(完整word版)初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、(0,b)（）.A b B b C bD 02、如果(a,b)1，则(ab,ab)=（ A a B b C 1 D ab330的素数的个数（）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果ab(modm),c是任意整数,则A acbc(modm) B ab C acbc(modm) D ab5、不定方程525x231y210（）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D有负数解6、整数5874192能( 整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果ba，ab，则( ).A ab B ab C ab D ab8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6、因( ),所以不定方程12x15y7没有.A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除C 7不整除（12，15） D 7不整[12，15]12、同余式x2438(mod593)（ ）.A 有解 B无解 C 无法确定 D 有无限个解二、填空题1、有理数a，0ab,(a,b)1，能写成循环小数的条件是（ ）.b2、同余式12x150(mod有解，而且解的个数( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数( ).4、设n是一正整数，Euler函数(n)表示所( )n，而且与n（）的正整数的个.5、设a,b整数，则(a,b)（ ）=ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整.7、x[x]（ ）.8、同余式111x75(mod有解而且解的个( ).9、在176与545之间( )是17的倍.10、如果ab0,则[a,b](a,b)=( ).、a,b的最小公倍数是它们公倍数( ).12、如果(a,b)1,那么(ab,ab)=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程107x37y25.（8分）4293、求563,其中563是素数.（8分） 4、解同余式111x75(mod321).（8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程6x11y18.7、判断同余式x2365(mod1847)是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n位数an倍数.（11分）

an1

a2

与其按逆字码排列得到的数aa1 2

a an1

的差必是9的2、证明当n是奇数时，有(2n.（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果a,b是两个整数,b0,则存在唯一的整数对q,r,使得abqr,其中0rb.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C 、C 3A 4A 5A 6B 7D 、A 9A 10D B 12B二、填空题1、有理数a，0ab,(a,b)1，能写成循环小数的条件是（1 ）.b2、同余式12x150(mod有解，而且解的个数( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数( 41 ).4、设n是一正整数，Euler函数(n)表示所有(不大于)n，而且与n（互素）的正整数的个数.5、设a,b整数，则(a,b)（[a,b] ）=ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.7、x[x]（）.8、同余式111x75(mod有解而且解的个(3 ).9、在176与545之间(12 )是17的倍.10、如果ab0,则[a,b](a,b)=( ab ).、ab(因数).12、如果(a,b)1,那么(ab,ab)=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17248713468所以[24871,3468]= 17 =507368424871346850736842、求解不定方程107x37y25.（8分）25，所以有解；考虑107x37y1xy26x925=225y2625x22537ty650107t429 3、求563,其中563是素数.（8 429解把563看成Jacobi 67(1)671.4291429429 429

2 2 67 6727271.6716767 2 2 67 27 2713(1)2711312711..27 2 2 13 13

, 429563 4、解同余式111x75(mod321).（8分）解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程37x25(mod107我们再解不定方程37x107y25(-8,3).于是定理4.1中的x 8.0因此同余式的3个解为x8(mod,321x8

(mod99(mod,3321x82 (mod206(mod.35、求[525,231]=?解：解：因为（525,231）=21525231所以[525,231]= 17 =57756、求解不定方程6x11y18.解：因为18，所以有解考虑6x11y1xy1。xy18，x3611ty187、判断同余式x2365(mod1847)是否有解？（8分）3651847解3651847如果其值是1因为365573,所以365 5 73 1847

.再51(mod4),731(mod4),所以 5 184721

184718471847

5

5 , 73184722211 1847 73 73 737317371141.11 11 7 7所以,

3651847于是所给的同余式有解.8、求11的平方剩余与平方非剩余.解因为111552又因为

121,22

4,32

9,42

5,523,115811四、证明题1、任意一个n位数an倍数.（11分）证明因为

an1

a2

与其按逆字码排列得到的数aa1 2

a an1

的差必是9的aan

a2

a 10n1n

n1

10n2a2

10a,1aa1 2

a=an1 n 1

10n1a2

10n2

n1

10a,nan

an1

a2

-aa1

a a=n1 na(10n11)n

n1

10(10n31)a10n3)a2

10n1).而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.2、证明当n是奇数时，有(2n1).（10分）证明因为21(mod3),所以2n1n3).于是,当n是奇数时,我们可以令n2k1.从而有2n

12k1,即32n.3.（11）证明（1）设ma2

b2,则显然r2m(ra)2

(rb)2.（2）如果nc2d2,那么mn(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2=(a2c

b2d

2abcd)(a2d

b2c

2abcd)=(acbd)2(adbc)2.4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)证明设a是一正整数,并将a写成10进位数的形式:10所以我们得到

a=an

10na

10n1 aa,0a,0010.aa0(mod5)所以整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果a,b是两个整数,b0,则存在唯一的整数对q,r,使得abqr,其中0rb.证明首先证明唯一性.设qrabqr,0rb.所以bqrbqr,即q