生医-高数xd9-6隐函数微分法

第九章第六节隐函数的求导方法一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数三、全微分法35-1本节

:方程（组）在什么条件下才能确定隐函数.在方程（组）能确定隐函数时,

研究其连续性、可微性及求导公式问题

.35-2一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式定理1.（隐函数存在定理Ⅰ）设函数 满足：②

F

(x0

,

y0

)

0;则方程单值连续函数以及恒等式d

x

Fy(x,

y)③

Fy(x0

,

y0

)

0的某邻域内可唯一确定一个①在点P(x0

,y0

)的某一邻域内具有连续的偏导数;满足d

x并有连续导数d

y

Fx(x,

y)

,

简记为

d

y

Fx

.Fy35-3两边对x求导d

y

Fxd

xFy在的某邻域内Fy

0则定理证明从略，仅就求导公式推导如下：Fxy35-4若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,则还有二阶导数:

FxFyxyd

2

y

2yF

2

Fxx

Fy

Fyx

FxyF

3Fxx

Fy

2

2Fxy

Fx

Fy

Fy

y

Fx

2

yF

2

Fx

y

y( )

(

x

)

y

Fydx

x

FyFx

F

d

ydx35-5例1.验证方程可确定一个单值可导隐函数d

y

d

2

ydx

x

0

,

dx2

x

0在点(0,0)某邻域并求解1:

令

F

(x,

y)

sin

y

ex

xy

1,

则①

F

exx②

F

(0,0③

Fy(0,

0)

1

0由定理1

可知,

在导的隐函数y

y,F

cos

y

x

连续,的某邻域内方程存在单值可且35-6dx

x

0d

yx

0Fy

Fx

ex

ycos

y

xx

0,

y

0x

0dx2d

2

y)dx

cos

y

x

d

(ex

y(

cos

y

x

)2

3xy

y

(

ex

y)(cos

y

x)

(ex

y)(sin

y

y

1)35-7y

x

0

3x

0dx2d

2

ysin

y

ex

xy

1

0,

y

y(x)两边对x

求导两边再对x

求导

sin

y

(

y)2

cos

y

y令

x

=

0

,

注意此时

y

0

,

y

1cos

y

x

(0,0)

ex

y解2：利用隐函数求导法35-8

z

Fx

,

z

FyFzFz

x

y的某邻域内具有连续偏导数,③

Fz(x0,

y0

,

z0

)

0.在点定一个单值连续函数以及①在点②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

0;则方程定理2.（隐函数存在定理Ⅱ）若函数F

(x,y,z)满足:某一邻域内可唯一确,

满足并有连续偏导数35-9F

(x,

y

,

f

(x

,

y

)

)

0两边对x求偏导x

zxz

z

F

xF

Fz

y同理可得

z

Fy定理证明从略,仅就求导公式推导如下:则xF

F

z

0Fzxy在的某邻域内Fz

035-10例2.

设

x2

y

2

z

2

4z

0,

（

z

）2，2求

z

.x2解1：

利用公式设则F

(x,

y,

z)

x2

y2

z2

4zFx

z

Fx

Fz

x两边对x求偏导得x

2

z

(

)2

2

z

xx3(2

z)2

x2(2

z)xxz

2 2

zFz

2z

4

0,35-11解法2

利用隐函数求偏导2x

2z

z

4

z

0,

x

x再对x求偏导得z

xx

2

z2

4

2

0x

2

z2(x)1

zx2对

y2

z2

4z

0两边关于x求偏导35-12F

x

Fz

z

x

z例3.

设 具有连续偏导数,已知解：利用公式.确定的隐函数，Fy

Fz

y

x

F1

y

F2z

F

z

2

x

F1

y

F2z

F

1

dz

z

dx

z

d

y

x

yzF1

1z

21

2)

y

z

2F

(

x

)

F

(F2

1(F1dx

F2d

y)zx

F1

y

F2F1

(

x

)

F2

(

y

)z

2

z

2故35-13二、由方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即G(x,

y,u,

v)

0v

v(x,

y)F

(x,

y,u,

v)

0

u

u(x,

y)由F、G

的偏导数组成的行列式(u,

v)J

(F

,G)

Fu

FvGu

Gv称为F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.x,y取定值，可确定u,v35-14②

F

(x0

,

y0

,u0

,

v0

)

0,

G(x0

,

y0

,u0

,

v0

)

0;定理3.

