量子力学讲授纲要4综合复习课件

综合复习原理：量子态、物理量、时间演化（第一、二、八章）

方法：近似方法、二次量子化方法、散射理论（第四、五、六章）

专题:时空对称、角动量（第三、七章）

相对论量子力学

（第九章）综合复习原理：量子态、物理量、时间演化1第一章希尔伯特空间要点:态矢、算符、幺正变换○希尔伯特空间为量子力学的数学表述提供了方法○态矢量--希尔伯特空间中的矢量函数○力学量算符--希尔伯特空间中的算符○描述物理系统中可能状态的所有态矢量构成完备集

整个量子力学就是建立在这一数学理论基础上的第一部分原理：量子态、物理量、时间演化第一章希尔伯特空间要点:态矢、算符、幺正变换○希尔伯2从量子力学的数学表述看，希尔伯特空间具有以下重要性质：1）无限维的复矢量空间；2）存在完备的基矢组；3）可以定义标量积(内积)的空间。

1．1希尔伯特（H）空间

三种运算：加法、数乘、内积，且存在完备集

从量子力学的数学表述看，希尔伯特空间具有1．1希尔伯特（31．2算符线性算符

反线性算符

厄密算符

(1)本征值是实数。(2)对应于不同本征值的本征矢量相互正交。幺正算符

1．2算符线性算符反线性算符厄密算符(1)本征值是实4

线性厄密算符，非幺正算符，没有逆算符等幂性

完备性关系（条件）在计算中非常有用

投影算符算符本征矢和本征值①厄密算符的本征值为实数。②幺正算符本征值的绝对值为1。③幺正的相似变换不改变算符的本征值。完备算符集完全确定本征矢所需要的一组最少数目的算符算符函数线性厄密算符，非幺正算符，没有逆算符等幂性完备性关系（51．3矩阵表示算符的矩阵表示矢量的矩阵表示

本征值问题

有非零解的条件是其系数行列式为零

在自身表象中对角元为本征值，非对角元为零。1．3矩阵表示算符的矩阵表示矢量的矩阵表示本征值问题61．4幺正变换A表象基矢

B表象基矢

A表象到B表象的变换矩阵表象的变换完全通过幺正算符U完成

幺正变换联系起来的矢量和算符是完全等价的：

幺正变换不改变算符的本征值、平均值、矩阵元、厄密性、幺正性、代数关系以及两矢量内积。1．4幺正变换A表象基矢B表象基矢A表象到B表象的变7第二章基本原理要点:叠加原理量子条件三种绘景密度算符

2．1态叠加原理基本假设之一(公理一)：物理体系的微观状态由希尔伯特空间中的矢量表征，称为态矢量，记为。力学量与希尔伯特空间中的一个具有完备本征矢量集的厄密算符相对应。对应于态的力学量A的预期结果是。第二章基本原理要点:叠加原理量子条件三种绘景密度算82．2量子条件基本假设之二（公理二）：设为坐标算符，为动量算符，为自由度，这些算符满足如下的对易关系式：

以上的对易关系就是正则量子化条件。海森堡测不准关系

几种常见的算符：动量算符、角动量算符与自旋算符（注意：讨论的出发点是对易关系）2．2量子条件基本假设之二（公理二）：设为坐标92．3运动方程及其绘景给定一种态矢和算符与时间相关的方式，就给出一种绘景。

1、薛定谔S-绘景基本假设之三（公理三）：微观体系的状态随时间演化的规律服从薛定谔方程薛定谔绘景是把体系物理性质随时间变化的原因归结为态矢量随时间的变化，而力学量算符则与时间无关，满足薛定谔方程。2．3运动方程及其绘景给定一种态矢和算符与时间相关的方式10时间演化算符

H不显含时间tH显含时间t时间演化算符的性质：平均值随时间的变化A为守恒量：时间演化算符H不显含时间tH显含时间t时间演化算符的性112、海森堡H--绘景海森堡绘景中态矢量不随时间改变。

力学量算符随时间而变化：海森堡运动方程H不显含时间时，两种绘景中的哈密顿量相等。

2、海森堡H--绘景海森堡绘景中态矢量不随时间改变。力学量123、相互作用I—绘景态矢量随时间的变化规律力学量算符随时间的变化规律

态矢量和算符均随时间变化：态矢量满足的运动方程与薛定谔绘景中的薛定谔方程形式相同，只是用代替H，而算符满足的方程与海森堡绘景中的海森堡方程形式相同，只是用取代H，兼有薛定谔和海森堡两种绘景的优点，所以实际计算中往往很方便。

