对数函数及其性质应用

对数函数及其性质的应用对数函数及其性质的应用对数函数及其性质的应用第2课时对数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握对数函数的单一性，会进行同底对数和不一样底对数大小的比较．(要点)2.经过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类议论、数形联合这两种重要数学思想的意义和作用．(要点)[合作研究·攻重难]比较对数值的大小比较以下各组值的大小．4(1)log54与log53；(2)log12与log12；5(3)log23与log54.34[解](1)法一(单一性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而4<3，4因此log54<log53.34法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，4334因此log54<log53.(2)因为log12＝1，log12＝1.3151log23log25又因对数函数y＝log2在(0，＋∞上是增函数，x)1111且3>5，因此0>log23>log25，因此1<1，因此log12<log12.1135log23log25(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，因此log23>log54.1[规律方法]比较对数值大小的常用方法同底数的利用对数函数的单一性同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转变底数和真数都不一样，找中间量提示：比较数的大小时先利用性质比较出与零或的大小[追踪训练]1．比较以下各组值的大小：(1)log2，log20.6.33(2)log，log1.4.(3)log7，log7.(4)log3π，log20.8.[解](1)因为函数y＝log2x是减函数，且，因此log20.5>log20.6.333(2)因为函数y＝logx是增函数，且，因此log1.6>log1.4.(3)因为0>log70.6>log7，1因此log7<log7，log7<log7.(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，因此log3π>log20.8.解对数不等式函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确立不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．思路研究：(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值会合；(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．x－1>0，[解](1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．6－2x>0，(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，2①当a＞1时，不等式等价于1<x<3，解得1<x≤7；x－1≤6－2x，3②当0＜a＜1时，不等式等价于1<x<3，解得7≤x<3.x－1≥6－2x，3综上可得，当a＞1时，不等式的解集为1，7；37当0＜a＜1，不等式的解集为3，3.[规律方法]常有的对数不等式有三种种类：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单一性求解，假如a的取值不确立，需分a＞1与0＜a＜1两种状况议论；2形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单一性求解；3形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.[追踪训练]12．(1)loga2>1，求a的取值范围；(2)log(2x)<log(x－1)，求x的取值范围.11[解](1)由loga2>1得loga2>logaa.1①当a>1时，有a<2，此时无解．②当0<a<1时，有112<a，进而2<a<1.1因此a的取值范围是2，1.(2)因为函数y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，2x>0，因此由log0.7－1)得x－1>0，解得x>1.2x<log(x2x>x－1，即x的取值范围是(1，＋∞)．3对数函数性质的综合应用[研究问题]1．函数f(x)＝log1(2x－1)的单一性怎样？求出其单一区间．2提示：函数f(x)＝log1－1)的定义域为1，＋∞，因为函数y＝log1x是减函数，(2x222函数y＝2x－1是增函数，因此f(x)＝log1(2x－1)是1，＋∞上的减函数，其单22调递减区间是1，＋∞.22．怎样求形如y＝logaf(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此根基上，分a>1和0<a<1两种状况，借助y＝logax的单一性求函数y＝logaf(x)的值域．(1)y＝loga－是[0,1]上的减函数，那么a的取值范围为()(2ax)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)(2)函数f(x)＝log1(x2＋2x＋3)的值域是________．2思路研究：(1)联合对数函数及y＝2－ax的单一性，结构对于a的不等式组，解不等式组可得．(2)先求真数的范围，再依据对数函数的单一性求解．(1)B(2)(－∞，－1][(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，f0＞f1，∴a>1，loga2＞loga2－a，∴a>1，即∴1＜a＜2.a>1，2－a>0，(2)f(x)＝log1(x2＋2x＋3)＝log1[(x＋1)2＋2]，22因为(x＋1)2＋2≥2，因此log1[(x＋1)2＋2]≤log12＝－1，因此函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]22母题研究：1.求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．[解]∵x∈[－3,1]，42≤x2＋2x＋3≤6，log16≤log1(x2＋2x＋3)≤log22，22即－log26≤f(x)≤1，f(x)的值域为[－log26,1]．2．假定本例(2)中的函数在(－∞，a]上单一递加，求a的取值范围．[解]由复合函数的单一性可知，函数g(x)＝x2＋2x＋3在(－∞，a]上单一递减，因此a≤－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1]．[规律方法]．对数型函数的单一性求参数的取值范围，要联合复合函数的单一性规律，注意函数的定义域求解；假定是分段函数，那么需注意两段函数最值的大小关系．．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，而后利用对数函数的单一性求解．[当堂达标·固双基]1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，那么()A．a>c>bB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，应选D.]2．函数y＝log1(2x＋1)的值域为________.2(－∞，0)[∵2x＋1>1，函数y＝log1x是(0，＋∞)上的减函数，2log1(2x＋1)<log11＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．]223．假定函数f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上单一递加，那么实数a的取值范围是________．(0，＋∞)[由题意得a>0，解得a>0.]a×0＋1>0，4．函数f(x)＝log(1＋2x)的单一增区间是______．2－1，＋∞[易知函数f(x)的定义域为－1，＋∞，又因为函数y＝log2和y22x51＝1＋2x都是增函数，因此f(x)的单一增区间是－2，＋∞.]5．a＞0且知足不等式22a＋1＞25a－2.(1)务实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)假定函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，务实数a的值.[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga