,电容C

经电阻R

放电1.电容电压uC

的变化规律(t

0)零输入响应:无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。实质：RC电路的放电过程一、RC电路的零输入响应uC

(0

)

U-SR+U

21CiuC图示电路t

0R+

u

–cC1dt(2)

解方程：RC

duC特征方程

RCP

1

0

P

C

u

0RCRC

tuC

AetuC

U

e齐次微分方程的通解：由初始值确定积分常数A电容电压uC从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC

决定。RC

uC

(0

)

e

t

0

t根据换路定则，t

(0

)时，uC

(0

)

U

,

可得A

U(3)

电容电压uC的变化规律通解:

u

Ae

pt电阻电压：RC

tuR

iC

R

U

eRCRUiC

t

C

Cedtdu放电电流RC

t

uC

U

e电容电压CuCiRu2.

电流及电阻电压的变化规律3.

uC

、iC、

变化曲线tO4.

时间常数

RC令:单位:S(1)量纲Ω

A

s

sVC当t

时u0

Ue1

36.8

0

URC

t

uC

(t

)

U

e时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢(2)物理意义0

时间常数

等于电压uC衰减到初始值U0

的36.8

0所需的时间。23

越大，曲线变化越慢，uC

达到稳态所需要的时间越长。时间常数

的物理意义1τ

RCt

t

1

2

3t0.368U0uC

Ue

RC

UeucU当t

=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。(3)暂态时间理论上认为

t

、uC

0电路达稳态工程上认为t

(3

~

5)

、uC

0电容放电基本结束。

te

随时间而衰减t23456

te

e1e2e3e4e5e6uC0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U二、RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其uC

(0

-)

=0分析：在t

=0时，合上开关s，电压u表达式

Uu

0t

0t

0UtuO

阶跃电压sRU+_Cit

0uCdtRC

duCC

u

U非齐次微分方程uR

uC

U方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解即

uC

(t)

uC

uC一阶线性常系数1.uC的变化规律(1)列KVL方程(2)解方程求特解u'C

：dtRC

duCC

u

UuC

(0

-)

=

0sR+U_Cit

0ucu'C

(t)

uC

()

U求对应齐次微分方程的通解

uC

tdt通解即：RC

duCC

u

0

的解C微分方程的通解为求特解-

u'C

t

RC其解：u

Ae

pt

AeuC

uC

uC

U

Ae

（令

RC）确定积分常数A根据换路定则在

t=0+时，uC

(0

)

0则A

U(t

0)

t

t

uC

U

(1

e

RC

)

U

(1

e

)RC(3)电容电压uC

的变化规律

t

uC

U

Ue暂态分量稳态分量稳定状态uCuCCu仅存在于暂态过程中+U电路达到63.2%U时的电压-36.8%U-UtuCo3.变化曲线uC

、iCiCCuti

uu

(

)

U

(1

e1

)

63.2%UC

表示电容电压

uC

从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。RC

)C

t

u

U

(1

e2.电流iC的变化规律t

0dt

Rdu

U

C

C

te

iC4.

时间常数

的物理意义当t

=

时RC

CUUU0.632U12

31

2

3结论：

越大，曲线变化越慢，uC

达到稳态时间越长。当

t

=

5

时,

暂态基本结束,

uC

达到稳态值。t023456uC00.632U0.865U0.950U0.982U0.993U0.998UtuCO三、RC电路的全响应全响应:电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。U0=uc（0+），U=uc（∞）1.

uC的变化规律根据叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应(t

0)t

tRC

)

uC

U0e

RC

U

(1

euC

(0

-)=

U0RU_Cist

0+uCRC

)uC

U0e

RC

U

(1

e(t

0)(t

0)

U

(U0

U

)eRC

t

稳态分量

暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应结论1：

全响应=

零输入响应+

零状态响应零输入响应

零状态响应

t

t

稳态值初始值uC

()

U稳态解初始值uC

(0

)

uC

(0

)

U0

tuC

U

(U0

U

)e

3.3

一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,

且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。1.据经典法推导结果全响应uC

(0

-)

=

UosR+_CiUt

0uctRCuC

uC

()

[uC

(0

)

uC

()]

e式中,（三要素）f

(t

)：代表一阶电路中任一电压、电流函数f

(0

)--初始值f

()--稳态值

--时间常数

tf

(t

)

f

()

[

f

(0

)

f

()]

e2.在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得

f

(0

)

、f

()和

的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。f

(0

)t3.电路响应的变化曲线f

(t)Of

()(c)

f

()

0tf

(t)f

(0

)Ot(a)

f

(0

)

0f

(t)Of

()(d)

f

()

0t(b)

f

(0

)

0f

(t)f

(0

)f

()O0.632

[

f

()

f

(0

)]

f

(0

)t4.

★三要素法求解暂态过程的要点求初始值、稳态值、时间常数；将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。f(t)终点f

()起点f

(0

)O10

5V5

5Cu

()

56

66Li

()

6

3

mA5.