3、相互作用I—绘景态矢量随时间的变化规律力学量算符随时间的13戴逊(Dyson)微扰理论可以用迭代法逐次求解：

由于被积函数依赖于时间次序和积分上限的不同，上式计算极为困难，利用Dyson的编时方法就可以简化上式的计算：戴逊(Dyson)微扰理论可以用迭代法逐次求解：由于被积函142．4混合系综与密度算符混合系综

纯系综——所有的量子态是处于同一量子态；混合系综——纯系综按特定比例混合的集合，它由

密度算符描述。的。

密度算符

刘维方程-密度算符满足的方程

2．4混合系综与密度算符混合系综纯系综15第八章路径积分要点:基本思想传播函数和矩阵元的路径积分表示

路径积分的基本思想：在量子力学中用波函数描述粒子的状态，粒子没有确定的轨道，也可以这么说，粒子的轨道有无限多，每一条轨道都有一定的几率存在。8．1传播函数的路径积分表示传播函数

H不显含时间

第八章路径积分要点:基本思想传播函数和矩阵元的路径积分16位形空间的路径积分单粒子在保守力场中的一维运动，设泛函积分

为作用量

相空间的路径积分

位形空间的路径积分单粒子在保守力场中的一维运动，设泛函积分178．2路径积分量子化

费曼把传播函数的路径积分作为量子力学的一个基本假定，以代替正则量子化(量子条件与正则运动方程)。在这—假定的基础上建立量子力学的方案称为路径积分量子化。在推导中，没有用到量子化条件，量子化是通过在相位中引入来实现的，说明路径积分量子化与正则量子化是等价的。

8．2路径积分量子化费曼把传播函188．3矩阵元的路径积分表示矩阵元的路径积分表示

泛函积分表示(生成泛函)

算符的编时乘积在基态中的期望值

生成泛函

8．3矩阵元的路径积分表示矩阵元的路径积分表示泛函积分19第四章近似方法要点:绝热近似法（贝瑞相因子）格林函数法

第二部分方法：近似方法、二次量子化方法、散射理论

4．1绝热近似法H(t)随时间变化极其缓慢，以至每一个瞬间系统都处于准定态则在绝热近似下

第四章近似方法要点:绝热近似法（贝瑞相因子）格林函数20贝瑞相因子：Berry在1984年重新研究了量子体系在绝热近似下的演化过程。令人出乎意料地发现了Berry相因子，导致了对量子力学相位物理概念的新认识。假定体系的哈密顿量H通过某些参数R而依赖于时t，即能量本征方程

则有式中除因子

(动力学因子)外，还有因子贝瑞相因子：Berry在1984年重新研究了量子体系在绝热近21如果参数R＝R(t)在R-参数空间t=0和t=T时刻之间形成闭合曲线C，即R(0)=R(T)，则H[R(0)]=H[R(T)],系统作循环演化。贝瑞发现

即是不可积相因子，它沿闭合曲线C延拓时，不是R的单值函数。注意：Berry绝热相位是对循回过程定义的对Berry相位的正确解释必须引用拓扑学的概念如果参数R＝R(t)在R-参数空间t=0和t=T时刻之间形成224．2定态问题的格林函数方法定义，性质，计算，求对应于定态问题的格林函数为非齐次方程的解：其中z是复数，G(z)和满足相同的边界条件。定态格林函数定义

在x表象中

G(z)的奇异性出现在推迟（超前）格林函数

4．2定态问题的格林函数方法定义，性质，计算，求对应于定23G(z)的性质

性质Ⅰ：由G(z)在实轴上的单极点位置可以得到分立的能量本征值，相应的留数包含着本征态的信息。性质Ⅱ：G(z)在实轴上的支切给出了体系的连续谱，相应的支切两端的不连续性，描写了态密度。格林函数的微扰展开--戴逊微扰法