设函数①在点导数；满足:的某一邻域内具有连续偏③

J

(F

,G)

0PP

(u,v)则方程组

F

(x,

y,

u,

v)

0,

G

(x,

y,

u,

v)

0

在点(x0

,

y0

)的某一邻域内可唯一确定一组满足条件

u0

u(x0

,

y0

),v0

v(x0

,

y0

)的单值连续函数

u

u(x,

y),

v

v(x,

y),

且有偏导数公式

:35-15u

1

(F

,G)x

J

(

x,

v

)u

1

(F

,

G)

y

J

(

y,

v

)v

1

(F

,

G)定理证明略.仅推导偏导数公式见下页

y J

(

u

,

y

)x J

(

u,

x

)

v

1

(F

,

G)J

(F,G)(u,v)先介绍二元线性代数方程组解的公式35-16G(x,

y,u,

v)

0设方程组

F

(x,

y,

u,

v)

0

有隐函数组则

0,故得FvGu

Gv这是关于u

,

v

的线性方程组,

在点P

的某邻域内x

x系数行列式

J

Fu两边对

x

求导得

uvxxuxGx

Gu

xvx

uF

Fv

F

0v

G

035-17同样可得

uxx

u

1

(F

,

G)

y J

(

y

,

v

)

v

1

(F

,

G)

y J

(

u

,

y

)Fx

FvGx

GvFu

FvGu

Gv1

1

(F,G)J

(

x,

v

)FxGxFu

FvGu

Gv

v

1

FuGu

1

(F,G)J

(u,

x

)35-18例4.设

x

y

x

yx

u

y

v

0,

y

u

x

v

1,求u

,u

,v

,v

.分析：若令

F

x

u

y

v

,

G

y

u

x

v

1,

则并可用定理3中的计算公式求出

u

,

u

,

v

,

v

.x

y

x

y但由于计算公式较难记，一般情况下，可采用公式推导过程来解.(F,

G)

x

y

x2

y2

0.

((u,

v

)

y

xy

u

x

v

1)故由

x

u

y

v

0

,

y

u

x

v

1,

可确定隐函数u

u(x,

y),

v

v(x,

y),35-19解得y

u

x

v

u

y

yx

u

y

v

v

y

yx

u

y

v

0

,

y

u

x

v

1,x2

y2

u

yu

xv

y

v

xu

yv

y

x2

y2x2

u

x

u

yv

x

y2

v

xv

yux2

y2同理，在方程组两边对

y求偏导，并整理得

x

解:在方程组两边对x

求偏导，并整理得y

u

x

v

v

解得x

xx

u

y

v

ux

x35-20例5.设函数在点(u,v)的某1)证明函数组(x,

y)的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数组2)求对x,y

的偏导数.邻域内有连续的偏导数,且J

(x,y

)

0.

(

u,

v

)在与点(u,v)对应的点35-21则有

(F

,

G)

(

x,

y

)

J

0,

(

u,

v

)

(

u,

v

)由定理3可知结论1)成立.2)解:

1)

令

F

(x,

y,

u,

v)

x

x

(u,

v)

0G(x,

y,

u,

v)

y

y

(u,

v)

01

u

1

(F,

G)

10

x

v

1

y

,

同理，

yJ

v

xJ

vJ

(x,

v)

v

1

y

,

x

J

u

u

1

x

,

y J

v

v

1

x

.

y

J

u35-22定理4.（隐函数存在定理Ⅳ）②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

0

,

G(x0

,

y0

,

z0

)

0;设函数①在点满足:的某一邻域内具有连续偏导数；③

(F

,

G)0确定两个满足

y0

y(x0

)

,

z0

z(x0

)

的单值可导函数y

y

(x),z

z

(x),

使得0

0(

y,

z

)MG

(

x,

y,

z

)

0则方程组

F

(

x,

y

,

z

)

0在点

x

的某一邻域内可唯一35-23dxdx

(F

,

G)