响应中“三要素”的确定(1)

稳态值f

()的计算求换路后电路中的电压和电流，其中电容C

视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。CC+10V-S

5k例：t=05k+

u1

F

-iL3666mAt

=0

S1H1)由t=0-电路求uC

(0

)、iL

(0

)2)根据换路定则求出iL

(0

)

iL

(0

)uC

(0

)

uC(0

)3)

由t=0+时的等效电路，求所需其它各量的

u(0

)或

i(0

)在换路瞬间t

=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于U0;

若

uC

(0

0(1)若uC

(0

)电容元件用恒压源代替，(2)

若

iL

(0

)

I0

0

,

电感元件用恒流源代替，其值等于I0

,若iL

(0

)

0

,电感元件视为开路。注意：(2)初始值f

(0

)

的计算若不画t

=(0+)的等效电路，则在所列

t

=0+时的方程中应有

uC

=uC(0+)、iL

=iL

(0+)。(3)时间常数

的计算对于一阶RC电路

R0C注意：对于简单的一阶电路，R0=R

;对于较复杂的一阶电路，

R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻(

等效电阻）。R0U0+-CR0R0

(R1

//

R2

)

R3

R0CR0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，。R1U+-CR2R3t=0

SR1R2R3时间常数测试充电

10ms4-时间常数放电时间常数100ms解：用三要素法求解

tC

C

C

Cu

u

()

u

(0

)

u

()

e例1：电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压uc

和电流i2

、iC。(1)确定初始值uC

(0

)-由t=0

电路可求得3

6

10

54

V3C

u

(0

)

9

10由换路定则uC

(0

)

uC

(0

)

54

V应用举例t=0-等效电路9mA+uC

(0-)6kR9mA6k2Ft=0

SiCi23kuC+-CR

18

V

1036

36

3Cu

()

9

103

(3)由换路后电路求时间常数6

3

4

103

s

6

3

103

2

106

R0CCu

()t∞

电路9mA+-6kR3kt=0-等效电路u

(0

)(2)确定稳态值

uc

()由换路后电路求稳态值uc

()9mA+C

-6kRC

u

(0 )

54

V

4103

s三要素

uC

()

18

VdtiC

C

duC

2

106

36

(250)e250t

0.018e250t

A

uC

18

(54

18)e

410

18

36e250t

VuC

的变化曲线如图54VuC变化曲线tuC18Vt

O3

tC

C

C

Ci

i

()

i

(0

)

i

()e

用三要素法求

iCiC

()

018VmA250

t

6

12

e33

10u

(t

)CCi2

(t

)

i

(t

)

18e250t

mA2103C

i

(0

)

18

54

18

mA2kC

i

(0

)t

=0++-+-54V9mA6k2Ft=0

SiCu

+C-CR6kiC

(0

)+-

54

V3ki23k

9mAt=0+等效电路例2：电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t

≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2

。解：用三要素法求解求初始值uC

(0

)由t=0-时电路1

2

36uC

(0

)

uC

(0

)

uC

(0

)

3V+-t=0C6V1

2231S

u

+C-

5μFuC

(0

)t=0-等效电路1

2+-

3

3

V

6V3i(0

)+-5

3e1.710

t

V6106

t

0

3e

tC

Cu

(0

)

u

()U

eCC

u

(t

)

u

()

66

5

10

6

10

s02

32

3

R

C

求时间常数由右图电路可求得C求稳态值u

Cu

0+-t=0C6V12C231S

u

+-

5μFC225

f

3u

+C

-CdtduCi

(t

)

C

e1.7105

t

A32ui

(

t

)

Ci1

(t)

i2

iC

e1.7105

t

2.5e1.7105

t

1.5e1.7105

t

A关联)C

C(u

、i

2.5e1.7105

t

A+-t=0C6V12231S

u

+C-

5μF虚拟实验演示（4-1）3.4

微分电路和积分电路微分电路与积分电路是矩形脉冲激励下的RC电路。若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。—微分电路1.电路条件

RC

tp输出电压从电阻R端取出u1TtU0tpCu

(0_

)

0

VC1u2u+_+_iCRu+_2.

分析由KVL定律u1

uC

u2当R很小时

u

u

很小，2

Ru1

uCdtdu

u2

iC

R

RC

C

RC

du1dt由公式可知输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。3.

波形1ut1

tUOtpt2uOCu

(0

_)

0

VCR1u2u+_+_iC+

u_不同τ时的u2波形τ=0.05tpτ=10tp应用:用于波形变

τ=0.2tp换,

作为触发信号。T2T2uUtUT2T2u2TTttUu22TtUT/2

TUu1tptCuT2TCR1u2u_+

+_iC+

u

_电阻电压（4-3）电容电压时间常数增大，微分作用减弱二积分电路条件

RC

tp

;从电容器两端输出。2.

分析由图：

u1

uR

u2

uR

iRi

u11.

电路(

tp

)输出电压与输入电压近似成积分关系。u1TtU0tpudtidt

C

R

1C1RC

12

u

uuC

(0

_)

0

VCR1u2u+_+_iR+

u_3.波形Utt1

t22utt1

t2U2utt1

t2U应用:用作示波器的扫描锯齿波电压u1时间常数增大，积分作用加强暂态电路1.理解电路的换路、暂态、稳态、响应的概念，以及时间常数的物理意义。

2.掌握换路定则及电量初始值f（0+）、稳态值f（∞）、时间常数的求法。

3.掌握一阶RC线性电路的相应的三要素分析法并画出函数曲