G(z)的性质性质Ⅰ：由G(z)在实轴上的单极点位置可以得24第五章二次量子化方法要点:占据数表象*相干态二次量子化方法

5．1谐振子的占据数表象

第五章二次量子化方法要点:占据数表象*相干态二次量子25相干态

相干态的定义

定义一：相干态是一维谐振子基态经空间平移后的态。为相干态定义二：相干态是谐振子消灭算符的本征态。相干态的表式

相干态相干态的定义定义一：相干态是一维谐振子基态经空间平26相干态的性质

(1)相干态不具有正交性，但是归一的。(2)相干态具有完备性，构成完备集。不正交的完备集称为超完备集(3)算符在相干态中的平均值。

(4)相干态中含有N的本征态的概率。典型的泊松分布

相干态是最小不确定态

相干态的性质(1)相干态不具有正交性，但是归一的。(2)275．2玻色子系的二次量子化薛定谔绘景的坐标表象→占据数表象占据数表象的基矢及其完备性

产生和消灭算符5．2玻色子系的二次量子化薛定谔绘景的坐标表象→占据数表象28场量算符

为产生算符是消灭算符

各类算符的表达式单体型算符两体型算符总结我们的方法

单粒子问题

多粒子问题

→单粒子波函数方程波函数→算符算符对易关系波函数方程→算符方程→→→场量算符为产生算符是消灭算符各类算符的表达式单体型算符29第六章散射理论要点:势散射理论形式散射理论

6．1散射问题散射问题归结为：解薛定谔方程的渐近形式，

得出散射振幅和微分散射截面。散射波

第六章散射理论要点:势散射理论形式散射理论6．130势散射问题

全同粒子散射波函数应该是对称或反对称的

对调入射粒子和靶的地位自旋为零的粒子自旋为s的情形

势散射问题全同粒子散射波函数应该是对称或反对称的对调入射316．2势散射的格林函数解法方程边界条件

求格林函数解法

考虑到边界条件，应取玻恩近似（一级近似）6．2势散射的格林函数解法方程边界条件求格林函数解32形式解(李普曼-施温格方程)

出射态入射态形式解(李普曼-施温格方程)出射态入射态336．3李普曼-施温格方程考虑散射体系满足绝热近似：

时入射粒子和靶之间的相互作用尚未发生，以后相互作用缓慢地引入，时相互作用又逐渐消失。可用级数求解李普曼-施温格闭合形式解任务归结为求全格林函数

6．3李普曼-施温格方程考虑散射体系满足绝热近似：346．4形式理论(散射矩阵及其性质)散射矩阵的定义相当于S矩阵的性质幺正性、与的对易性、对称性S矩阵元

跃迁矩阵T

散射任务是求S，S与T由上式相联系，因而T在散射理论中非常重要。6．4形式理论(散射矩阵及其性质)散射矩阵的定义相当于35跃迁几率

由跃迁几率可以求得微分截面光学定理

细致平衡定理(时间反演不变性)H在时间反演下不变，由它构成的S矩阵在时间反演下也不变，有这一式子表达了散射过程的微观可逆性，这在统计力学的基础理论中具有重大的意义。

跃迁几率由跃迁几率可以求得微分截面光学定理细致平衡定理36第三章时空对称性要点:时空对称性与守恒律—平移转动反射反演

第三部分专题:时空对称、角动量3．1对称性保持体系物理性质不变的变换称之为对称性变换。对称性变换是不改变体系物理性质的变换，即所有测量结果都不会因变换而改变，即维格纳定理：保持态矢量绝对值不变的对称变换，只能是幺正变换或反幺正变换。对称性的数学表示第三章时空对称性要点:时空对称性与守恒律—平移转动反37对称性和守恒量

任意力学量A守恒的条件

守恒量A可以由对称变换U来决定两种可能性：幺正变换或反幺正变换。反幺正变换中无守恒量。幺正变换算符可以对应于一个可观察量即厄密算符。当幺正算符本身就是厄密算符时，U本身就是守恒量；当U仅是幺正的，但不是厄密的，则要找到一个与U有关的厄密算符作为守恒量。对称性和简并

定理：能级存在简并的充要条件是系统的对称变换算符(或守恒算符)不全对易。

对称性和守恒量任意力学量A守恒的条件守恒量A可以由对称383．2空间平移、空间转动和时间平移空间平移不变性与动量守恒空间均匀空间平移不变性导致动量守恒

空间转动不变性与角动量守恒各向同性

空间转动不变性导致角动量守恒

时间平移不变性与能量守恒

孤立系统

时间平移不变性导致能量守恒3．2空间平移、空间转动和时间平移空间平移不变性与动量守393．3空间反射宇称算符

坐标表象P的本征值

对应偶宇称态和奇宇称态

力学量算符按宇称分为偶算符或奇算符

物理量的分类①标量：在旋转变换下不变，而且在反射变换下数值和符号都不变的量。②赝标量：在旋转变换下不变，但是在反射变换下数值不变而符号改变的量。③极矢量(真矢量)：在反射变换下改变符号的矢量。④赝矢量(轴矢量)：在反射变换下不改变符号的矢量。3．3空间反射宇称算符坐标表象P的本征值对应偶宇称40选择定则偶宇称算符在宇称不同的两个宇称本征态之间的矩阵元为零，而奇宇称算符在宇称相同的两个宇称本征态之间的矩阵元为零。内禀宇称总的宇称P是内禀宇称和轨道宇称的乘积