(

y,

z

)(F

,

G)(

y,

z

)且有偏导数公式:

(F

,

G)

(F

,

G)d

y

(

x,

z

)

,

d

z

(

y,

x

)F

(x,

y(x),

z(x))

0,

G(x,

y(x),

z(x))

0.（证明从略）35-24z

x2

y2

,x2

2

y2

3z2

15,例6.设,dy

dzdx

dx．求解法1：记时，则当

J

(F,G)

4

y

6

4

y(1(

y,

z)(F

,

G)d

y

(x,

z)dxJ(F

,G)dx2x4

y(1

3z

x(1

6z)

,2

y(1

3z)dz

(

y,

x)J2

y

2x2x

4

y4

y(1

3z).35-251

3zx两边关于x

求导，有dy

dzdx

dx

dz

2x

2

y

dy

,

dx

dx2x

4

y

6z

0,dy

x(1

6z)

,dx

2

y(1

3z).dx

1

3zdz

x则当y(1

3z)

0

时，解得解法2：分别在35-26三、全微分法全微分法就是利用全微分形式不变性，在多元复合函数或隐函数（组）方程的两边，同时求全微分，再根据全微分与（偏）导数之间的关系，求出多元复合函数以及隐函数（组）的（偏）导数或（全）微分.特别是当变量关系图比较复杂，甚至画不出时，利用全微分法可以非常方便地求出多元复合函数以及隐函数（组）的（偏）导数或（全）微分.35-27例7.利用全微分法又解例3.解：

在方程 两边求微分:1F

z2z

d

x

x

d

z

()z

2xF1

yF2

dz

F1dx

F2

d

yzd

(

)xz2z

F

d

(

y

)

01F

所以(F1dx

F2d

y)zx

F1

y

F2dz

z2zd

y

y

d

z()2

F

035-28内容小结隐函数(组)存在定理隐函数(组)求导方法方法1.代公式.方法2.利用复合函数求导法则直接计算;方法3.利用全微分法;35-29综合练习1．设有三元方程xy

z

ln

y

exz

1，根据隐函数存在定理，存在点0,1,1

的一个邻域，在此邻域内该方程（

）．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z

z(x,y)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y

y(x,z)和z

z(x,y)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x

x(y,z)和z

z(x,y)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x

x(y,z)和y

y(x,z)解：令F

(x,y,z)

xy

z

ln

y

exz

1，则xF

y

e

xz

z，yF

x

zy

，

zF

ln

y

exz

x，故

Fx¢(0,1,1)

=

2

?

0

，

Fy¢(0,1,1)

=

-

1

?

0

，

Fz(0,1,1)

0

．由此可确定相应的隐函数x

x(y,z)和y

y(x,z)，故应选（D）．35-302.设和是由方程所确定的函数,求解法1

分别在各方程两端对

x

求导,

得(1

y)消去

y

可得y(F

xfzd

z

(

f

Fy

xf

Fzd

x35-31解法2

微分法.z

x

f

(x

y),

F

(x,

y,

z)

0对各方程两边分别求微分:化简得消去d

y

可得d

z

(

f

xf

)Fy

xf

Fxd

x

x

f

d

y

F2

dyFy

xf

Fzy(F

xfz35-323．设函数u

f

(x,

y,

z)

有连续偏导数，且

z

z(x,

y)由方程

xex

yey

zez

所确定，求

du

．解法

1：在

xex

yey

zez

两边求微分得exdx

xexdx

yeydy

eydy

zezdz

ezdz

，故dz

1

x

ex

zdx

1

y

ey

zdy

，所以1

z

1

zdu

f

dx

f

dy

f

dzx

y

z

(

f

f

1

x

ex

z

)

dx

(

f

f

1

y

ey

z

)

dyxzyz1

z1

z．35-33解法2：设F(x,y,z)

xex

yey

zez

，则xyzF

ex

(1

x)

F

ey

(1

y)

F

ez

(1

z)，

，

，Fzx

1

zFzy

1

zz

F

1

x

z

F

1

y从而

x

exz

，

y

ey

z

，又x

zu

f

f

zx

x

，y

zu

f