空间反射不变性和宇称守恒

如果系统对于空间坐标系原点的反射具有不变性，即空间左右不可分，则系统具有空间反射对称性，其宇称守恒为在1956年以前，人们认为所有体系的哈密顿量对空间反射都将保持不变、或者说物理过程与其镜像过程是对称的，因而认为宇称守恒定律是一条普遍规律。1956年李政道和杨振宁发现在弱相互作用过程中宇称不守恒，使人们对微观世界的认识前进了一大步。选择定则偶宇称算符在宇称不同的两个宇称本征态之间的413．4时间反演时间反演态并不意味着时间倒流，只不过是运动方向的倒转时间反演算符是反幺正的：U是幺正算符，K是取复数共轭的算符如果系统具有时间反演不变性，则有因T是反幺正的，不对应于可观察的物理量，无守恒量。无自旋的时间反演算符

有自旋的时间反演算符

自旋为1/2时3．4时间反演时间反演态并不意味着时间倒流，只不过是运动42第七章角动量理论要点:转动矩阵的定义性质表示式

7．1角动量算符

7．2两个角动量的合成(C-G系数)第七章角动量理论要点:转动矩阵的定义性质表示式437．3转动矩阵转动矩阵的定义

用各种本征态的线性叠加

称为转动矩阵

计算相当困难7．3转动矩阵转动矩阵的定义用各种本征态的线性叠加称44转动矩阵性质

构成一个三维空间转动群SO(3)，它是连续、非阿贝尔群群条件：封闭性、存在单位元、存在逆元素、满足结合律转动群表示的约化和不可约表示是整个角动量空间中的矩阵，维度无限

为

维子空间中的矩阵群表示分解为各个表示，这一手续称为群的约化，即SO(3)群的约化。

不能进一步被约化，

是转动群的不可约表示。

转动矩阵性质构成一个三维空间转动群SO(3)，它是连续、非45表示的直积及其分解转动群的两个不可约表示的直积在合成角动量表象中被约化成为各个的直和。的幺正性、正交性、表示式表示的直积及其分解转动群的两个不可约表示的直积在合成角动量表46波函数的变换

1、标量波函数转动前后的波函数不变，这种波函数称为标量波函数，它描写无自旋的粒子。

2、矢量波函数它描写自旋S为整数的粒子，满足下列变换

3、旋量波函数如果自旋S为半奇整数，波函数对于转动变换是旋量波函数的变换1、标量波函数转动前后的波函数不变，这种波47考虑S=1/2

采用欧拉角作为参量（不考虑轨道部分）设自旋角动量在z轴上的投影为的两个态是

当增加时态矢量改变符号。这是半整数自旋角动量本征态的共同特点，称为旋量波函数。作变换

考虑S=1/2采用欧拉角作为参量（不考虑轨道部分）设自48第四部分

第九章相对论量子力学要点:狄拉克方程及其讨论电磁场中的狄拉克方程9．1K-G方程负能量困难、负几率困难

对于能量的本征态对于负能态

（平面波）

任何形式的相对论波动方程都有负能困难，但是负几率的问题，起源于K-G方程含有时间的二阶微商，不是所有的相对论方程都有的困难。第四部分

第九章相对论量子力学要点:狄拉克方程及其讨论499．2狄拉克方程狄拉克认为，要保持波函数的几率解释，时间微商须是一阶的，相应地空间微商也须是一阶的，以满足相对性的要求。这样克服了负几率困难,又满足相对性要求。形式上，有由对应关系可得

为了保证H是厄密的9．2狄拉克方程狄拉克认为，要保持波函数的几率解释，时间50狄拉克矩阵

狄拉克矩阵的最低维数为4（非唯一）取狄拉克表象

几率正定自旋角动量从狄拉克方程出发，轨道角动量不再守恒要保证总角动量守恒，必须引入内禀角动量（自旋）

电子的自旋性质能自然地从狄拉克方程得出，而不再是作为假设而引进的。狄拉克矩阵狄拉克矩阵的最低维数为4（非唯一）取狄拉克表象51平面波解

螺旋性算符负能态问题(空穴理论)

为了克服负能态的困难，狄拉克于1931年提出了电子海的假说。预言了反粒子的存在和正反粒子对的湮灭。1932年发现了正电子，随后也观察到正负电子对的产生和湮灭，从而证实了狄拉克的预言。

空穴理论对于1932年正电子的发现和物理学的发展起了重要的推动作用，但空穴理论只是一个过渡性的理论。

平面波解螺旋性算符负能态问题(空穴理论)为529．3狄拉克方程的对称性(协变性)（自然单位制），令-矩阵

在狄拉克表象中狄拉克方程的相伴方程洛仑兹变换及其协变性要求无穷小正常洛仑兹变换9．3狄拉克方程的对称性(协变性)（自然单位制），令-539．4电磁场中的狄拉克方程具体形式自旋磁矩

在低能极限下，得泡利方程

哈密顿量中的最后一项代表粒子的自旋磁矩与磁场的作用能，这表明粒子的自旋磁矩算符是磁矩值正好为玻尔磁子

9．4电磁场中的狄拉克方程具体形式自旋磁矩在低能极限54自旋轨道耦合及达文项在静电场情形，泡利哈密顿量不含自旋算符为了求出相对论修正，需要作更精确的处理，出发点为：可以得到修正的定态泡利方程第一、二项是非相对论的动能和势能，第三项是相对论修正，第四项是自旋轨道耦合，最后一项是达文项。

自旋轨道耦合及达文项在静电场情形，泡利哈密顿量不含自旋算符为55规范不变性狄拉克方程具有规范不变性

第一类规范变换：第二类规范变换：电荷共轭变换可以作一个变换，将粒子满足的狄拉克方程变为反粒子满足的狄拉克方程，或者相反，这等价于将狄拉克方程解中的正反粒子互换。电荷共轭变换将粒子与反粒子互换

狄拉克方程在电荷共轭变换下不是不变的。但注意，电磁势是由电荷电流所产生，电荷共轭时，源的电荷、电流都将改变符号，故对应的，因此，如果我们将粒子、电磁势以及产生电磁势的源考虑在内，整个系统将在电荷共轭下不变。规范不变性狄拉克方程具有规范不变性第一类规范变换：56综合复习原理：量子态、物理量、时间演化（第一、二、八章）

方法：近似方法、二次量子化方法、散射理论（第四、五、六章）

专题:时空对称、角动量（第三、七章）

相对论量子力学

（第九章）综合复习原理：量子态、物理量、时间演化57第一章希尔伯特空间要点:态矢、算符、幺正变换○希尔伯特空间为量子力学的数学表述提供了方法○态矢量--希尔伯特空间中的矢量函数○力学量算符--希尔伯特空间中的算符○描述物理系统中可能状态的所有态矢量构成完备集

整个量子力学就是建立在这一数学理论基础上的第一部分原理：量子态、物理量、时间演化第一章希尔伯特空间要点:态矢、算符、幺正变换○希尔伯58从量子力学的数学表述看，希尔伯特空间具有以下重要性质：1）无限维的复矢量空间；2）存在完备的基矢组；3）可以定义标量积(内积)的空间。

1．1希尔伯特（H）空间

三种运算：加法、数乘、内积，且存在完备集

从量子力学的数学表述看，希尔伯特空间具有1．1希尔伯特（591．2算符线性算符

反线性算符

厄密算符

(1)本征值是实数。(2)对应于不同本征值的本征矢量相互正交。幺正算符

1．2算符线性算符反线性算符厄密算符(1)本征值是实60

线性厄密算符，非幺正算符，没有逆算符等幂性

完备性关系（条件）在计算中非常有用

投影算符算符本征矢和本征值①厄密算符的本征值为实数。②幺正算符本征值的绝对值为1。③幺正的相似变换不改变算符的本征值。完备算符集完全确定本征矢所需要的一组最少数目的算符算符函数线性厄密算符，非幺正算符，没有逆算符等幂性完备性关系（611．3矩阵表示算符的矩阵表示矢量的矩阵表示

本征值问题

有非零解的条件是其系数行列式为零

在自身表象中对角元为本征值，非对角元为零。1．3矩阵表示算符的矩阵表示矢量的矩阵表示本征值问题621．4幺正变换A表象基矢

B表象基矢

A表象到B表象的变换矩阵表象的变换完全通过幺正算符U完成

幺正变换联系起来的矢量和算符是完全等价的：

幺正变换不改变算符的本征值、平均值、矩阵元、厄密性、幺正性、代数关系以及两矢量内积。1．4幺正变换A表象基矢B表象基矢A表象到B表象的变63第二章基本原理要点:叠加原理量子条件三种绘景密度算符

2．1态叠加原理基本假设之一(公理一)：物理体系的微观状态由希尔伯特空间中的矢量表征，称为态矢量，记为。力学量与希尔伯特空间中的一个具有完备本征矢量集的厄密算符相对应。对应于态的力学量A的预期结果是。第二章基本原理要点:叠加原理量子条件三种绘景密度算642．2量子条件基本假设之二（公理二）：设为坐标算符，为动量算符，为自由度，这些算符满足如下的对易关系式：

以上的对易关系就是正则量子化条件。海森堡测不准关系

几种常见的算符：动量算符、角动量算符与自旋算符（注意：讨论的出发点是对易关系）2．2量子条件基本假设之二（公理二）：设为坐标652．3运动方程及其绘景给定一种态矢和算符与时间相关的方式，就给出一种绘景。

1、薛定谔S-绘景基本假设之三（公理三）：微观体系的状态随时间演化的规律服从薛定谔方程薛定谔绘景是把体系物理性质随时间变化的原因归结为态矢量随时间的变化，而力学量算符则与时间无关，满足薛定谔方程。2．3运动方程及其绘景给定一种态矢和算符与时间相关的方式66时间演化算符

H不显含时间tH显含时间t时间演化算符的性质：平均值随时间的变化A为守恒量：时间演化算符H不显含时间tH显含时间t时间演化算符的性672、海森堡H--绘景海森堡绘景中态矢量不随时间改变。

力学量算符随时间而变化：海森堡运动方程H不显含时间时，两种绘景中的哈密顿量相等。

2、海森堡H--绘景海森堡绘景中态矢量不随时间改变。力学量683、相互作用I—绘景态矢量随时间的变化规律力学量算符随时间的变化规律

态矢量和算符均随时间变化：态矢量满足的运动方程与薛定谔绘景中的薛定谔方程形式相同，只是用代替H，而算符满足的方程与海森堡绘景中的海森堡方程形式相同，只是用取代H，兼有薛定谔和海森堡两种绘景的优点，所以实际计算中往往很方便。

3、相互作用I—绘景态矢量随时间的变化规律力学量算符随时间的69戴逊(Dyson)微扰理论可以用迭代法逐次求解：

由于被积函数依赖于时间次序和积分上限的不同，上式计算极为困难，利用Dyson的编时方法就可以简化上式的计算：戴逊(Dyson)微扰理论可以用迭代法逐次求解：由于被积函702．4混合系综与密度算符混合系综

纯系综——所有的量子态是处于同一量子态；混合系综——纯系综按特定比例混合的集合，它由

密度算符描述。的。

密度算符

刘维方程-密度算符满足的方程

2．4混合系综与密度算符混合系综纯系综71第八章路径积分要点:基本思想传播函数和矩阵元的路径积分表示

路径积分的基本思想：在量子力学中用波函数描述粒子的状态，粒子没有确定的轨道，也可以这么说，粒子的轨道有无限多，每一条轨道都有一定的几率存在。8．1传播函数的路径积分表示传播函数

H不显含时间

第八章路径积分要点:基本思想传播函数和矩阵元的路径积分72位形空间的路径积分单粒子在保守力场中的一维运动，设泛函积分

为作用量

相空间的路径积分

位形空间的路径积分单粒子在保守力场中的一维运动，设泛函积分738．2路径积分量子化

费曼把传播函数的路径积分作为量子力学的一个基本假定，以代替正则量子化(量子条件与正则运动方程)。在这—假定的基础上建立量子力学的方案称为路径积分量子化。在推导中，没有用到量子化条件，量子化是通过在相位中引入来实现的，说明路径积分量子化与正则量子化是等价的。

8．2路径积分量子化费曼把传播函748．3矩阵元的路径积分表示矩阵元的路径积分表示

泛函积分表示(生成泛函)

算符的编时乘积在基态中的期望值

生成泛函

8．3矩阵元的路径积分表示矩阵元的路径积分表示泛函积分75第四章近似方法要点:绝热近似法（贝瑞相因子）格林函数法

第二部分方法：近似方法、二次量子化方法、散射理论

4．1绝热近似法H(t)随时间变化极其缓慢，以至每一个瞬间系统都处于准定态则在绝热近似下

第四章近似方法要点:绝热近似法（贝瑞相因子）格林函数76贝瑞相因子：Berry在1984年重新研究了量子体系在绝热近似下的演化过程。令人出乎意料地发现了Berry相因子，导致了对量子力学相位物理概念的新认识。假定体系的哈密顿量H通过某些参数R而依赖于时t，即能量本征方程

则有式中除因子

(动力学因子)外，还有因子贝瑞相因子：Berry在1984年重新研究了量子体系在绝热近77如果参数R＝R(t)在R-参数空间t=0和t=T时刻之间形成闭合曲线C，即R(0)=R(T)，则H[R(0)]=H[R(T)],系统作循环演化。贝瑞发现

即是不可积相因子，它沿闭合曲线C延拓时，不是R的单值函数。注意：Berry绝热相位是对循回过程定义的对Berry相位的正确解释必须引用拓扑学的概念如果参数R＝R(t)在R-参数空间t=0和t=T时刻之间形成784．2定态问题的格林函数方法定义，性质，计算，求对应于定态问题的格林函数为非齐次方程的解：其中z是复数，G(z)和满足相同的边界条件。定态格林函数定义

在x表象中

G(z)的奇异性出现在推迟（超前）格林函数

4．2定态问题的格林函数方法定义，性质，计算，求对应于定79G(z)的性质

性质Ⅰ：由G(z)在实轴上的单极点位置可以得到分立的能量本征值，相应的留数包含着本征态的信息。性质Ⅱ：G(z)在实轴上的支切给出了体系的连续谱，相应的支切两端的不连续性，描写了态密度。格林函数的微扰展开--戴逊微扰法

G(z)的性质性质Ⅰ：由G(z)在实轴上的单极点位置可以得80第五章二次量子化方法要点:占据数表象*相干态二次量子化方法

5．1谐振子的占据数表象

第五章二次量子化方法要点:占据数表象*相干态二次量子81相干态

相干态的定义

定义一：相干态是一维谐振子基态经空间平移后的态。为相干态定义二：相干态是谐振子消灭算符的本征态。相干态的表式

相干态相干态的定义定义一：相干态是一维谐振子基态经空间平82相干态的性质

(1)相干态不具有正交性，但是归一的。(2)相干态具有完备性，构成完备集。不正交的完备集称为超完备集(3)算符在相干态中的平均值。

(4)相干态中含有N的本征态的概率。典型的泊松分布

相干态是最小不确定态

相干态的性质(1)相干态不具有正交性，但是归一的。(2)835．2玻色子系的二次量子化薛定谔绘景的坐标表象→占据数表象占据数表象的基矢及其完备性

产生和消灭算符5．2玻色子系的二次量子化薛定谔绘景的坐标表象→占据数表象84场量算符

为产生算符是消灭算符

各类算符的表达式单体型算符两体型算符总结我们的方法

单粒子问题

多粒子问题

→单粒子波函数方程波函数→算符算符对易关系波函数方程→算符方程→→→场量算符为产生算符是消灭算符各类算符的表达式单体型算符85第六章散射理论要点:势散射理论形式散射理论

6．1散射问题散射问题归结为：解薛定谔方程的渐近形式，

得出散射振幅和微分散射截面。散射波

第六章散射理论要点:势散射理论形式散射理论6．186势散射问题

全同粒子散射波函数应该是对称或反对称的

对调入射粒子和靶的地位自旋为零的粒子自旋为s的情形

势散射问题全同粒子散射波函数应该是对称或反对称的对调入射876．2势散射的格林函数解法方程边界条件

求格林函数解法

考虑到边界条件，应取玻恩近似（一级近似）6．2势散射的格林函数解法方程边界条件求格林函数解88形式解(李普曼-施温格方程)

出射态入射态形式解(李普曼-施温格方程)出射态入射态896．3李普曼-施温格方程考虑散射体系满足绝热近似：

时入射粒子和靶之间的相互作用尚未发生，以后相互作用缓慢地引入，时相互作用又逐渐消失。可用级数求解李普曼-施温格闭合形式解任务归结为求全格林函数

6．3李普曼-施温格方程考虑散射体系满足绝热近似：906．4形式理论(散射矩阵及其性质)散射矩阵的定义相当于S矩阵的性质幺正性、与的对易性、对称性S矩阵元

跃迁矩阵T

散射任务是求S，S与T由上式相联系，因而T在散射理论中非常重要。6．4形式理论(散射矩阵及其性质)散射矩阵的定义相当于91跃迁几率

由跃迁几率可以求得微分截面光学定理

细致平衡定理(时间反演不变性)H在时间反演下不变，由它构成的S矩阵在时间反演下也不变，有这一式子表达了散射过程的微观可逆性，这在统计力学的基础理论中具有重大的意义。

跃迁几率由跃迁几率可以求得微分截面光学定理细致平衡定理92第三章时空对称性要点:时空对称性与守恒律—平移转动反射反演

第三部分专题:时空对称、角动量3．1对称性保持体系物理性质不变的变换称之为对称性变换。对称性变换是不改变体系物理性质的变换，即所有测量结果都不会因变换而改变，即维格纳定理：保持态矢量绝对值不变的对称变换，只能是幺正变换或反幺正变换。对称性的数学表示第三章时空对称性要点:时空对称性与守恒律—平移转动反93对称性和守恒量

任意力学量A守恒的条件

守恒量A可以由对称变换U来决定两种可能性：幺正变换或反幺正变换。反幺正变换中无守恒量。幺正变换算符可以对应于一个可观察量即厄密算符。当幺正算符本身就是厄密算符时，U本身就是守恒量；当U仅是幺正的，但不是厄密的，则要找到一个与U有关的厄密算符作为守恒量。对称性和简并

定理：能级存在简并的充要条件是系统的对称变换算符(或守恒算符)不全对易。

对称性和守恒量任意力学量A守恒的条件守恒量A可以由对称943．2空间平移、空间转动和时间平移空间平移不变性与动量守恒空间均匀空间平移不变性导致动量守恒

空间转动不变性与角动量守恒各向同性

空间转动不变性导致角动量守恒

时间平移不变性与能量守恒

孤立系统

时间平移不变性导致能量守恒3．2空间平移、空间转动和时间平移空间平移不变性与动量守953．3空间反射宇称算符

坐标表象P的本征值

对应偶宇称态和奇宇称态

力学量算符按宇称分为偶算符或奇算符

物理量的分类①标量：在旋转变换下不变，而且在反射变换下数值和符号都不变的量。②赝标量：在旋转变换下不变，但是在反射变换下数值不变而符号改变的量。③极矢量(真矢量)：在反射变换下改变符号的矢量。④赝矢量(轴矢量)：在反射变换下不改变符号的矢量。3．3空间反射宇称算符坐标表象P的本征值对应偶宇称96选择定则偶宇称算符在宇称不同的两个宇称本征态之间的矩阵元为零，而奇宇称算符在宇称相同的两个宇称本征态之间的矩阵元为零。内禀宇称总的宇称P是内禀宇称和轨道宇称的乘积

空间反射不变性和宇称守恒

如果系统对于空间坐标系原点的反射具有不变性，即空间左右不可分，则系统具有空间反射对称性，其宇称守恒为在1956年以前，人们认为所有体系的哈密顿量对空间反射都将保持不变、或者说物理过程与其镜像过程是对称的，因而认为宇称守恒定律是一条普遍规律。1956年李政道和杨振宁发现在弱相互作用过程中宇称不守恒，使人们对微观世界的认识前进了一大步。选择定则偶宇称算符在宇称不同的两个宇称本征态之间的973．4时间反演时间反演态并不意味着时间倒流，只不过是运动方向的倒转时间反演算符是反幺正的：U是幺正算符，K是取复数共轭的算符如果系统具有时间反演不变性，则有因T是反幺正的，不对应于可观察的物理量，无守恒量。无自旋的时间反演算符

有自旋的时间反演算符

自旋为1/2时3．4时间反演时间反演态并不意味着时间倒流，只不过是运动98第七章角动量理论要点:转动矩阵的定义性质表示式

7．1角动量算符

7．2两个角动量的合成(C-G系数)第七章角动量理论要点:转动矩阵的定义性质表示式997．3转动矩阵转动矩阵的定义

用各种本征态的线性叠加

称为转动矩阵

计算相当困难7．3转动矩阵转动矩阵的定义用各种本征态的线性叠加称100转动矩阵性质

构成一个三维空间转动群SO(3)，它是连续、非阿贝尔群群条件：封闭性、存在单位元、存在逆元素、满足结合律转动群表示的约化和不可约表示是整个角动量空间中的矩阵，维度无限

为

维子空间中的矩阵群表示分解为各个表示，这一手续称为群的约化，即SO(3)群的约化。

不能进一步被约化，

是转动群的不可约表示。

转动矩阵性质构成一个三维空间转动群SO(3)，它是连续、非101表示的直积及其分解转动群的两个不可约表示的直积在合成角动量表象中被约化成为各个的直和。的幺正性、正交性、表示式表示的直积及其分解